地理科的數理與統計技巧 (Numerical and Statistical Skills)

歡迎閱讀 OCR GCSE (9–1) 地理科 A (J383) 數理與統計技巧的完整溫習筆記。數據與計算會出現在全部三份試卷中：今日英國生活（卷一）、我們周遭的世界（卷二），特別是地理技能（卷三）。即使數學不是你最拿手的科目也不用擔心——只要掌握以下步驟，地理科的計算其實相當直接簡單！

1. 集中趨勢量度（平均數 / Averages）

地理學家常利用平均數來概括大量數據，例如總降雨量、氣溫或人口數字。你需要熟練掌握以下三種主要平均數：

A. 平均值 (Mean)

平均值是最常見的平均數。計算方法是將數據集內的所有數值相加，然後除以數據項目的總數。

公式：

\(\text{Mean} = \frac{\text{Total sum of all values}}{\text{Number of values}}\)

範例計算：
一位同學記錄了 5 天的每日降雨量（毫米）：\(4\)、\(6\)、\(0\)、\(12\)、\(8\)。
1. 將所有數值相加：\(4 + 6 + 0 + 12 + 8 = 30\)
2. 除以天數（\(5\)）：\(\frac{30}{5} = 6\text{ mm}\)

B. 中位數 (Median)

將所有數值由小至大順序排列後，位處正中間的數值就是中位數。

計算步驟：
1. 將所有數值由小至大依序排列。
2. 找出最中間的數字。
3. 如果數據項目的總數是雙數，則將中間的兩個數字相加再除以 \(2\)，算出它們的平均值。

範例計算：
求以下數據的中位數：\(14\)、\(3\)、\(22\)、\(7\)、\(9\)。
1. 依序排列：\(3\)、\(7\)、\(9\)、\(14\)、\(22\)
2. 找出中間的數值：\(9\)

C. 眾數 (Mode)

眾數是數據集中出現頻率最高（最常出現）的數值。

範例計算：
某城鎮 7 天內記錄的氣溫（°C）：\(15, 17, 15, 18, 20, 15, 19\)。
數值 \(15\) 出現了三次，因此眾數 = \(15\text{ °C}\)。

記憶小貼士：
• MOde（眾數）= MOst often（最常出現）
• MEdian（中位數）= MEdium（中間）
• Mean（平均值）= 最繁瑣（要先加總再除開）！

核心重點：作答時務必看清題目要求的是哪一種平均數。題目要求中位數但學生卻計算了平均值，是考試中非常普遍的失分位！

2. 離散程度量度（數據分佈 / Spread of Data）

離散程度能量度數據的分佈是分散還是集中。

A. 全距 (Range)

全距是最簡單的離散程度量度指標，即數據集中最高值與最低值之間的差額。

公式：

\(\text{Range} = \text{Highest Value} - \text{Lowest Value}\)

範例：若最高氣溫為 \(28\text{ °C}\)，最低氣溫為 \(12\text{ °C}\)，全距便是 \(28 - 12 = 16\text{ °C}\)。

B. 四分位數與四分位距 (Interquartile Range, IQR)

雖然全距會考慮整體數值，但極端值（異常值）容易令其產生偏差。為了解決這個問題，地理學家會使用四分位距 (IQR)，用來衡量中間 50% 數據的分佈情況。

重要概念：
• 下四分位數 (\(Q_1\))：前半部分（較小的一半）數據的中位數（即 25% 位置）。
• 上四分位數 (\(Q_3\))：後半部分（較大的一半）數據的中位數（即 75% 位置）。
• 四分位距 (IQR)：上四分位數與下四分位數之間的差額。

公式：

\(\text{IQR} = Q_3 - Q_1\)

範例計算：
已排序的 7 個風速測量數據（節 / knots）：\(8, 10, 12, 15, 18, 20, 24\)
1. 中位數 (\(Q_2\)) = \(15\)
2. 前半部分 = \(8, 10, 12\) \(\implies\) 下四分位數 (\(Q_1\)) = \(10\)
3. 後半部分 = \(18, 20, 24\) \(\implies\) 上四分位數 (\(Q_3\)) = \(20\)
4. \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 20 - 10 = 10\text{ knots}\)

核心重點：四分位距的優點在於不會受過高或過低的極端值（異常值）影響。

3. 百分比、比例與比率

A. 百分比變動 (Percentage Change)

試題經常要求計算兩個時期或地點之間的百分比增長或減少。

公式：

\(\text{Percentage Change} = \frac{\text{New Value} - \text{Original Value}}{\text{Original Value}} \times 100\)

範例計算（增長）：
某城鎮人口由 \(50,000\) 人增加至 \(65,000\) 人。
1. 計算變化量：\(65,000 - 50,000 = 15,000\)
2. 除以原始數值：\(\frac{15,000}{50,000} = 0.3\)
3. 乘以 \(100\)：\(0.3 \times 100 = 30\%\) 增長。

