歡迎來到「四則運算、整數與數線」單元

你有沒有試過在寒冬查看天氣預報時，看見氣溫顯示為 \(-5^\circ\text{C}\)？或者在玩桌上遊戲時被扣分或倒退步數？在日常生活中，數字並非只會由零開始向上數，它們其實是可以向兩個方向延伸的！在這一章，我們會一起探索整數、學習如何在數線上清晰呈現它們，並掌握正數和負數的四則運算（加、減、乘、除）。

備註：如欲更廣泛地了解不同的數字分類（例如有理數或實數），請參閱「數的形態與數系」章節。

1. 認識整數與數線

甚麼是整數？

整數（Integer）是指任何完整無缺的數，它可以是正數、負數或零。整數並不包括分數或小數。

我們可以將整數分為三個明確的組別：

• 正整數：\(\{1, 2, 3, 4, \dots\}\)（大於零的數值）
• 零：\(0\)（既非正數亦非負數；它扮演著中立的原點角色）
• 負整數：\(\{-1, -2, -3, -4, \dots\}\)（小於零的數值）

數線的視覺化

數線（Number line）是一條水平直線，上面的數字以相等的間距排列。它為數值大小與方向提供了一個清晰的視覺圖像：

• 在 \(0\) 的右方：數字為正數，數值逐漸增加（\(\dots \to +\infty\)）。
• 在 \(0\) 的左方：數字為負數，數值逐漸減少（\(\dots \to -\infty\)）。
• 原點（Origin）：標記為 \(0\) 的點。

生活比喻：想像你站在一把梯子上，地面高度是 \(0\)。向上爬第 \(1、2、3\) 級會帶你到達正高度；向下走進地庫的 \(-1、-2、-3\) 級，則會帶你進入負高度。

比較與排列整數的大小

在標準的水平數線上，任何位於較右方的數字，其數值必定大於位於其左方的任何數字。

我們使用不等號來比較整數：

• \(>\) 表示嚴格大於（例如 \(4 > -2\)）
• \(<\) 表示嚴格小於（例如 \(-7 < -3\)）
• \(=\) 表示等於（例如 \(-5 = -5\)）

重要提示：處理負數時要特別小心！雖然 \(7\) 比 \(3\) 大，但 \(-7\) 比 \(-3\) 更冷或位置更低，這代表 \(-7 < -3\)。

數線上的距離與絕對值

數線上任何數字與零之間的距離，必定是正數或零。例如，\(+4\) 和 \(-4\) 與 \(0\) 的距離都剛好是 \(4\) 個單位。當計算數線上兩個數值 \(a\) 和 \(b\) 之間的距離時，我們只需計算它們相隔的單位數量：例如 \(-3\) 與 \(5\) 之間的距離就是 \(5 - (-3) = 8\) 個單位。

本節重點：在數線上向右移動代表數值增加；向左移動代表數值減少。越靠左邊的數字一定越小。

2. 整數的加法與減法

加法：沿著數線移動

我們可以將加法想像成在數線上走步：

• 加上一個正數代表向右走。
• 加上一個負數代表向左走。

一起來看看兩個例子：

1. 計算 \(-2 + 5\)：
由 \(-2\) 出發，向右移動 \(5\) 個單位，你會到達 \(3\)。因此，\(-2 + 5 = 3\)。

2. 計算 \(1 + (-4)\)：
由 \(1\) 出發，加上負數代表向左走，向左移動 \(4\) 個單位，你會到達 \(-3\)。因此，\(1 + (-4) = -3\)。

減法：「相反方向」法則

減去一個數，在數學定義上就等於加上它的相反數。當你進行減法時，方向就會反轉：

• 減去一個正數代表向左移動（就像加上一個負數一樣）：
\(a - b = a + (-b)\)
例子：\(3 - 5 = -2\)

• 減去一個負數會轉變為向右移動（負負得正）：
\(a - (-b) = a + b\)
例子：\(4 - (-3) = 4 + 3 = 7\)

生活比喻：想像一下財務賬目。如果有人為你的賬戶免除（減去）一筆債務（負值），你最終的資產反而會增加（正向轉變）！

「零對」方法（Zero Pair）

另一個理解整數加法的實用工具是零對的概念：

• 一個正數籌碼 \((+1)\) 和一個負數籌碼 \((-1)\) 會互相抵消為零：\((+1) + (-1) = 0\)。
• 計算 \(-5 + 3\)：你有 \(5\) 個負籌碼和 \(3\) 個正籌碼。將 \(3\) 個正籌碼與 \(3\) 個負籌碼配對抵消為 \(0\)，最後剩下 \(2\) 個負籌碼。因此，\(-5 + 3 = -2\)。

