簡介：結合生命與時間

歡迎來到這一章：同時取決於固定年期及年齡的聯生函數。到目前為止，在你的 CM1 學習旅程中，你已經學過如何為單個人的合約估值，以及如何為取決於兩人存續情況的合約（聯生 Joint Life 和最後生存者 Last Survivor）進行估值。

在現實世界中，許多保險產品的保障期並非「永久」或直至死亡，它們通常設有固定年期 (fixed term)。例如，一對夫婦可能想要一份只持續到他們 25 年按揭貸款還清為止的壽險保單。又或者，一份退休金可能保證至少發放 10 年，無論受保何時去世。本章將教你如何在數學上將兩個人的死亡率與固定時間跨度 \(n\) 結合起來。

你知道嗎？這些函數是構建複雜產品（如聯生按揭保險和家庭收入福利）的「核心基石」。掌握這些概念將使 CM1 中「定價與準備金 (Pricing and Reserving)」的部分變得輕鬆得多！


1. 設有固定年期的「聯生」狀態

回想一下，聯生狀態 (Joint Life Status)（記作 \(xy\)）僅在兩個人都生存時才存在。如果我們加入固定年期 \(n\)，我們就創造了一種在以下三個事件中最先發生者出現時即告終止的狀態：
1. 受保人 \(x\) 去世。
2. 受保人 \(y\) 去世。
3. 年期 \(n\) 屆滿。

我們將這種組合狀態記為 \(xy:\overline{n|}\)。你可以將這想像成一場三方競賽，只要其中任何一方（包括在第 \(n\) 年出現的「時間」因素）跨過終點線，比賽就會結束。

聯生定期年金 (Joint Life Temporary Annuity)

只要 \(xy:\overline{n|}\) 狀態持續，定期年金就會支付保險金。換句話說，只要兩人都生存就會付款，但支付期不超過 \(n\) 年。

公式：
\(a_{xy:\overline{n|}} = \sum_{t=1}^{n} v^t \cdot {}_t p_{xy}\)
（假設為期末付。如果是期初付，則使用 \(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\) 並將求和範圍定為從 \(t=0\) 到 \(n-1\)）。

重要關係：
記住 \({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\)（假設兩人的生命是獨立的）。因此，狀態存續的概率簡單來說就是兩個人各自生存概率的乘積。

聯生兩全保險 (Joint Life Endowment Assurance)

兩人的兩全保險會在首名受保人去世當年的年末支付賠償，或者如果兩人都生存，則在第 \(n\) 年年末支付。

邏輯：
\(A_{xy:\overline{n|}} = A_{xy:\overline{n|}}^1 + A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\)
其中：
• \(A_{xy:\overline{n|}}^1\) 是定期壽險 (Term Assurance) 部分（如果在 \(n\) 年內發生首名受保人死亡則賠付）。
• \(A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\) 是純生存保險 (Pure Endowment) 部分（如果 \(n\) 年後兩人依然生存則賠付）。這等於 \(v^n \cdot {}_n p_{xy}\)。

重點總結： 帶有年期 \(n\) 的聯生狀態表現得與帶有年期 \(n\) 的單人壽險狀態完全一樣，只需將單人生存概率 \({}_t p_x\) 替換為聯生生存概率 \({}_t p_{xy}\) 即可。


2. 設有固定年期的「最後生存者」狀態

最後生存者狀態 (Last Survivor Status)（記作 \(\overline{xy}\)）只要至少有一人生存就一直存在。當我們加入固定年期 \(n\) 時，狀態 \(\overline{xy}:\overline{n|}\) 會在最後一名生存者去世或年期 \(n\) 屆滿時結束。

這在最後生存者定期年金中非常常見。只要至少有一人活著，年金就會持續發放，但無論如何都會在 \(n\) 年後停止。

「Z-方法」（容斥原理 Inclusion-Exclusion）

在處理最後生存者函數和固定年期時，最簡單的解題方法是使用容斥原理。對於任何函數（我們稱之為 \(f\)），其關係式為：
\(f_{\overline{xy}:\overline{n|}} = f_{x:\overline{n|}} + f_{y:\overline{n|}} - f_{xy:\overline{n|}}\)

例子：最後生存者定期年金
\(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}} = \ddot{a}_{x:\overline{n|}} + \ddot{a}_{y:\overline{n|}} - \ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\)

