歡迎來到基礎三角學！
歡迎來到 A Level 數學中最實用的章節之一！三角學主要研究三角形邊與角之間的關係。雖然初看之下似乎公式繁多，但這些其實只是幫助你處理幾何圖形的工具。無論你未來想成為建築師、機師還是遊戲開發人員，三角學都將是你最好的夥伴。
如果你對 GCSE 的基礎知識感到生疏，別擔心，我們會在進入精彩的 A Level 內容前先快速複習一下！
1. 直角三角形：基石
在開始任何運算前，我們必須能夠根據特定的角（通常稱為 \(\theta\)）正確標示直角三角形的邊。
斜邊 (Hypotenuse)：最長的一邊，位於直角的對面。
對邊 (Opposite)：位於角 \(\theta\) 對面的邊。
鄰邊 (Adjacent)：位於角 \(\theta\) 旁邊的邊（斜邊除外）。
SOH CAH TOA 助記法
這是記憶三個主要三角比的經典方法：
SOH：\(\sin \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\)
CAH：\(\cos \theta = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}\)
TOA：\(\tan \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}\)
角的量度：角度制與弧度制
在 A Level 數學中，角度可以用角度 (degrees)（\(^\circ\)）或弧度 (radians)（\(\text{rad}\)）來量度，其中 \(\pi\text{ rad} = 180^\circ\)。在計算前務必檢查你的計算機模式：確保根據題目要求設定為 'D'/'DEG'（角度制）或 'R'/'RAD'（弧度制）。
重點提示： 如果你有一個直角三角形並已知兩個資訊（例如一條邊和一個角），你就可以利用 SOH CAH TOA 求出所有其他數值。
2. 正弦定理與餘弦定理
如果三角形沒有直角怎麼辦？不用慌！我們有兩條強大的法則來處理「非直角」三角形。
正弦定理 (Sine Rule)
當你擁有「成對關係」（即一個角及其對邊）時使用：
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
注意：如果你要計算角度，也可以將這些分式上下顛倒：\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\)。
正弦定理的多義情況 (The Ambiguous Case)
當已知兩邊和其中一邊的對角（SSA 情況）時，可能會出現兩個可能的三角形（一個未知角為銳角，另一個為鈍角：\(180^\circ - \theta\) 或 \(\pi - \theta\)）。務必檢查鈍角解在幾何上是否可行（即內角和是否仍小於 \(180^\circ\)）。
餘弦定理 (Cosine Rule)
你可以把它看作是畢氏定理更成熟、更進階的版本。當你有兩條邊及其夾角（「SAS」情況），或已知全部三條邊時使用。
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
若要計算角度，請重排公式為：
\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
三角形面積
你不再需要垂直高度了！如果你知道兩條邊（\(a\) 和 \(b\)）及其夾角（\(C\)）：
\(\text{面積} = \frac{1}{2}ab \sin C\)
你知道嗎？
正弦定理廣泛應用於方位角 (Bearings) 和導航中。如果一艘船以 \(045^\circ\) 的方位角航行了 10 公里，你就可以利用這些法則精確計算出它向北和向東移動了多少距離。
重點提示： 用正弦定理處理成對關係，用餘弦定理處理「邊-角-邊」或「邊-邊-邊」的情況。
3. 三角函數的準確值
在 OCR A Level 數學 B (MEI) 中，所有試卷均可使用計算機，但你必須認識並使用三角函數的準確值，以給出精確的解析解並展示完整步驟，而不是單純依賴小數近似值。
\(0^\circ\) (\(0\) rad)： \(\sin(0) = 0\), \(\cos(0) = 1\), \(\tan(0) = 0\)
\(30^\circ\) (\(\frac{\pi}{6}\) rad)： \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\) (\(\frac{\pi}{4}\) rad)： \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45^\circ) = 1\)
\(60^\circ\) (\(\frac{\pi}{3}\) rad)： \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)
\(90^\circ\) (\(\frac{\pi}{2}\) rad)： \(\sin(90^\circ) = 1\), \(\cos(90^\circ) = 0\), \(\tan(90^\circ)\) 未有定義
記憶法：平方根技巧
要記住 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)（或 \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)）的 \(\sin \theta\) 值，請寫下：
\(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
這簡化後正是 \(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)！
