進階三角學簡介
歡迎來到純數二（Pure Mathematics 2）的世界！如果你已經掌握了純數一（Pure Mathematics 1）中正弦（Sine）、餘弦（Cosine）和正切（Tangent）的基礎知識，那你就已經成功了一半。在本章中，我們將擴充你的「三角工具箱」。我們會認識三個新函數（即「倒數」函數），學習如何拆解複雜的角度，並探索如何將不同的波形合成一個。這些工具對於解決你在 Paper 2 中遇到的更複雜方程至關重要。
如果起初看起來有很多新公式，別擔心！ 其中大多數都遵循邏輯模式，只要掌握幾個記憶小技巧，你很快就能像專家一樣靈活運用它們。
1. 倒數函數：正割（Secant）、餘割（Cosecant）及餘切（Cotangent）
在 Pure 1 中，你學習了 \(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\)。在 Pure 2 中，我們引入它們的「倒數」版本。所謂倒數，就是 1 除以該函數。
定義：
1. 正割（簡寫為 sec）：\(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
2. 餘割（簡寫為 cosec）：\(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
3. 餘切（簡寫為 cot）：\(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
記憶小技巧：「第三字母法則」
學生經常搞混這些函數。若要記住哪個函數對應哪個，請看該函數名稱的第三個字母：
- sec \(\theta\) \(\rightarrow\) 第三個字母是 c，所以它對應 cos。
- cosec \(\theta\) \(\rightarrow\) 第三個字母是 s，所以它對應 sin。
- cot \(\theta\) \(\rightarrow\) 第三個字母是 t，所以它對應 tan。
快速複習：重要特性
- 當分母為零時，這些函數均無定義。例如，當 \(\cos \theta = 0\)（在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等處）時，\(\sec \theta\) 無定義。
- \(\sec\) 和 \(\csc\) 的圖像永遠不會進入 -1 和 1 之間的「中間區域」。它們的值始終 \(\ge 1\) 或 \(\le -1\)。
重點總結： 當你需要解方程或使用計算機時，只需將這些函數視為其對應函數的「1 除以...」即可。
2. 新的畢氏恆等式
你已經知道 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。透過將此方程組分別除以 \(\cos^2 \theta\) 或 \(\sin^2 \theta\)，我們可以得到兩個強大的新恆等式：
1. \(\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta\)
2. \(\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta\)
為什麼它們很有用？
這些是「橋樑」公式。如果你遇到一個同時包含 \(\tan^2\) 和 \(\sec\) 的方程，你可以利用第一個恆等式將所有項轉化為 \(\sec\)，這樣就能像解二次方程一樣處理它。
例子：要解 \(2\tan^2 \theta + \sec \theta = 5\)，你可以將 \(\tan^2 \theta\) 替換為 \((\sec^2 \theta - 1)\)。
常見錯誤： 忘記這些公式只適用於平方項。你不能簡單地說 \(\sec \theta = 1 + \tan \theta\)！
3. 和角與差角公式
有時我們需要計算兩個角度之和或之差的三角值（例如 \(\sin(45^\circ + 30^\circ)\)）。
公式：
- \(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
- \(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\) (注意餘弦公式中的符號會反轉！)
- \(\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}\)
你知道嗎？ 這些公式讓我們能在不需要計算機的情況下，計算出 \(15^\circ\)（使用 \(45^\circ - 30^\circ\)）或 \(75^\circ\)（使用 \(45^\circ + 30^\circ\)）等角度的精確值。
重點總結： 使用 \(\cos(A \pm B)\) 公式時，請記住括號內的加號意味著展開式中對應的是減號！
4. 倍角公式
如果和角公式中的兩個角度相同會怎樣？（即 \(A = B\)）。我們就會得到倍角公式。這大概是本章中最重要的公式。
1. \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
2. \(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)
3. \(\cos 2A\) 比較特別，它有三種不同的形式：
- \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)
- \(\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1\)
- \(\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A\)
我該選用哪個 \(\cos 2A\)？
選擇能幫助你消去項或與方程其餘部分匹配的那一個：
- 如果方程其餘部分只有餘弦（cosines），請使用 \(2 \cos^2 A - 1\)。
- 如果方程其餘部分只有正弦（sines），請使用 \(1 - 2 \sin^2 A\)。
逐步小貼士： 如果你在方程中發現 \(\cos 2A\) 旁邊有一個「1」，請選擇能讓這個「1」抵銷掉的那個 \(\cos 2A\) 版本！
5. R-公式：\(a \sin \theta + b \cos \theta\)
你有沒有試過解 \(3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 2\) 這樣的方程？由於這裡有兩個不同的波形同時存在，原樣求解是不可能的。R-公式可以將這兩個波合成一個單一的波。
形式：
- \(a \sin \theta \pm b \cos \theta = R \sin(\theta \pm \alpha)\)
- \(a \cos \theta \pm b \sin \theta = R \cos(\theta \mp \alpha)\)
如何求 \(R\) 和 \(\alpha\)：
1. 求 \(R\)： \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) (這就像畢氏定理！)
2. 求 \(\alpha\)： \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) (忽略符號，只使用 \(a\) 和 \(b\) 的正值)。
3. 重寫 表達式，帶入你算出的 \(R\) 和 \(\alpha\)。
為什麼我們要這樣做？
一旦你得到像 \(5 \sin(\theta + 53.1^\circ)\) 這樣的單一函數，你就能：
- 輕鬆解出 \(\theta\)。
- 寫出最大值（即 \(R\)）。
- 寫出最小值（即 \(-R\)）。
比喻： 把 \(a \sin \theta\) 和 \(b \cos \theta\) 想像成兩個人在不同方向拉一根繩子。R-公式告訴你他們實際上在拉的那個單一合力及其方向。
成功學習清單
- [ ] 我能定義 \(\sec\)、\(\csc\) 和 \(\cot\) 嗎？
- [ ] 我知道兩個新的畢氏平方恆等式嗎？
- [ ] 我會展開 \(\sin(A+B)\) 和 \(\cos(A-B)\) 嗎？
- [ ] 我知道 \(\cos 2A\) 公式的全部三種版本嗎？
- [ ] 我能將 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 轉換為 \(R\) 的形式嗎？
別氣餒！ 三角學的核心在於練習和對模式的識別。先從簡單的恆等式證明開始，一步步進階到 R-公式。你一定做得到的！