歡迎來到波動率的世界：風險的心跳

歡迎！如果你曾經好奇為什麼股票價格有時候像坐「過山車」一樣刺激，有時候卻平靜如水，那你觀察到的其實就是波動率（Volatility）。在本章中，我們將學習如何量化這種「狂野」的波動。這是估值與風險模型（Valuation and Risk Models）部分的關鍵內容，因為如果我們無法評估價格變動的幅度，就無法精確計算風險價值（VaR）或進行期權定價。

如果剛開始看到數學公式覺得有點壓力，請別擔心。我們會將這些概念拆解成簡單的步驟，並運用日常生活中的類比，讓你輕鬆掌握重點！


1. 理解每日收益率與波動率

在衡量波動率之前，我們必須明確衡量的對象。通常，我們觀察的是每日收益率（daily returns）。在 FRM 的領域中，我們常使用連續複利收益率（continuously compounded returns，即對數收益率），因為它們在數學運算上更為簡便。

第 \(n\) 天的收益率 \(u_n\) 通常計算如下：
\(u_n = \ln(S_n / S_{n-1})\)

快速複習：波動率（\(\sigma\)）本質上就是這些收益率的標準差。它告訴我們預期價格變動的範圍。而變異數（Variance）（\(\sigma^2\)）則是波動率的平方。

常見錯誤：考生常會搞混變異數與波動率。只需記住：變異數是「平方」後的數值，而波動率是「原始單位」的數值。如果題目要求計算波動率但給出的是變異數，記得要開根號！


2. 移動平均法（傳統做法）

估計變異數最簡單的方法，就是計算過去 \(m\) 天收益率平方的平均值：
\(\sigma_n^2 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} u_{n-i}^2\)

問題所在：這種方法將昨日的市場崩盤與 30 天前的一次微小波動視為同等重要。但在現實中，昨日發生的事情對明天的預測通常具有更大的參考價值。

總結：簡單移動平均法雖然容易計算，但反應「緩慢」，因為它對窗口內的所有數據點給予了相同的權重。


3. EWMA 模型：具有「記憶衰減」的模型

指數加權移動平均法（Exponentially Weighted Moving Average, EWMA）解決了權重分配不均的問題。它對最新的數據給予較高的權重，對較舊的數據給予較低的權重。

新變異數（\(\sigma_n^2\)）的計算公式為：
\(\sigma_n^2 = \lambda \sigma_{n-1}^2 + (1 - \lambda) u_{n-1}^2\)

組成要素：
1. \(\lambda\) (Lambda)：這是衰減因子（decay factor）。通常介於 0.90 到 0.99 之間（RiskMetrics 模型使用 0.94）。
2. \(\sigma_{n-1}^2\)：昨日的變異數估計值。
3. \(u_{n-1}^2\)：昨日實際收益率的平方。

類比：將 EWMA 想像成你對一家餐廳的記憶。昨天的用餐體驗（\(u_{n-1}^2\)）對你的觀感影響很大，但你長期的整體印象（\(\sigma_{n-1}^2\)）依然重要。隨著時間過去，那次糟糕的晚餐記憶會逐漸「衰減」，影響力隨之降低。

關鍵要點：\(\lambda\) 數值越高，代表模型擁有「長記憶」（變動較慢）；\(\lambda\) 數值越低，代表模型對新資訊的反應越敏銳。


4. GARCH (1,1) 模型：加入均值回歸

GARCH 代表廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）。（別被名稱嚇到，它只是一個高大上的說法，意指「隨時間變動且關注長期平均值的波動率」。）

雖然 EWMA 假設波動率可以任意飄移，但 GARCH (1,1) 假設波動率最終會回歸到一個長期平均值。這就是所謂的均值回歸（mean reversion）。

GARCH (1,1) 的公式為：
\(\sigma_n^2 = \omega + \alpha u_{n-1}^2 + \beta \sigma_{n-1}^2\)

三大要素：
1. \(\omega\) (Omega)：長期變異數（\(\gamma V_L\)）的加權版本。
2. \(\alpha\) (Alpha)：給予近期消息（昨日收益率）的權重。
3. \(\beta\) (Beta)：給予先前變異數的權重。

你知道嗎？如果你設定 \(\omega = 0\) 且 \(\alpha + \beta = 1\)，GARCH 模型就會退化成 EWMA 模型！因此，EWMA 其實就是沒有均值回歸特性的 GARCH 特殊情況。

計算長期平均變異數（\(V_L\)）：

你可以透過以下公式找到長期變異數：
\(V_L = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}\)

穩定性條件：為了使模型保持穩定並呈現「均值回歸」，\(\alpha + \beta\) 的總和必須小於 1。如果 \(\alpha + \beta > 1\)，波動率就會呈現「爆炸性」增長，無法回歸到平均值。

關鍵要點：在長期預測方面，GARCH (1,1) 通常被認為優於 EWMA，因為它考慮了波動率通常會在一段時間後回歸穩定的事實。


5. 最大概似估計法（MLE）

你可能會問：我們該如何選擇 \(\lambda\)、\(\alpha\) 或 \(\beta\) 的最佳數值呢？

我們使用一種稱為最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的技術。在 FRM 考試中，你不需要進行複雜的微積分運算，但必須理解其概念。

MLE 的邏輯步驟：
1. 先為參數（\(\alpha, \beta\)）設定試探性數值。
2. 計算若這些參數為真，歷史數據發生的機率（概似性）。
3. 利用電腦不斷調整參數，直到找到能讓該機率最大化的數值。
4. 這個「最貼合」的數值組合即成為你的模型參數。


6. 監控相關性與共變異數

波動率不僅涉及單一資產，我們也關心兩種資產如何共同波動，這就是共變異數（covariance）。

好消息是，共變異數的數學計算幾乎與波動率完全相同！你可以使用 EWMA 或 GARCH 來更新共變異數：
EWMA 共變異數公式： \(cov_n = \lambda cov_{n-1} + (1 - \lambda) x_{n-1} y_{n-1}\)

一旦你有了共變異數和個別資產的波動率，就可以求得相關係數（Correlation）（\(\rho\)）：
\(\rho_{xy} = \frac{cov_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\)

相關係數口訣：「共變異數除以標準差的乘積」。只要記住相關係數必須永遠介於 -1 與 +1 之間。如果你的計算結果出現 1.2，請停下來檢查一下計算過程！


7. 總結與複習

讓我們回顧一下備考時最重要的幾個重點：

  • 簡單移動平均法：等權重，會有「幽靈效應」（舊數據突然被剔除）。
  • EWMA：指數權重，反應迅速，使用 \(\lambda\)。沒有長期均值。
  • GARCH (1,1)：包含均值回歸。最適合用來觀察「大局」。
  • 持久性（Persistence）：在 GARCH 中為 \(\alpha + \beta\)。它決定了「波動率衝擊」會持續多久。
  • 權重：在任何有效的模型中，權重總和必須等於 1。

溫馨提示：這一章包含許多公式，但考試經常會詢問關於這些模型的行為表現。重點在於理解改變 \(\lambda\) 或 \(\alpha\) 如何影響模型對市場的觀點。你一定做得到的！