歡迎來到時間序列的世界！
各位未來的 FRM 考生，大家好！歡迎來到量化分析（Quantitative Analysis）科目中最重要的章節之一。今天，我們將深入探討平穩時間序列（Stationary Time Series）。如果你曾經看著股價或利率走勢圖，心想：「我能預測接下來會發生什麼嗎？」，那你其實已經在思考時間序列的問題了。
如果剛開始覺得這些內容有點「數學味」太重，請別擔心。試著把時間序列想像成一串隨時間收集的數據點（例如每日股票回報率）。我們的目標是從過去的規律中尋找線索，藉此了解未來。那我們現在就開始吧！
1. 什麼是時間序列？
時間序列是一組在連續時間點上測量出的觀測值，通常間隔相等（例如每日、每月、每季）。在 FRM 考試中，我們關注這些數列的特性，以便建立可靠的預測模型。
2. 平穩性（Stationarity）的概念
想像一個湖泊。如果水面平靜，波浪維持在一定高度內，那麼水位的變化是可以預測的。但如果一場大風暴襲來，水位開始無限上升，就很難預測了。平穩性就像那個平靜的湖泊。
要讓一個時間序列達到協方差平穩（Covariance Stationary）（這是我們採用的標準），它必須滿足三個特定條件：
- 常數平均值（Constant Mean）： 平均數 \( E(Y_t) \) 不隨時間改變。
- 常數變異數（Constant Variance）： 數據的「分散程度」或波動率 \( Var(Y_t) \) 保持不變。
- 常數協方差（Constant Covariance）： 兩個觀測值之間的關係（例如今天與昨天）僅取決於它們之間的距離（滯後期，lag），而不取決於具體的時間點。
為什麼這很重要？ 如果一個序列不是平穩的（例如它具有趨勢），我們標準的統計檢定結果可能會完全失效。我們需要平穩性來確保過去的數據確實能作為預測未來的可靠依據。
小貼士： 如果你看到的圖表顯示數據有向上「漂移」的趨勢，或者波動幅度越來越大，那麼它就不是平穩的。
重點總結： 協方差平穩意味著平均值、變異數和自協方差在時間上都是穩定的。
3. 白噪音（White Noise）：最純粹的隨機性
白噪音是平穩過程中最簡單的形式。想像一下舊電視的雪花雜訊——那完全是隨機的。在白噪音過程中：
- 平均值為零。
- 變異數為常數。
- 不同觀測值之間沒有相關性（零相關）。
在我們的模型中，我們將「隨機誤差項」稱為 \( \epsilon_t \)，即白噪音。它代表了我們無法預測的系統「衝擊（shocks）」。
4. 自回歸（AR）模型
「Auto」意指「自我」。因此，自回歸模型（Autoregressive model）是指將變數對其自身的過去值進行回歸的模型。
AR(1) 模型
最常見的版本是 AR(1) 模型，其中今日的數值取決於昨日的數值：
\( Y_t = \phi_0 + \phi_1 Y_{t-1} + \epsilon_t \)
其中：
- \( Y_t \) 是今日的數值。
- \( \phi_0 \) 是常數項（截距）。
- \( \phi_1 \) 是係數（表示昨日對今日影響的程度）。
- \( \epsilon_t \) 是隨機衝擊（白噪音）。
AR(1) 的平穩條件
要使 AR(1) 模型平穩，係數 \( |\phi_1| \) 必須小於 1。
- 如果 \( \phi_1 = 1 \)，我們稱之為「隨機漫步（Random Walk）」（非平穩）。
- 如果 \( \phi_1 > 1 \)，序列會發散至無窮大（非平穩）。
均值回歸（Mean Reversion）
平穩的 AR(1) 模型具有均值回歸特性。如果一個衝擊將價格推高，它最終會回落至其長期平均水平（即「均值水平」）。
均值水平公式： \( \mu = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1} \)
重點總結： AR 模型使用過去的數值。對於 AR(1) 來說，要達到平穩，斜率係數必須介於 -1 到 1 之間。
5. 移動平均（MA）模型
別被名字搞混了！這不是技術分析圖表中的那種「移動平均線」。在時間序列中，移動平均（MA）模型是指今日的數值取決於過去的隨機衝擊（誤差）。
MA(1) 模型
\( Y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} \)
其中：
- \( \mu \) 是該序列的平均值。
- \( \epsilon_t \) 是今日的衝擊。
- \( \theta_1 \) 是給予昨日衝擊的權重。
你知道嗎？ 無論 \( \theta_1 \) 的數值是多少，MA 模型永遠是平穩的。這是因為它們只是平穩白噪音項的加權總和。
類比： 將 AR 模型視為「價格的記憶」，而 MA 模型則視為「衝擊的記憶」。如果昨天發生了突發新聞，MA 模型會計算該特定衝擊在今天仍對價格產生多少影響。
6. ARMA 模型
有時候，過去的數值 AND 過去的衝擊同樣重要。我們會將兩者結合起來，成為 ARMA(p, q) 模型。
- p = AR（過去數值）的滯後期數。
- q = MA（過去誤差）的滯後期數。
例子： ARMA(1,1) 看起來如下：
\( Y_t = \phi_0 + \phi_1 Y_{t-1} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} \)
簡約原則（Principle of Parsimony）： 在 FRM 的世界裡，「少即是多」。我們想要的是能很好地解釋數據的最簡單模型。添加太多的滯後期會導致模型過度擬合（overfit）（在舊數據上表現很好，但在新數據上卻失效）。
7. 模型選擇：AIC 與 BIC
我們如何決定 ARMA(1,1) 是否優於 ARMA(2,1)？我們使用資訊準則（Information Criteria）。這些就像是模型的「評分表」。
- AIC (赤池資訊準則 - Akaike Information Criterion)
- BIC (貝氏資訊準則 - Bayesian Information Criterion)
目標： 選擇 AIC 或 BIC 值最低的模型。
重要區別： BIC 比 AIC 更「嚴格」。它對增加額外參數施加了更大的懲罰。如果你擔心模型變得過於複雜，BIC 是你最好的朋友。
記憶技巧： BIC = 對複雜度有 Bigger（較大）的懲罰。
8. 常見陷阱要避免
1. 混淆 AR 和 MA： 請記住，AR 使用 \( Y_{t-1} \)（實際數據），而 MA 使用 \( \epsilon_{t-1} \)（誤差）。
2. 平穩性檢定： 對於 AR 模型，務必檢查是否 \( |\phi| < 1 \)。如果 \( \phi = 1 \)，這就是單位根（Unit Root），你的統計結果將會無效！
3. 滯後期選擇： 不要只選擇 R-squared 最高的一個。請使用 AIC 或 BIC，因為它們考慮了增加變數所帶來的「成本」。
重點總結複習
平穩性： 平均值、變異數和自協方差保持不變。
AR(1)： \( Y_t \) 取決於 \( Y_{t-1} \)。當 \( |\phi_1| < 1 \) 時平穩。
MA(1)： \( Y_t \) 取決於 \( \epsilon_{t-1} \)。永遠平穩。
選擇： 選擇 AIC 或 BIC 最低的模型。
簡約： 保持模型簡單，以避免過度擬合。
你已經完成了！時間序列可能很棘手，但只要專注於這些核心屬性並理解模型背後的邏輯，你就能為考試做好充分準備。繼續練習這些公式，你一定能掌握它！