歡迎來到多元迴歸的世界！

在之前的學習中，我們探討了簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression, SLR)，利用一個變數（例如市場報酬率）來預測另一個變數（例如股票報酬率）。但說實話，現實世界往往沒那麼簡單！一檔股票的價格不僅受市場影響，還同時受利率、油價及公司獲利等多重因素影響。

在本章中，我們將踏入現實世界，學習多元線性迴歸 (Multiple Linear Regression, MLR)。這讓我們能利用多個解釋變數來解釋單一應變數。如果起初覺得數學有點複雜，請別擔心；我們會把它拆解成小部分來學習。讀完這些筆記後，你會發現它其實只是你所學知識的延伸！

1. 多元迴歸模型

在多元迴歸中，我們試圖在多維數據點組成的「雲狀分佈」中找到一條「最佳擬合」線。其數學公式如下：

\( Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + ... + \beta_k X_{ki} + \epsilon_i \)

其中：
- \( Y_i \)：應變數（我們想預測的對象）。
- \( \beta_0 \)：截距項（若所有 \(X\) 均為零時，\(Y\) 的數值）。
- \( \beta_1, \beta_2... \)：偏迴歸係數 (Partial regression coefficients)。
- \( X_1, X_2... \)：自變數（解釋變數）。
- \( \epsilon_i \)：誤差項（其他影響 \(Y\) 但未納入模型的因素）。

理解「偏」效應

對於 FRM 考試，最重要的一點是如何解讀這些係數。我們使用「其他條件不變」(ceteris paribus) 這一概念。

範例：假設我們根據房屋面積 (\(X_1\)) 和臥室數量 (\(X_2\)) 來預測房價 (\(Y\))。如果 \(\beta_1 = 150\)，這意味著在保持臥室數量不變的前提下，房屋面積每增加 1 個單位，房價將增加 150 美元。

快速複習：在多元迴歸中，每個係數都告訴我們在保持模型中所有其他變數不變的情況下，該特定變數的影響。

2. 適合度：\(R^2\) 與調整後 \(R^2\)

在簡單迴歸中，我們使用 \(R^2\) 來觀察模型對數據的解釋程度。但在多元迴歸中，標準 \(R^2\) 存在一個「陷阱」。

問題所在：每當你在模型中增加一個新變數時——即使它完全沒用（例如用「天空中的鳥類數量」來預測「股票價格」）——\(R^2\) 永遠會保持不變或上升。它絕對不會下降！

解決方案：調整後 \(R^2\) (Adjusted \(R^2\))

為了修正這個問題，我們使用調整後 \(R^2\)（記作 \(\bar{R}^2\)）。這個版本會針對那些無法有效解釋應變數的變數進行「懲罰」。這有助於我們判斷增加一個新變數是否真的值得。

\( \bar{R}^2 = 1 - \frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1} \)

其中：
- \( n \) = 樣本數
- \( k \) = 自變數個數

你知道嗎？由於增加了對變數個數的懲罰機制，調整後 \(R^2\) 永遠會小於或等於標準 \(R^2\)。如果在考試題目中看到調整後 \(R^2 > R^2\)，那肯定是一個陷阱題！

關鍵結論：使用 \(R^2\) 來查看被解釋的變異量，但在比較不同變數個數的模型時，請務必使用調整後 \(R^2\)。

3. 假設檢定：T 檢定與 F 檢定

建立模型後，我們需要知道這些變數是否真的重要。我們主要使用兩種類型的檢定：

T 檢定（個別顯著性）

我們使用 T 檢定來檢查單一變數是否具備統計顯著性。
虛無假設 (\(H_0\))： \(\beta_i = 0\)（該變數無影響）。
公式： \( t = \frac{\text{估計係數} - \text{假設值}}{\text{係數標準誤}} \)

F 檢定（聯合顯著性）

F 檢定用於檢查所有解釋變數作為一個整體是否具有預測力。它檢定的是至少有一個 \(\beta\) 係數不為零。
虛無假設 (\(H_0\))： \(\beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_k = 0\)。
類比：如果 T 檢定像是檢查球隊中某位球員的個人能力，那麼 F 檢定就像是檢查整支球隊是否有贏球的能力。

常見錯誤：學生常誤以為若所有個別 T 檢定都失敗，F 檢定也一定會失敗。事實並非如此！有時變數在一起工作時的效果比單獨存在時更好。

4. 陷阱：遺漏變數偏差與多重共線性

多元迴歸功能強大，但 FRM 考試中必須辨識兩大「死敵」。

死敵一：遺漏變數偏差 (Omitted Variable Bias, OVB)

當你遺漏了一個既重要（會影響 \(Y\)）又與模型中現有變數高度相關的變數時，就會發生這種情況。

結果：你的估計係數將會是有偏差的 (biased) 且不一致的 (inconsistent)。模型會把遺漏變數的功勞（或責任）「歸咎」到你納入的變數上。

死敵二：多重共線性 (Multicollinearity)

當兩個或多個「自變數」之間高度相關時就會發生。例如，如果你試圖用「左腿長度」和「右腿長度」來預測一個人的身高。

如何察覺：
1. \(R^2\) 非常高，且 F 檢定顯著。
2. 但是，個別 T 檢定並不顯著（單看這些變數似乎沒用）。
3. 係數的標準誤非常大。

類比：想像兩個人同時大喊相同的訊息。你知道訊息正在傳遞（高 \(R^2\)），但你無法分辨是誰在傳遞哪部分的訊息（低 T 統計量）。

快速複習：OVB 讓你的結果錯誤（偏差）；多重共線性則讓你的結果不可靠（高變異數/高標準誤）。

5. 多元迴歸模型的假設

為了使我們的 OLS（普通最小平方法）估計量成為「最佳線性不偏估計量」(BLUE)，必須滿足某些假設。這些是延伸至多元迴歸的高斯-馬可夫假設 (Gauss-Markov Assumptions)：

1. 線性：變數間的關係是線性的。
2. 隨機抽樣：數據為具代表性的樣本。
3. 無完全共線性：沒有任何自變數是其他變數的完全線性組合。
4. 零條件期望：給定 \(X\) 時，誤差項的期望值為零。\(E(\epsilon | X) = 0\)。（這是關於偏差最重要的一點！）
5. 同質變異性 (Homoskedasticity)：誤差項的變異數在所有觀察值中保持恆定。

總結重點：
- 係數：解讀時記得「保持其他變數不變」。
- 調整後 \(R^2\)：用於比較模型；它會懲罰模型的複雜度。
- F 檢定：檢定整體模型；T 檢定檢定單一變數。
- 多重共線性：\(X\) 變數間高度相關會導致標準誤過大、T 統計量過低。
- OVB：當遺漏了相關變數時發生，導致估計值出現偏差。