歡迎來到資訊表示法 (Information Representation)！

你有沒有想過，電腦本質上只是一堆微小的電子開關，它是如何讓你觀看高畫質電影、播放你最愛的歌曲，或是儲存你的作業？這一切都要歸功於資訊表示法。在本章中，我們將探討電腦如何將現實世界「翻譯」成 1 和 0。如果一開始覺得這些概念有點「天外來客」，請不用擔心——我們會一步一步為你拆解！


1.1 數據表示法：基礎概念

二進位量級：Kilo 與 Kibi 的混淆

在「人類」的世界中，我們使用十進位系統 (Base 10)。當我們說「kilo」時，指的是 1,000。然而，電腦使用二進位系統 (Base 2)，所有數值都以 2 的冪次運作。這導致我們在衡量數據時產生了細微的差異。

十進位前綴 (Base 10)： 這是你日常生活中使用的單位。

• kilo (k): \(10^3 = 1,000\)
• mega (M): \(10^6 = 1,000,000\)
• giga (G): \(10^9 = 1,000,000,000\)
• tera (T): \(10^{12} = 1,000,000,000,000\)

二進位前綴 (Base 2)： 這些是電腦的「真實」測量單位。

• kibi (Ki): \(2^{10} = 1,024\)
• mebi (Mi): \(2^{20} = 1,048,576\)
• gibi (Gi): \(2^{30} = 1,073,741,824\)
• tebi (Ti): \(2^{40} = 1,099,511,627,776\)

記憶小撇步： 如果詞彙中間帶有「bi」（例如 kibi），它就代表 Binary（二進位），因此它使用的是 1,024 倍數的刻度！


數值系統：二進位、十進位與十六進位

在計算機科學中，我們主要使用三種數值系統：

1. 十進位 (Denary/Base 10)： 我們每天使用的 0–9 數字。
2. 二進位 (Binary/Base 2)： 只有 0 和 1。這是電腦的母語。
3. 十六進位 (Hexadecimal/Base 16)： 使用 0–9 以及 A–F（其中 A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）。

為什麼要用十六進位？ 它比二進位簡短得多，且人類閱讀時較不容易出錯。一個「十六進位」數字恰好代表 4 個二進位位元（稱為一個 nibble）。

快速回顧： 要將二進位轉換為十六進位，請從右邊開始將二進位數字每 4 個一組分開。例如，\(1011\ |\ 0101\) 會變成 \(B\ |\ 5\)，即 \(B5_{16}\)。


二進位編碼十進位 (BCD)

BCD 是一種特殊的數字表示法，將十進位數字的每一個位數各自儲存為 4-bit 的二進位碼。

例子： 要以 BCD 表示數字 85：
8 = 1000
5 = 0101
因此，85 的 BCD 表示為 1000 0101。

現實應用： BCD 常見於數位時鐘或計算機，因為這些設備需要個別控制螢幕上的每一個位數。


帶符號整數：一補數與二補數

電腦如何辨識一個數是負數？我們使用二補數 (Two's Complement)。

步驟：如何使用二補數將數字變為負數：

1. 先寫出該數字的正數二進位形式。
2. 反轉 (Flip) 所有位元（將 0 改為 1，1 改為 0）。這稱為「一補數 (One's Complement)」。
3. 將結果加 1。這就是「二補數」。

常見錯誤： 別忘了在 8-bit 的帶符號數字中，最左邊的位元是符號位元 (sign bit)。如果它是 1，該數字就是負數！

帶符號二進位加法、減法與溢位：

• 加法： 依照二進位加法規則逐個位元進行運算。
• 減法： 先求出減數的二補數（將其變為負數），然後將其加到被減數上。
• 溢位 (Overflow)： 當計算結果超出所分配的位元數量時發生（例如，將兩個正的 8-bit 帶符號數字相加，產生的結果太大而無法放入 8 bits 中，導致符號位元被翻轉）。這會導致電腦運算錯誤。


字元集：ASCII、擴充 ASCII 與 Unicode

電腦透過為每個字元分配一個唯一的二進位數字（字元代碼）來表示文字。考試時你不需要死記具體的代碼，但你必須知道這些系統之間的差異：

• 標準 ASCII： 使用 7 bits 來表示每個字元，提供 \(2^7 = 128\) 個可能的字元（包括大寫/小寫英文字母、數字 0–9、標點符號以及控制字元）。
• 擴充 ASCII (Extended ASCII)： 每個字元使用 8 bits (1 byte)，提供 \(2^8 = 256\) 個可能的字元。這為非英語的帶重音字母及圖形符號提供了額外空間。
• Unicode： 一個通用的字元集，旨在表示世界上所有現代與歷史語言的文字，以及數學符號和表情符號 (emojis)。UTF-8 與 UTF-16 使用可變長度的編碼，而 UTF-32 是固定長度；Unicode 可容納超過一百萬個碼位（code points）。

