Integration

💪 Pure Mathematics 3 (Paper 3) 溫習筆記：積分 (課題 3.5) 💪

各位 A-Level 數學戰友大家好！歡迎來到 Paper 3 的積分章節。如果微分是在求「變化率」，那麼積分就是終極的偵探工作——還原函數本尊（並計算曲線下的面積！）。

在 Pure Mathematics 1 和 2 中，你已經掌握了基礎。現在到了 P3，我們會遇到真正棘手的函數——積、商，以及需要進階代數處理才能開始計算的式子。這一章至關重要，因為當中的技巧在後續的微分方程 (Differential Equations, 課題 3.8) 中會頻繁用到。

準備好挑戰最難的積分了嗎？讓我們開始吧！

1. 擴展基本積分形式 (微分的反運算)

記得，積分就是微分的逆運算。對於 P3，我們必須熟練掌握涉及 \((ax+b)\) 因子的指數函數、三角函數和有理函數的積分。

快速回顧：\(ax+b\) 規則

當積分形式為 \(f(ax+b)\) 的函數時，我們照常對 \(f\) 進行積分，然後除以內部函數的導數 (\(a\))。別忘了積分常數 \(+C\)！

• \( \int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C \)
• \( \int \sin(ax+b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C \)
• \( \int \cos(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C \)
• \( \int \sec^2(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C \)
• \( \int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \)

你知道嗎？ \(\sec^2 x\) 的積分之所以簡單，是因為你知道它的導數是 \(\tan x\)。確保你在 P3 前已背熟所有標準三角函數的導數！

反切函數形式 (新的 P3 標準)

我們現在引入一個新的標準積分，其結果為反三角函數：

\( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \)

記憶小撇步：注意對稱性。如果你對 \(\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\) 求導，你會得到 \(\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a}\)。積分公式中額外的 \(\frac{1}{a}\) 就是為了補償這個微分時產生的係數。

2. 利用三角恆等式積分

你不能直接積分平方三角函數（例如 \(\int \sin^2 x \, dx\)），因為它本質上是積 (\(\sin x \cdot \sin x\))。

訣竅在於使用倍角公式，將表達式重寫為我們「能夠」積分的簡單項之和或差。

關鍵恆等式轉換：

• 要積分 \(\sin^2 x\) 或 \(\cos^2 x\)，請使用由以下公式推導出的恆等式： \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \quad \text{或} \quad \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)
• \(\sin^2 x\) 的積分公式： \( \sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \)
  由此：\( \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C \)
• \(\cos^2 x\) 的積分公式： \( \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) \)
  由此：\( \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C \)

常見錯誤：積分 \(\cos(2x)\) 或 \(\sin(2x)\) 時忘記除以 2。記住 \(ax+b\) 規則！

3. 利用部分分式積分有理函數

這是 P3 最強大的技術之一。當你看到一個分母是可以因式分解的多項式的分數時，請立即聯想到「部分分式」(Partial Fractions)！

類比：想像一個複雜的分數就像一塊棘手的拼圖。我們把它拆解成幾個我們可以積分的較簡單的小塊（部分分式，通常會得到 \(\ln\) 項或 \(\tan^{-1}\) 項）。

分步流程：

1. 檢查次數：確保分子的次數小於分母的次數。（如果不小於，你必須先進行代數長除法，儘管這在 P3 題目中通常受到限制）。
2. 拆解：將被積函數表示為較簡單分式的和。
3. 解出常數：使用代入法或比較係數法來求出未知常數（A, B, C 等）。
4. 積分：分別積分每個部分分式。這些通常會產生 \(\ln\) 項或 \(\tan^{-1}\) 形式的 \(\frac{1}{x^2+a^2}\)。

分母的三種類型 (源自 P3 課程大綱 3.1)：

此技術僅限於分母不超過以下複雜度的情況：

1. 不同的線性因子： (例如 \((ax+b)(cx+d)\))
   \( \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \)
   (積分產生兩個 \(\ln\) 項。)
2. 重複的線性因子： (例如 \((ax+b)(cx+d)^2\))
   \( \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)^2} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2} \)
   (最後一項使用冪規則積分，將 \((x+2)^{-2}\) 視為 \(u^n\)。)
3. 線性與不可約二次因子： (例如 \((ax+b)(cx^2+d)\))
   \( \frac{P(x)}{(x-1)(x^2+4)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \)
   (二次因子通常需要將積分分為兩部分：一部分用於 \(\ln\) 形式，另一部分用於 \(\tan^{-1}\) 形式。)

4. 識別對數形式：\(\int \frac{k f'(x)}{f(x)} \, dx\)

這是 P3 的必備技能，經常與部分分式或代換法一起使用。

原則

如果分子是分母的導數（或其常數倍），則積分結果基於分母的自然對數。

\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C \)

分步範例

求 \( \int \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5} \, dx \)。

1. 識別分母：\(f(x) = x^3 + 2x - 5\)。
2. 求其導數：\(f'(x) = 3x^2 + 2\)。
3. 比較：分子正好是 \(f'(x)\)！
4. 結果：\( \ln|x^3 + 2x - 5| + C \)。

處理常數 (\(k\))

如果導數缺少常數項怎麼辦？你必須進行調整！

求 \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)。

1. 分母：\(f(x) = x^2 + 1\)。導數：\(f'(x) = 2x\)。
2. 分子只有 \(x\)，缺少了 \(2x\)。我們需要引入因子 2。
3. 將積分寫作：\( \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \)
4. 結果：\( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \)。

