歡迎來到死亡損益的世界！

在你的 CM1 學習之旅中，你已經學會了如何根據人們壽命的假設來計算保費和準備金。但如果我們的假設與現實不符，情況會怎樣呢？這正是本章要探討的內容！

我們將探討人壽保險公司如何衡量投保人身故時所承擔的「風險」，以及如何計算這些死亡事件帶來的利潤或虧損。如果一開始覺得這些概念有點抽象，請別擔心——我們將其拆解為四個簡單的概念：DSAR（風險死亡差額）、EDS（預期死亡差額）、ADS（實際死亡差額）以及死亡利潤。

1. 風險死亡差額 (Death Strain at Risk, DSAR)

你可以把風險死亡差額 (DSAR) 想像成保險公司在投保人身故的瞬間所承受的「財務衝擊」。

當投保人身故時，保險公司必須支付保額 (Sum Assured, S)。然而，公司並沒有「損失」這全部金額，因為他們早已為該投保人累積了準備金 (Reserve)。DSAR 本質上就是賠付金額與公司已預留金額之間的差額。

公式：
對於處於 \((t+1)\) 年度的保單：
\(DSAR = S - {}_{t+1}V\)

其中：
\(S\) = 身故賠償金。
\({}_{t+1}V\) = 年末持有的準備金（假設該人士生存）。

現實生活中的例子：
想像你在為一台價值 1,000 英鎊的新手提電腦儲蓄。你銀行帳戶裡已經存了 800 英鎊。如果你的舊電腦今天壞了，你「必須」立刻購買新的，那麼對你額外財務的「衝擊」只有 200 英鎊，因為你已經準備好了那 800 英鎊。

快速複習：

• 如果賠償金是在年末支付，DSAR 為 \(S - {}_{t+1}V\)。
• 如果賠償金是在身故時立即支付，我們通常會調整公式以考慮利息，但核心概念不變：賠付金額減去準備金。

2. 預期死亡差額 (Expected Death Strain, EDS)

在年度開始前，精算師會檢視所有投保人並詢問：「根據我們的生命表，我們預計今年在死亡差額方面會賠付多少錢？」

這就是預期死亡差額 (EDS)。它是投保人死亡的機率乘以公司若該人士身故時所承受的「衝擊」（即 DSAR）。

公式：
\(EDS = q_{x+t} \times DSAR\)
\(EDS = q_{x+t} \times (S - {}_{t+1}V)\)

核心概念：
EDS 就像是一份關於死亡的「預算」。我們知道無法精確預測誰會離世，但在數千張保單中，我們預期會有一個平均成本。

3. 實際死亡差額 (Actual Death Strain, ADS)

到了年底，精算師不再進行估算，而是查看實際數據。實際死亡差額 (ADS) 即是實際發生的情況。

如何計算：
• 如果投保人在年底時依然生存：\(ADS = 0\)
• 如果投保人在年度內身故：\(ADS = DSAR = S - {}_{t+1}V\)

對於一組 \(n\) 張相同的保單，總 ADS 就是實際死亡人數乘以單張保單的 DSAR。

你知道嗎？
對於單一個人來說，ADS 要麼是「全額衝擊」，要麼是「零」。只有當我們觀察一大群人時，ADS 的數值才會變得平滑，從而能與 EDS 進行比較。

4. 死亡利潤 (Mortality Profit / Surplus)

現在是最重要的部分：我們賺錢還是虧錢了？我們透過比較「預算」(EDS) 和「實際成本」(ADS) 來計算死亡利潤（也稱為死亡盈餘）。

公式：
\(Mortality Profit = EDS - ADS\)

理解結果：
• 正數：代表有利潤。這發生在 \(EDS > ADS\) 時（實際死亡人數少於預期）。
• 負數：代表有虧損。這發生在 \(ADS > EDS\) 時（實際死亡人數多於預期）。

記憶小撇步：「E 在 A 前」
為了記住順序，可以參考字母表。Expected（預期）排在 Actual（實際）前面。如果你的「預期」資金多於「實際」成本，你就賺錢了！

避免常見錯誤：

學生經常混淆死亡利潤與總利潤。死亡利潤僅反映由「死亡率」引起的差額，它忽略了利率或費用的變動。處理這些問題時，請務必專注於 DSAR！

5. 逐步教學：計算群體的死亡利潤

如果你遇到有關一群投保人的題目，請按照以下步驟操作：

1. 計算準備金：求出單張保單的 \({}_{t+1}V\)。
2. 計算 DSAR：從保額中減去準備金 (\(S - {}_{t+1}V\))。
3. 計算總 EDS：將 DSAR 乘以預期死亡人數（保單數量 \(\times q_{x+t} \times DSAR\)）。
4. 計算總 ADS：將 DSAR 乘以「實際」發生的死亡人數。
5. 相減：\(總 EDS - 總 ADS = 總死亡利潤\)。

總結表

DSAR：即「缺口」 (\(S - V\))
EDS：即「假設」 (\(q \times DSAR\))
ADS：即「現實」 (實際死亡人數 \(\times DSAR\))
死亡利潤：預期減去實際 (\(EDS - ADS\))

鼓勵一下：你做得到的！死亡利潤只是我們檢視工作成果的一種方式。只要你會計算準備金，並且知道 \(q_x\) 的數值，你已經成功了 90%！