為什麼這可行？
想像要向兩個人支付福利。如果我們向 \(x\) 支付一份福利（為期 \(n\) 年），並向 \(y\) 支付一份（為期 \(n\) 年），那麼在他們兩人都生存的期間，我們就支付了「雙倍」。通過減去聯生年金 (\(xy:\overline{n|}\))，我們去除了那部分雙倍支付，從而實現只要其中一人生存就剛好支付一份福利。

如果起初覺得這有點難，不用擔心！ 只要記住：最後生存者 = 個人 1 + 個人 2 - 兩人聯生。這條規則適用於保險、年金和概率計算。


3. 取決於固定年期的函數：特殊情況

課程大綱特別提到取決於固定年期的函數是一個擴展部分。兩個非常常見的「考試型」應用是涉及兩人的保證年金 (Guaranteed Annuities) 和遞延利益 (Deferred Benefits)。

兩人的保證年金

一種常見的合約是年金支付期取決於固定年期 \(n\) 與生存者壽命之中的較長者。這通常寫作 \(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}\)，但在不同的語境下：狀態肯定會存在滿 \(n\) 年，再加上 \(x\) 或 \(y\) 額外生存的時間。

帶有 \(n\) 年保證期的 \(\ddot{a}_{\overline{xy}}\) 逐步邏輯：
1. 計算確定部分：\(\ddot{a}_{\overline{n|}}\)（這是一個標準的金融確定年金）。
2. 加上「或有 (contingent)」部分：如果有人在 \(n\) 年後仍然生存，則繼續支付。
3. 表達式為：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + v^n \cdot {}_n p_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+n:y+n}}\)
（或者更簡單地寫成：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + {}_n|\ddot{a}_{\overline{xy}}\)）。

遞延聯生利益

遞延年金 \({}_n|\ddot{a}_{xy}\) 的意思是：「等待 \(n\) 年。如果屆時兩人都生存，則開始支付聯生年金。」

公式：
\({}_n|\ddot{a}_{xy} = v^n \cdot {}_n p_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+n:y+n}\)

要避免的常見錯誤：
留意概率！對於遞延聯生年金，兩個人都必須在遞延期結束時生存。而對於遞延最後生存者年金，則只需一個人生存即可。


4. 核心公式總結

以下是本章最重要關係的快速複習：

1. 概率關係：
如果 \(t \le n\) 且有人生存，則 \({}_t p_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) 為 1。通常我們觀察狀態的存續情況。聯生狀態 \(xy:\overline{n|}\) 在時間 \(t\) 仍然有效的概率為：
• 若 \(t < n\)，為 \({}_t p_{xy}\)
• 若 \(t \ge n\)，為 \(0\)

2. 年金關係：
\(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}} = \ddot{a}_{xy} - {}_n|\ddot{a}_{xy}\)
（定期年金等於終身年金減去我們不需要的遞延部分）。

3. 最後生存者 「Z」 規則：
當涉及固定年期 \(n\) 時，始終使用 \(\text{最後生存者} = X + Y - \text{聯生}\)，以保持計算清晰。


5. 考試實戰小貼士

貼士 1：仔細閱讀時間點！
賠付是在首名死亡還是第二名死亡時發生？是否有固定年期？利用符號來引導你。如果你看到年齡上方有一橫線（\(\overline{xy}\)），那就是最後生存者。如果在狀態上方有一個 "1"（例如 \(A_{xy:\overline{n|}}^1\)），則僅在該特定狀態「先死亡」時才賠付。

貼士 2：Excel (Paper B) 效率
在 CM1B 中，你經常需要建立 \({}_t p_x\) 和 \({}_t p_y\) 的表格。要得到聯生版本，只需建立一欄將兩者相乘：\({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\)。要得到定期版本，只需在第 \(n\) 行停止求和即可。

貼士 3：「至少一人」邏輯
如果題目要求「在 \(n\) 年後至少有一人生存」的概率，那簡單來說就是 \({}_n p_{\overline{xy}} = {}_n p_x + {}_n p_y - {}_n p_x \cdot {}_n p_y\)。或者更簡單：\(1 - (1 - {}_n p_x)(1 - {}_n p_y)\)，即 \(1 - (\text{兩人都死亡的概率})\)。


重點總結： 在雙人生命函數中加入固定年期 \(n\)，並不會改變精算數學的底層邏輯。這僅僅意味著我們的求和與積分現在有了上限 \(n\)，而不是 \(\infty\)。對最後生存者使用容斥原理，並時刻檢查合約是「聯生」（首名死亡即結束）還是「最後生存者」（第二名死亡才結束）。