本節重點：加上一個負數等同於減去一個正數；減去一個負數等同於加上一個正數。

3. 整數的乘法與除法

正負號法則

乘法和除法遵循一套清晰一致的法則，取決於兩個數字的符號是相同還是相異。

法則一：同號得正

• \(\text{正} \times \text{正} = \text{正}\)  |  \(6 \times 3 = 18\)
• \(\text{負} \times \text{負} = \text{正}\)  |  \((-6) \times (-3) = 18\)
• \(\text{正} \div \text{正} = \text{正}\)  |  \(18 \div 3 = 6\)
• \(\text{負} \div \text{負} = \text{正}\)  |  \((-18) \div (-3) = 6\)

法則二：異號得負

• \(\text{正} \times \text{負} = \text{負}\)  |  \(6 \times (-3) = -18\)
• \(\text{負} \times \text{正} = \text{負}\)  |  \((-6) \times 3 = -18\)
• \(\text{正} \div \text{負} = \text{負}\)  |  \(18 \div (-3) = -6\)
• \(\text{負} \div \text{正} = \text{負}\)  |  \((-18) \div 3 = -6\)

為甚麼負負會得正？

如果一開始覺得這不符合直覺，不用擔心！不妨觀察以下遞減的乘法規律：

\(3 \times (-4) = -12\)
\(2 \times (-4) = -8\)  （每次增加 \(+4\)）
\(1 \times (-4) = -4\)  （每次增加 \(+4\)）
\(0 \times (-4) = 0\)     （每次增加 \(+4\)）
\(-1 \times (-4) = 4\)    （必須維持規律，繼續增加 \(+4\)）
\(-2 \times (-4) = 8\)

為了保持數學邏輯的一致性，這套規律必然推導出 \((-1) \times (-4) = +4\)。

除以零的限制

在數學中，除以零是未定義（Undefined）的。例如，\(\frac{7}{0}\) 沒有任何合法的數值。然而，零除以任何非零整數的結果永遠都是零：\(\frac{0}{-5} = 0\)。

本節重點：同號相乘或相除得出正數；異號相乘或相除得出負數。

4. 四則運算與運算順序

標準運算順序

當一個算式包含多種運算符號時，我們必須遵循國際通用的優先順序，以確保得出一致且正確的答案。常用的記憶口訣為 BEDMAS 或 PEMDAS：

1. Brackets / Parentheses（括號）：先計算最內層括號內的算式。
2. Exponents / Indices（指數／次方）：接著計算次方與平方根。
3. Division & Multiplication（乘除法）：從左至右依序進行。
4. Addition & Subtraction（加減法）：從左至右依序進行。

範例解析：逐步計算

計算以下算式的值：\(14 - 3 \times (-2) + (-8) \div 4\)

步驟 1：辨識運算符號。算式中包含減法、乘法、加法和除法。
步驟 2：由左至右先處理乘法和除法：
• \(3 \times (-2) = -6\)
• \((-8) \div 4 = -2\)
重寫算式：\(14 - (-6) + (-2)\)
步驟 3：由左至右進行加法和減法：
• \(14 - (-6) = 14 + 6 = 20\)
• \(20 + (-2) = 20 - 2 = 18\)
最終答案：\(18\)

處理多重括號（巢狀括號）

當算式中出現多層括號時（例如方括號 \([ ]\) 內含有圓括號 \(( )\)$），永遠先由最內層的括號算起：

計算：\(5 \times [12 - (3 - 7)]\)
• 內層括號：\(3 - 7 = -4\)
• 代回算式：\(5 \times [12 - (-4)]\)
• 化簡方括號內部：\(12 - (-4) = 12 + 4 = 16\)
• 最後進行乘法：\(5 \times 16 = 80\)

