歡迎來到非平穩時間序列的世界！

在我們之前學習的時間序列（如 AR 和 MA 模型）中，我們假設世界是「平穩的」——這意味著像平均值（均值）和波動幅度（變異數）這樣的統計特性隨時間保持不變。但老實說：金融市場很少這麼聽話！股價往往會隨年增長，而波動率則可能在危機期間飆升。這些就是非平穩（non-stationary）序列。

在本章中，我們將學習如何識別這些「不穩定」的序列，為什麼它們會誘騙我們看到不存在的規律，以及如何修正它們以構建可靠的模型。如果剛開始看到數學公式覺得有點可怕，請別擔心——我們會用簡單的類比來為你拆解！

1. 什麼是非平穩性？

如果一個時間序列的均值、變異數和共變異數隨時間保持不變，它就是平穩的。試著把平穩序列想像成房間裡擺動的鐘擺：它可能會來回移動，但總是圍繞著同一個中心點，不會突然飛到建築物的另一端。

非平穩序列則恰恰相反。它的均值或變異數會隨時間改變。例子包括：
均值改變： 如亞馬遜（Amazon）股票過去 10 年的價格（它總體上呈上升趨勢）。
變異數改變： 如一個市場可能在一個月內平靜無波，隨後在下個月變得極度波動。

為什麼我們要在乎？

如果你嘗試對非平穩數據進行標準回歸，你可能會得到「虛假回歸（Spurious Regression）」。這是一個高階的說法，意指模型顯示兩個實際上毫無關係的變數之間存在強烈關聯，僅僅是因為它們都同時呈現向上的趨勢。必須避免的錯誤：在檢查平穩性之前，永遠不要相信兩個趨勢變數之間的高 R-squared 值！

快速總結：平穩 = 特性穩定/可預測。非平穩 = 特性隨時間改變。

2. 隨機漫步模型 (Random Walk Model)

金融領域中最著名的非平穩模型是隨機漫步（Random Walk）。它在數學上等同於「醉漢的漫步」。想像一個人走一步，而他下一步走哪裡完全取決於他現在所站的位置，且帶有完全的隨機性。

公式：\( Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \)
其中 \( \epsilon_t \) 是白雜訊（隨機衝擊）。

隨機漫步的主要特徵：

1. 沒有長期均值：序列不會「回歸」到某個平均值。它只是漫無目的地遊走。
2. 變異數隨時間增加：你看向未來的時間越遠，位置就越不確定。具體來說，在時間 \( t \) 的變異數是 \( t \times \sigma^2 \)。
3. 衝擊是永久的：如果一個「衝擊」（例如新聞事件）今天影響了價格，該變動將永遠留在價格中。它不會像在平穩的 AR(1) 模型中那樣逐漸消失。

帶漂移項的隨機漫步 (Random Walk with Drift)

有時，「醉漢」會有一種輕微向前傾斜的趨勢。這就是帶漂移項的隨機漫步：
\( Y_t = \delta + Y_{t-1} + \epsilon_t \)
這裡的 \( \delta \)（delta）就是漂移項。隨著時間推移，序列將會出現向上（如果 \( \delta > 0 \)）或向下（如果 \( \delta < 0 \)）的趨勢。

你知道嗎？ 許多經濟學家認為股價大致遵循隨機漫步，因為所有已知的資訊都已經「反映」在當前的價格中了。

3. 趨勢：確定性與隨機性

了解序列為什麼會出現趨勢很重要，因為針對不同情況的「修正」方法各不相同。

確定性趨勢 (Deterministic Trend)：趨勢是時間的簡單函數。就像鐵軌上的火車，因為時間向前推進，它就向上走。
公式：\( Y_t = \alpha + \beta t + \epsilon_t \)
如何修正：減去趨勢（去趨勢化 / Detrending）。

隨機趨勢 (Stochastic Trend)：趨勢是由隨機衝擊的累積造成的。這就是我們的隨機漫步。
公式：\( Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \)
如何修正：差分（用今天的數值減去昨天的數值）。

