歡迎來到三角學的世界！
三角學（Trigonometry）聽起來可能很複雜，但它其實只是研究三角形邊長與角度之間關係的一門學問。這是數學中最實用的工具之一！無論你未來想成為建築師、遊戲開發者，還是研究聲波的音樂人，三角學都是你必備的語言。在本章中，我們將掌握數學中的「波浪」，並學習如何解那些看起來嚇人，但只要掌握訣竅就變得非常合乎邏輯的方程式。
1. 初識函數：正弦、餘弦與正切
你可能在直角三角形中已經見過正弦 (\(\sin\))、餘弦 (\(\cos\)) 和 正切 (\(\tan\))（還記得 SOH CAH TOA 嗎？）。在 AS Level 中，我們將跳出三角形的框架，將它們視為會無限重複的函數。
圖形的形狀
想像一下摩天輪上的人。他們的高度會上升，達到頂點，然後下降，接著再重複這個過程。這正是三角函數圖形的運作方式！
正弦圖形 (\(y = \sin x\))： 從 \(0\) 開始，在 \(90^\circ\)（或 \(\frac{\pi}{2}\)）達到頂點，並在 \(180^\circ\) (\(\pi\)) 回到 \(0\)。它看起來就像一個平滑且平衡的波浪。
餘弦圖形 (\(y = \cos x\))： 看起來跟正弦波一樣，但當 \(x = 0\) 時，它從頂點 (\(1\)) 開始。你可以把它想像成向左平移後的正弦波。
正切圖形 (\(y = \tan x\))： 這傢伙是個「反叛者」。它不是波浪形，而是擁有稱為漸近線（asymptotes）的垂直線，在這些位置，圖形會消失並向無限大延伸。這些線出現在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等位置。
你知道嗎？ 任何週期性重複的事物——例如季節、你的心跳，或潮汐——都可以用這些波浪來建模！
快速複習：角度 vs. 弧度
在本章中，你會同時使用度數 (\(^\circ\)) 和弧度 (\(rad\))。
請記住：\(180^\circ = \pi\) 弧度。
記憶小撇步： 若要將度數轉換為弧度，只需乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。若要反向轉換，則乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。
重點總結： \(\sin\) 和 \(\cos\) 是介於 \(1\) 和 \(-1\) 之間的波浪。而 \(\tan\) 是一系列每隔 \(180^\circ\) (\(\pi\)) 重複一次的曲線。
2. 必背的「精確值」
有時候，計算機給你的會是一串又長又亂的小數。然而，對於某些角度（\(30^\circ, 45^\circ\) 和 \(60^\circ\)），我們會使用包含根號的精確值。你必須要把這些背下來！
冠軍表：
- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\tan 45^\circ = 1\)
如果覺得背起來很吃力，別擔心！ 如果你忘了這些數值，隨時可以畫一個簡單的「特殊三角形」（邊長為 \(1, 1, \sqrt{2}\) 的等腰直角三角形，或是邊長為 \(1, \sqrt{3}, 2\) 的半個等邊三角形）來推導出來。
重點總結： 考官非常喜歡使用這些數值。如果你在題目中看到 \(\sqrt{3}\) 或 \(\frac{1}{2}\)，這就是一個暗示，告訴你可能正涉及這些特殊角度。
3. 三角恆等式：別名規則
在數學中，恆等式（identity）就像暱稱一樣。它是表示相同事物的另一種方式。我們利用這些恆等式來簡化複雜的方程式。
恆等式 1：正切規則
\(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
類比： 想像 \(\tan\) 是一個人，他的姓氏是 \(\sin\)，名字是 \(\cos\)。他們其實是同一個人！
恆等式 2：畢氏恆等式
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
這是基於畢氏定理 (\(a^2 + b^2 = c^2\))。無論角度 \(\theta\) 是多少，只要將 \(\sin\) 和 \(\cos\) 平方後相加，永遠會得到 \(1\)。
常見錯誤： 注意符號！\(\sin^2 \theta\) 代表 \((\sin \theta) \times (\sin \theta)\)，它不等於 \(\sin (\theta^2)\)。
重點總結： 利用這些恆等式，可以將同時包含 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的方程式轉換為只含其中一種的方程式，這樣解題會輕鬆得多！
4. 反函數：找出角度
當我們已知比值但想求角度時，我們使用反函數：\(\sin^{-1} x\)、\(\cos^{-1} x\) 和 \(\tan^{-1} x\)。這些也被稱為「主值」（Principal Values）。
計算機只會為反函數提供一個答案。然而，因為三角圖形是波浪狀的，實際上有很多不同的角度會得出相同的結果！我們使用 CAST 圖表 或圖形的對稱性來找出這些「隱藏的」答案。
重點總結： 計算機給的答案只是起點。請務必檢查題目要求的範圍（例如 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)），看看是否還需要找其他答案。
5. 解三角方程式：逐步教學
讓我們看看如何求解像 \(3 \sin 2x + 1 = 0\) 這樣的方程式（在 \(-\pi < x < \pi\) 範圍內）。
步驟 1：分離三角函數
將其他項移到等號另一邊。
\(3 \sin 2x = -1\)
\(\sin 2x = -\frac{1}{3}\)
步驟 2：找出基本角 (\(\alpha\))
暫時忽略負號，使用計算機：
\(\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{3}) \approx 0.34\) rad。
步驟 3：找出括號內的所有值 (\(2x\))
使用 CAST 圖表 或圖形對稱性，找出 \(\sin\) 為負值的區域（第三和第四象限）。
\(2x\) 的值會是 \(\pi + 0.34\) 和 \(2\pi - 0.34\)。同時，如果區間要求包含負值，也要記得檢查負方向！
步驟 4：求出 \(x\)
最後，將你的答案除以 \(2\)，得到 \(x\) 的最終值。
快速複習盒：
1. 簡化方程式。
2. 找出基本銳角 (\(\alpha\))。
3. 利用 CAST 圖表找出其他角度。
4. 針對倍數進行調整（例如 \(2x\) 中的 \(2\)）。
重點總結： 務必將最終答案代回原方程式檢查。如果答案不能使方程式成立，說明在判斷象限時出錯了！
總結與鼓勵
Pure Mathematics 1 中的三角學全是關於規律的。一旦你能辨認出波浪的形狀並掌握兩個主要恆等式，你就擁有了所有需要的工具。
重要提醒：
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
- \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
- 使用 CAST 圖表 來找出多個解。
- 注意你的計算機模式（Deg vs Rad）！
多練習繪圖吧——當你能親眼看到你正在處理的波浪時，就不容易迷失方向了！你可以做到的！