範例計算（減少）：
河流流量由 \(80\text{ m}^3/\text{s}\) 下降至 \(60\text{ m}^3/\text{s}\)。
1. \(\text{變化量} = 60 - 80 = -20\)
2. \(\frac{-20}{80} \times 100 = -25\%\)（即減少 \(25\%\)）。

考試提示：若計算結果為負數，請確保寫上負號（\(-\)）或明確註明為減少 (decrease)。

B. 比率與比例 (Ratios and Proportions)

比率用來比較各部分之間的大小關係。例如，將受撫養人口（年幼及老年人口）與勞動人口進行比較（撫養比率 / dependency ratios）。

範例：在一項針對 \(30\) 名消費者的調查中，有 \(20\) 名為本地居民，\(10\) 名為遊客。居民與遊客的比率為 \(20 : 10\)，兩邊同時除以 \(10\) 化簡後得出 \(2 : 1\)。

C. 地圖比例尺與距離比率

地圖比例尺通常以代表比率形式表示：

• \(1 : 25,000\) 代表地圖上的 \(1\text{ cm}\) 相等於實際環境中的 \(25,000\text{ cm}\)（即 \(250\text{ m}\) 或 \(0.25\text{ km}\)）。因此，\(4\text{ cm} = 1\text{ km}\)。
• \(1 : 50,000\) 代表地圖上的 \(1\text{ cm}\) 相等於實際環境中的 \(50,000\text{ cm}\)（即 \(500\text{ m}\) 或 \(0.5\text{ km}\)）。因此，\(2\text{ cm} = 1\text{ km}\)。

核心重點：計算百分比變動時，分母永遠必須是原始數值 (original value)，切勿除以新數值！

4. 數據圖像表達、散點圖與相關性

A. 散點圖 (Scatter Graphs) 與相關性 (Correlation)

散點圖用來展示兩個變量之間的關係：

• 正相關 (Positive Correlation)：當一個變量增加時，另一個變量亦隨之增加（例如：人均本地生產總值較高通常伴隨較高的預期壽命）。圖上的數據點呈由左下向右上傾斜的分佈。
• 負相關 (Negative Correlation)：當一個變量增加時，另一個變量反而減少（例如：女性識字率較高通常對應較低的出生率）。數據點呈由左上向右下傾斜的分佈。
• 無相關 (No Correlation)：兩個變量之間沒有明顯的關聯或模式。

B. 最佳擬合線 (Line of Best Fit / 趨勢線)

最佳擬合線是一條穿過散點圖上數據點中間的直線，用來顯示整體趨勢。在考試中繪畫時：
1. 務必使用清晰的直尺和鉛筆繪畫。
2. 確保大約一半的數據點落在線的上方，另一半落在線的下方。
3. 順應數據點的整體走向繪畫直線，千萬不要逐點連線。

C. 異常值 (Anomalies / Outliers)

異常值是指未能符合其他數據所呈現的整體趨勢或模式的數據點。當題目要求找出異常值時，請找出遠離最佳擬合線的數據點。

核心重點：散點圖只能展示變量之間的關係（相關性），並不代表兩者必定存在因果關係 (causation)。

5. OCR 考試重要規則與常見陷阱

遵循以下評卷常規，避免白白扣分：

1. 務必攜帶計算機

在所有 OCR 地理科考試中，學生均獲准且需要使用科學計算機。

2. 四捨五入與小數位

OCR 評分標準一般默認答案需精確至小數點後一個位（例如：\(14.6\)），除非題目另有指明（例如「以最接近的整數表示答案」）。

3. 必須標明單位

數值答案如果缺少單位，通常會失去最後的分數。請時刻核對圖表或題目中的單位，例如 \(\text{mm}\)、\(\text{°C}\)、\(\%\)、\(\text{km}\) 或 \(\text{millions}\)。

4. 完成圖表繪圖題

留意題目中往往有容易取得分數的 1 分題，例如「透過繪入……的數據完成圖 X (Complete Figure X by plotting the data for...)」。不少同學會因為直接看圖表下方的橫線作答而忽略了這類題目。記得仔細檢查圖表是否有未繪製的數據點！

5. 百分比 (Percentage) 與百分點 (Percentage Point) 的分別

如果失業率由 \(10\%\) 上升至 \(15\%\)：
• 這是上升了 \(5\) 個百分點。
• 若以百分比變動計算，增幅則是 \(\frac{15 - 10}{10} \times 100 = 50\%\)。
作答時用詞必須準確！

快速溫習總結

• 平均值 (Mean)：將所有數值相加，然後除以數據項目總數。
• 中位數 (Median)：將數值依序排列，找出正中間的數字。
• 眾數 (Mode)：出現次數最多的數值。
• 全距 (Range)：\(\text{最高值} - \text{最低值}\)。
• 四分位距 (IQR)：\(Q_3 - Q_1\)（中間 50% 數據的分佈範圍）。
• 百分比變動：\(\frac{\text{新數值} - \text{原始數值}}{\text{原始數值}} \times 100\)。
• 修約規則：默認保留至小數點後 1 個位，並記得寫上單位！