本節重點：務必時刻遵循運算順序。除非有括號指示，否則絕不可在乘除法之前先進行加減法。

5. 現實生活應用（標準 D 情境）

在 IB MYP 的評估任務中，整數和數線經常被用來為真實的物理情境與財務狀況建立數學模型：

1. 氣溫變化

情境：在一個山區村落，午夜時的氣溫為 \(-8^\circ\text{C}\)。到了正午，氣溫上升了 \(13^\circ\text{C}\)。到了晚上 8:00，一道冷鋒令氣溫驟降 \(9^\circ\text{C}\)。請問晚上 8:00 的氣溫是多少？

• 起始氣溫：\(-8^\circ\text{C}\)
• 正午上升後：\(-8 + 13 = 5^\circ\text{C}\)
• 晚上下降後：\(5 - 9 = -4^\circ\text{C}\)
• 結論：晚上 8:00 的氣溫是 \(-4^\circ\text{C}\)。

2. 海平面以上及以下的高度

情境：一艘潛艇正在海拔 \(-140\text{ m}\) 的深度巡航（相對於海平面 \(0\text{ m}\)）。為了避開海底山脊，它上升了 \(65\text{ m}\)，隨後再下潛 \(30\text{ m}\)。它現時的深度是多少？

• 數學模型：\(-140 + 65 - 30\)
• 步驟 1：\(-140 + 65 = -75\text{ m}\)
• 步驟 2：\(-75 - 30 = -105\text{ m}\)
• 結論：潛艇現時的海拔高度為 \(-105\text{ m}\)，亦即海平面以下 \(105\text{ m}\) 的深度。

3. 財務會計

情境：一個學會的銀行賬戶原有結餘為 \(\$45\)。他們購買了價值 \(\$80\) 的物資（表示為 \(-\$80\)），其後收到一筆 \(\$60\) 的贊助捐款。請問最後的結餘是多少？

• \(45 - 80 + 60 = -35 + 60 = 25\)
• 結論：學會的期末結餘為正數 \(\$25\)。

本節重點：將數學應用於真實情境時，記得找出關鍵數據、賦予正確的正負號、清晰列出計算步驟，並註明最終單位（例如 \(^\circ\text{C}\)、\(\text{m}\)、\(\$\)）。

6. 數學思維溝通（標準 C）

在 MYP 電子化評估（on-screen eAssessment）中，標準 C：溝通（Communicating）評估你如何清晰解釋解題方法與呈現答案。要取得優異成績，請注意以下幾點：

• 按步驟完整列出算式：切忌只寫出最後答案。清晰寫出每個中間步驟，讓考官能夠清楚跟隨你的邏輯推導。
• 使用規範的數學符號：運算時請寫出完整算式如 \((-4) \times (-3) = 12\)，避免使用非正式的縮寫。
• 在負數運算時加上括號：直接寫 \(5 \times -2\) 容易混淆；應寫成 \(5 \times (-2) = -10\) 以保持算式清晰易讀。
• 標記數線草圖：在繪製或詮釋數線時，務必標明原點（\(0\)）、保持一致的刻度，並畫上指示方向的箭嘴。

7. 常見陷阱與易犯錯誤

• 混淆加法與乘法的符號法則：
錯誤：\(-3 - 5 = +8\)（誤以為「負負得正」）。
正確：\(-3 - 5 = -8\)（從 \(-3\) 出發再向左移動 \(5\) 個單位）。「負負得正」這條法則只適用於兩個符號緊貼在一起時，例如 \(-(-5) = +5\)，或者在進行乘除法時，例如 \((-3) \times (-5) = +15\)。

• 忽略先乘除後加減的運算順序：
錯誤：\(10 - 2 \times 3 = 8 \times 3 = 24\)。
正確：必須先進行乘法：\(2 \times 3 = 6\)，然後才計算 \(10 - 6 = 4\)。

• 誤解負數的不等號方向：
錯誤：\(-12 > -4\)。
正確：\(-12 < -4\)，因為在數線上 \(-12\) 位於 \(-4\) 的更左方。

• 在多步驟計算中漏掉負號：在每一步計算過程中都要時刻留意負號，建議用括號把負數包起來以防遺漏。

8. 本章重點複習

• 整數：所有正整數、負整數和零：\(\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\)。
• 數線：向右移動為正／增加；向左移動為負／減少。
• 加法與減法：加上負數等於減去正數（\(a + (-b) = a - b\)）；減去負數等於加上正數（\(a - (-b) = a + b\)）。
• 乘法與除法：同號得出正數；異號得出負數。
• 運算優先級：遵循 BEDMAS/PEMDAS 法則（括號、指數、乘除、加減）。