歡迎來到風險測量（Risk Measurement）的世界！

你好！歡迎來到 FRM Part I 旅程中最重要的章節之一。在我們管理風險之前，必須先學會測量它。你可以把這一章想像成金融界的「溫度計」。正如醫生會檢查你的體溫和心跳來判斷健康狀況一樣，風險管理人員會檢查回報率（Returns）、波動率（Volatility）和相關性（Correlation），以了解投資組合的「健康狀態」。

如果起初覺得這些術語充滿數學味，別擔心！我們會將這些概念拆解成簡單、易於消化的內容，並結合實際生活例子。學完之後，你談論 GARCH 和 EWMA 時將會像專業人士一樣得心應手！


1. 回報率：離散型 vs. 連續型

在談論風險之前，我們需要知道賺了多少或賠了多少。在金融領域，我們關注的是回報率（Returns）。

簡單回報率（Discrete Returns）

這就是你在學校學過的那種。如果你以 $100 買入股票，現在變成 $110，回報率就是 10%。
公式： \( R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} \)

對數回報率（Logarithmic / Continuously Compounded Returns）

在 FRM 的世界裡，我們非常喜歡對數回報率。為什麼？因為它們讓長期的數學運算變得更容易！如果你有一連串的對數回報率，只需將它們相加即可得出總回報率。
公式： \( r_t = \ln(\frac{P_t}{P_{t-1}}) \)

重點複習：為什麼要使用對數回報率？
• 時間可加性（Time Additivity）： 你可以直接將每日的對數回報率相加，得到每週的回報率。
• 常態分佈（Normal Distribution）： 它們通常比簡單回報率更符合我們的統計模型。

常見避坑指南：千萬不要搞混！如果考試要求計算「連續複利回報率」（continuously compounded return），請務必在計算機上按下 ln（自然對數）鍵。


2. 波動率：恐懼的測量標準

波動率（Volatility），即標準差，告訴我們股票價格圍繞其平均值「跳動」的幅度。高波動率意味著高風險（當然也可能伴隨高回報）。低波動率則代表市場走勢更平穩、更可預測。

標準公式：
歷史上，我們透過觀察偏離平均值的平方差平均數來計算變異數（\( \sigma^2 \)）：
\( \sigma^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m} (u_{n-i} - \bar{u})^2 \)

比喻：想像有兩位駕駛。駕駛 A 始終保持時速 60 英里；駕駛 B 則不斷在 80 英里和 40 英里之間變換速度。兩者的平均時速都是 60，但駕駛 B 的過程更「劇烈」，風險更高！

關鍵結論：在風險管理中，為了簡化數學運算，對於極短的時間週期（如一天），我們通常假設平均回報率（\( \bar{u} \)）為零。這是 FRM 中非常常見的約定！


3. EWMA：賦予近期數據更高權重

標準波動率模型將過去的每一天視為同等重要。但三年前的市場崩盤真的和昨天的市場波動一樣重要嗎？可能不是！這就是指數加權移動平均法（Exponentially Weighted Moving Average, EWMA）派上用場的時候。

核心概念：我們賦予最近的數據最高的權重，並隨著時間回溯逐漸「淡化」舊數據的重要性。

公式：
\( \sigma_n^2 = \lambda \sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda) u_{n-1}^2 \)

記憶輔助（Lambda 規則）：
• \(\lambda\) (Lambda)： 對於每日數據，通常取 0.94（RiskMetrics 標準）。
• 如果 \(\lambda\) 很高（接近 1），波動率變化緩慢（具有「黏性」）。
• 如果 \(\lambda\) 很低，波動率會對新訊息反應非常迅速。

小知識：EWMA 實際上是我們即將要學的 GARCH 模型的一個特殊情況！


4. GARCH (1,1)：引入均值回歸

如果說 EWMA 是個「酷炫的弟弟」，那麼 GARCH (1,1) 就是「成熟深沉的哥哥」。GARCH 的全稱是廣義自回歸條件異方差模型（別擔心，你不需要一口氣唸出全名！）。

最大差異：GARCH 假設波動率最終會回到一個長期的平均水平，這稱為均值回歸（Mean Reversion）。

GARCH (1,1) 的配方：
變異數由三個要素組成：
1. 加權後的長期平均變異數（\( \omega \)）
2. 昨天的「新聞」或回報率平方（\( \alpha u_{n-1}^2 \））
\n3. 昨天預測的波動率（\) \beta \sigma_{n-1}^2 \））

公式：
\( \sigma_n^2 = \omega + \alpha u_{n-1}^2 + \beta \sigma_{n-1}^2 \)

重要條件：為了使模型穩定並能回歸均值，\( \alpha + \beta \) 必須小於 1。如果 \( \alpha + \beta = 1 \)，你得到的其實就是 EWMA 模型！

關鍵結論：GARCH 在長期預測方面表現更好，因為它承認市場在「瘋狂」過後最終會平靜下來並回歸常態。


5. 相關性與共變異數：資產如何「共舞」

風險不只關乎單一股票的表現，更關乎資產之間如何聯動。這正是投資組合多樣化（Diversification）的核心。

共變異數（Covariance）：告訴我們關係的方向。正數表示同向變動；負數表示反向變動。
相關係數（Correlation, \( \rho \)）：這是共變異數的「標準化」版本，其值始終保持在 -1 到 +1 之間。

相關係數的衡量尺度：
• +1.0： 完美和諧。兩者完全同步變動。
• 0： 無相關性。就像地鐵裡的陌生人，互不相干。
• -1.0： 完美對立。一個漲，另一個就跌。

計算步驟：
要找出相關係數（\( \rho_{xy} \））：
\n1. 計算共變異數（\) Cov_{xy} \））。
2. 除以兩個標準差的乘積（\( \sigma_x \times \sigma_y \））。
\n\) \rho_{xy} = \frac{Cov_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} \)

鼓勵一下：如果共變異數的數學看起來很嚇人，請記住它只是「偏離值的乘積平均數」。你只是在檢查這兩種資產是否同時向同一個方向「偏離了平均值」。


總結：融會貫通

• 回報率是起點。因具有可加性，對數回報率更受青睞。
• 波動率是我們衡量風險的指標。我們使用 EWMA 和 GARCH 來估計它，因為市場的「恐懼」會隨時間改變。
• EWMA 簡單且反應靈敏；GARCH 則更複雜，且包含了對長期平均值的「拉力」。
• 相關性告訴我們投資組合是否達到多元化。目標是追求低相關性，以降低整體風險！

考前最後貼士：務必熟練使用 EWMA 或 GARCH 公式計算「新的」波動率。考試非常喜歡給你「昨天的」數據，然後要求計算「今天的」波動率估值。只需按步驟將數字代入公式，你一定能拿高分！