記憶小撇步：Deterministic = Destined（註定的，遵循設定好的路徑）。Stochastic = Shocks（衝擊，路徑根據隨機事件而改變）。

4. 單根 (Unit Root) 與 Dickey-Fuller 檢定

我們如何從數學上證明一個序列是非平穩的？我們要尋找是否存在單根（Unit Root）。

在 AR(1) 模型中：\( Y_t = \phi Y_{t-1} + \epsilon_t \)
如果 \( |\phi| < 1 \)，則序列是平穩的。
如果 \( \phi = 1 \)，我們就有一個單根（這正是隨機漫步的情況！）。

Dickey-Fuller (DF) 檢定

我們不能直接對 \( \phi \) 使用標準 t 檢定，因為當 \( \phi=1 \) 時分佈會很奇怪。相反，我們將方程式重寫為：
\( \Delta Y_t = (\phi - 1) Y_{t-1} + \epsilon_t \)
我們令 \( \gamma = \phi - 1 \)。現在我們檢定 \( \gamma = 0 \) 是否成立。

假設條件：
虛無假設 (\( H_0 \))： \( \gamma = 0 \)（存在單根 / 序列是非平穩的）。
對立假設 (\( H_a \))： \( \gamma < 0 \)（序列是平穩的）。

重要提示：如果檢定統計量比臨界值更負（更小），我們就拒絕虛無假設，並得出序列是平穩的結論。警告：我們使用特殊的「Dickey-Fuller 表」來查找臨界值，而不是標準的 t 分佈表！

關鍵收穫：Dickey-Fuller 檢定用於檢查單根。無法拒絕 \( H_0 \) = 壞消息（非平穩）。拒絕 \( H_0 \) = 好消息（平穩）。

5. 修正非平穩性：差分法 (Differencing)

如果你的數據具有單根（隨機趨勢），你通常可以透過差分來「修正」它。這意味著與其觀察價格本身，不如觀察價格的變動量。
一階差分： \( \Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} \)

如果你對一個隨機漫步 (\( Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \)) 進行差分，剩下的就是 \( \epsilon_t \)，也就是白雜訊。白雜訊是完全平穩的！這就是為什麼我們通常建立股價報酬率模型，而不是股價價格模型的原因。

小提示：如果一個序列在經過一次差分後變為平穩，我們稱它為一階整序 (Integrated of order 1)，或記作 I(1)。如果它本身已經是平穩的，則稱為 I(0)。

6. 共整合 (Cointegration)： 「牽繩」效應

通常情況下，當你對一個非平穩變數與另一個非平穩變數進行回歸時，你會得到垃圾結果（虛假回歸）。然而，有一種特殊的例外，稱為共整合。

類比：想像一個人牽著狗走，用一條牽繩繫著。人是隨機走的（非平穩），狗也是隨機亂跑的（非平穩）。但因為有牽繩，它們永遠不會分得太遠。它們之間的距離是平穩的。

在金融中：同一行業的兩隻股票（如可口可樂與百事可樂）價格都可能隨意波動，但它們的價差（股票 A 價格 - 股票 B 價格）可能會保持恆定。如果它們是共整合的，我們就可以利用它們進行配對交易 (Pairs Trading)。

關鍵定義：如果兩個 I(1) 序列的線性組合是 I(0)（平穩的），則稱它們是共整合的。

最終快速複習框

1. 平穩性：均值和變異數恆定。對於可靠的模型至關重要。
2. 隨機漫步：\( Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t \)。非平穩。變異數隨時間增加。
3. 虛假回歸：在兩個具趨勢的變數之間看到虛假的關係。
4. Dickey-Fuller：虛無假設為序列具有單根（非平穩）。
5. 差分：減去前一期的數值，使序列變平穩。
6. 共整合：兩個非平穩序列在長期內共同移動的情況。

做得好！你已經成功跨越了非平穩數據的險灘。只要記住：當有疑問時，先檢查單根，並在建模前對數據進行差分！