重點提示： 練習寫出包含角度與弧度的準確值表格，直到你能在 30 秒內默寫出來。
4. 單位圓與任意角
到目前為止，角度通常在 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之間。但在 A Level 中，我們會探討如 \(150^\circ\)（\(\frac{5\pi}{6}\)）甚至負角以及大於 \(360^\circ\) 的角度。我們利用單位圓（以原點為中心、半徑為 1 的圓）來定義這些角度。
圓上的 x 坐標 為 \(\cos \theta\)。
圓上的 y 坐標 為 \(\sin \theta\)。
半徑線段的斜率 為 \(\tan \theta\)。
CAST 圖表
由於圓形具有週期重複性，不同的角度可以擁有相同的三角函數值。CAST 圖表能告訴你三角比在哪個象限為正：
第一象限 (\(0\) 至 \(90^\circ\) / \(0\) 至 \(\frac{\pi}{2}\)): All（全部）皆為正。
第二象限 (\(90^\circ\) 至 \(180^\circ\) / \(\frac{\pi}{2}\) 至 \(\pi\)): 只有 Sin 為正。
第三象限 (\(180^\circ\) 至 \(270^\circ\) / \(\pi\) 至 \(\frac{3\pi}{2}\)): 只有 Tan 為正。
第四象限 (\(270^\circ\) 至 \(360^\circ\) / \(\frac{3\pi}{2}\) 至 \(2\pi\)): 只有 Cos 為正。
重點提示： 利用單位圓的對稱性或 CAST 圖表來找出三角方程的「次要」解。
5. 三角函數圖形
視覺化函數有助於你理解它們的變化規律。
\(\sin \theta\)：由 \((0,0)\) 開始，在 \(1\) 與 \(-1\) 之間波動。週期為 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\) 弧度）。
\(\cos \theta\)：由 \((0,1)\) 開始，在 \(1\) 與 \(-1\) 之間波動。它實際上只是正弦圖形向左平移了 \(90^\circ\)（\(\frac{\pi}{2}\)）。週期為 \(360^\circ\)（\(2\pi\)）。
\(\tan \theta\)：週期為 \(180^\circ\)（\(\pi\)），並在 \(90^\circ, 270^\circ\)（\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\)）等位置有垂直漸近線 (asymptotes)。
類比：摩天輪
將 \(\sin \theta\) 圖形想像成摩天輪。當輪子轉動（角 \(\theta\)）時，你離地面的高度會以平滑、循環的波浪狀上下起伏。這正是正弦波所代表的意義！
重點提示： 熟悉圖形的「形狀」有助於發現錯誤。例如，如果你算出 \(\sin \theta = 2\)，你就知道這是不可能的，因為圖形永遠不會超過 1！
6. 三角恆等式
恆等式是對所有有效角度都永遠成立的方程式，常用於簡化複雜的算式或解方程。
1. 正切恆等式： \(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
2. 畢氏恆等式： \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
常見錯誤警示！
留意符號表示法：\(\sin^2 \theta\) 代表 \((\sin \theta)^2\)，這並非等於 \(\sin(\theta^2)\)。務必小心那個小「2」的位置！
重點提示： 如果方程式同時包含 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\)，試著使用恆等式將所有項轉換為同一種三角函數。
7. 解三角方程
這是所有概念的結合點。你經常會被要求在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)（或 \(0 \le \theta \le 2\pi\)）的範圍內求解，例如 \(\sin(2\theta) = 0.5\)。
逐步指引：
1. 分離： 將三角函數單獨留在一邊（例如 \(\sin(2\theta) = 0.5\)）。
2. 尋找調整後範圍： 如果角為 \(2\theta\) 且 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)，請調整你的運算區間：\(0^\circ \le 2\theta \le 720^\circ\)。
3. 主值 (Principal Value)： 在計算機上使用反三角函數（例如 \(2\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)）。
4. 次要值與週期解： 使用 CAST 圖表或圖形對稱性（對於正弦：\(180^\circ - \text{PV}\)；對於餘弦：\(360^\circ - \text{PV}\)；對於正切：\(\text{PV} + 180^\circ\)），並加上或減去週期（\(360^\circ\) / \(2\pi\)），以找出調整後範圍內 \(2\theta\) 的所有值。
5. 最終調整： 將每個角度除以 2 即可求得 \(\theta\)。
如果覺得棘手，不必擔心……
解包含 \(2\theta\) 或 \(3\theta\) 的方程式是學生最容易失分的地方之一。只需記住：先找出調整後區間內的所有角度，最後才除以係數。
重點提示： 大多數三角方程都有不止一個答案。務必檢查你的範圍，並利用圖形或 CAST 圖表找出所有解！