重點總結： 二進位是給電腦用的，十六進位是讓人更容易閱讀二進位，二補數處理負數，而字元集則將二進位代碼轉換為字母與符號。


1.2 多媒體：圖形與聲音

點陣圖 (Bitmapped Graphics)

點陣圖由稱為像素 (pixels)（圖片元素）的微小點組成。每個像素都被分配了一個二進位顏色代碼。

• 影像解析度： 影像的寬度像素數乘以高度像素數（例如 \(1920 \times 1080\)）。
• 螢幕解析度： 螢幕或顯示器上每單位長度所顯示的像素數量（通常以每英吋點數 dots per inch 或每英吋像素 pixels per inch 衡量），或是顯示設備的整體像素尺寸。
• 色深 (Color Depth / Bit Depth)： 用來表示單一像素顏色的位元數。使用的位元越多，顏色就越豐富（例如 8-bit 色深允許 \(2^8 = 256\) 種顏色）。
• 檔案標頭 (File Header)： 檔案開頭的一小部分，儲存有關影像的元數據 (metadata)，例如其尺寸、解析度和色深。

計算檔案大小：
\(\text{File Size} = \text{Image Resolution (Width} \times \text{Height)} \times \text{Color Depth}\)
例子： 一張 \(100 \times 100\) 且具備 1-bit 色深的圖片，檔案大小為 \(10,000\) bits。


向量圖 (Vector Graphics)

向量圖不儲存像素，而是儲存一張繪圖列表，包含數學物件（線條、圓形、矩形）及其屬性（顏色、粗細、位置）。

比喻： 點陣圖就像照片；如果你放大太多，它會變得「有塊狀感」（像素化）。向量圖則像是一組繪圖指令；即使你把它放大得跟房子一樣大，看起來依然完美清晰！


聲音

聲音本質上是類比 (analogue) 的（連續波形），但電腦是數位 (digital) 的。為了儲存聲音，我們必須進行取樣 (sampling)。

• 取樣： 在固定的時間間隔內，「快照」聲音波形的振幅。
• 取樣率 (Sampling Rate)： 每秒進行多少次取樣（單位為赫茲，Hz）。取樣率越高 = 品質越好但檔案越大。
• 取樣解析度 (Sampling Resolution)： 用來儲存每個取樣點的位元數。解析度越高 = 對聲音音量的表示就越精確。

你知道嗎？ 標準 CD 使用的取樣率為每秒 44,100 次！這可是大量的快照。

重點總結： 點陣圖使用像素；向量圖使用數學。聲音是透過將類比波形取樣成數位位元來捕捉的。


1.3 壓縮 (Compression)

壓縮是將檔案變小的過程。我們為什麼需要它？為了節省儲存空間，並讓檔案在網路上傳輸得更快。

破壞性與非破壞性壓縮

1. 破壞性壓縮 (Lossy Compression)： 永久刪除一些人類眼睛或耳朵不太可能注意到的數據。一旦刪除，就無法恢復。（例子：JPEG, MP3）。
2. 非破壞性壓縮 (Lossless Compression)： 在不遺失任何原始數據的情況下減小檔案大小。當你解壓縮時，它與原始檔案完全相同。（例子：PNG, ZIP）。


遊程編碼 (Run-Length Encoding, RLE)

RLE 是一種簡單的非破壞性壓縮形式。它尋找連續重複的數據片段，並將其儲存為一個單一數值和一個計數。

例子： 想像一排像素：WWWWWBBRRR
使用 RLE，我們將其儲存為：5W, 2B, 3R
我們剛剛把 10 個字元變成了 6 個！這對於具有大面積相同顏色的簡單影像非常有效。

快速回顧： 當你需要極小的檔案且不介意品質輕微下降時（例如串流影片），使用破壞性壓縮。當數據必須完美無缺時（例如文字文件或程式碼），使用非破壞性壓縮。

重點總結： 壓縮節省空間。破壞性壓縮丟棄數據；非破壞性壓縮透過巧妙的儲存方式保留一切完美細節。