5. 分部積分法 (Integration by Parts)：乘積法則的逆運算

當你需要積分兩種不同類型函數的積（例如 \(x \sin x\)、\(x^2 e^x\) 或 \(\ln x\)）時，使用分部積分法。

公式

如果 \(u\) 和 \(v\) 是 \(x\) 的函數：
\( \int u \frac{dv}{dx} \, dx = uv - \int v \frac{du}{dx} \, dx \)

選擇 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)

分部積分的成敗完全取決於你選擇哪個作為 \(u\)（用來微分的），以及哪個作為 \(\frac{dv}{dx}\)（用來積分的）。

目標是使新的積分 (\(\int v \frac{du}{dx} \, dx\)) 比原積分更簡單。

選擇訣竅 (ILATE/LIATE)：按照此優先順序選擇 \(u\)：

• L: Logarithmic (對數函數，如 \(\ln x\))
• I: Inverse trigonometric (反三角函數，如 \(\tan^{-1} x\))
• A: Algebraic (代數函數，如 \(x, x^2\))
• T: Trigonometric (三角函數，如 \(\sin x, \cos x\))
• E: Exponential (指數函數，如 \(e^x\))

範例：要積分 \(x \sin 2x\)。\(x\) 是代數函數 (A)，\(\sin 2x\) 是三角函數 (T)。在 LIATE 中 A 在 T 之前，因此設 \(u = x\) 且 \(\frac{dv}{dx} = \sin 2x\)。

積分 \(\ln x\)

你不能直接積分 \(\ln x\)。分部積分法是唯一的方法！

要計算 \( \int \ln x \, dx \)，將積分視為乘積：\( \int (\ln x \cdot 1) \, dx \)。

• 設 \(u = \ln x\) (對數，優先級 1)
• 設 \(\frac{dv}{dx} = 1\) (代數)

進階分部積分 (重複與循環)

• 重複使用：如果你積分像 \(x^2 e^x\) 這樣的函數，你必須使用兩次公式，因為微分 \(x^2\) 需要兩次才能消去冪次。
• 循環積分：像 \(\int e^x \sin x \, dx\) 這樣的函數似乎會循環。在兩次應用公式後，原積分會出現在右側。你必須將該積分本身視為未知數 (\(I\))，並解代數方程來找出 \(I\)。

6. 代換積分法 (Integration by Substitution)

在 P3 中，你通常需要使用題目指定的代換式來簡化並計算積分。這意味著你不需要猜測代換式；題目會提供（例如：「使用代換 \(u = \sin x\)」）。

這個技巧將包含 \(x\) 的複雜積分轉化為包含 \(u\) 的簡單積分。

分步代換流程

我們想使用代換 \( u = g(x) \) 來求解 \( \int f(x) \, dx \)。

1. 對 \(u\) 微分： 求出 \(\frac{du}{dx}\)。 例如：如果 \(u = \sin x\)，則 \(\frac{du}{dx} = \cos x\)。
2. 代換 \(dx\)： 整理微分結果，找出 \(dx\) 以 \(du\) 表示的式子。 例如：\(dx = \frac{du}{\cos x}\)。
3. 代換 \(x\) 項： 使用代換定義 \(u=g(x)\)，將原積分中所有剩餘的 \(x\) 項替換掉。所有項必須變為 \(u\) 和 \(du\)。
4. (定積分關鍵步驟) 變更上下限： 如果積分是定積分（有上下限 \(a\) 和 \(b\)），需將 \(a\) 和 \(b\) 代入代換式 \(u = g(x)\) 計算出新的上下限 \(u_1\) 和 \(u_2\)。 \( u_1 = g(a) \quad \text{和} \quad u_2 = g(b) \)
5. 積分： 求解以 \(u\) 表示的簡化積分。
6. 最後一步： 如果是不定積分，將 \(u\) 代回 \(g(x)\)。如果是定積分，使用新的上下限 \(u_1\) 和 \(u_2\) 求值。

類比：代換就像貨幣兌換。你不能用美金開始進行複雜計算，然後以歐元結束，而不把所有數值（包括開始和結束的金額——即上下限！）都轉換過來。

7. 數值積分：梯形法則 (The Trapezium Rule)

當函數無法進行解析積分，或數據以離散點給出時，我們使用梯形法則來近似計算定積分的值。

公式

使用寬度相等（\(h = \frac{b - a}{n}\)）的 \(n\) 個條條來估算 \( \int_a^b y \, dx \)：

\( \int_a^b y \, dx \approx \frac{1}{2}h \left[ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) \right] \)

• \(h\)： 條條寬度（步長）。
• \(y_0, y_n\)： 「端點」縱坐標（首個和最後一個 \(y\) 值）。
• \(y_1, \dots, y_{n-1}\)： 「內部」縱坐標（乘以 2）。
• 注意：\(n\) 個條條需要 \(n+1\) 個縱坐標（\(y\) 值）。

判斷過高估計 (Over-estimate) 與過低估計 (Under-estimate)

在 Paper 3 中，題目經常要求你透過觀察草圖來判斷梯形法則得出的是過高估計還是過低估計：

• 過高估計： 當曲線向下凸 (convex downwards) 時（切線位於曲線下方；割線頂部橫跨於曲線上方）。
• 過低估計： 當曲線向下凹 (concave downwards) 時（曲線向下彎曲；割線頂部橫跨於曲線下方）。