歡迎來到投資相連保險投影 (Unit-Linked Projections)！

在精算數學的世界裡，投資相連保險合約 (unit-linked contracts) 對於保單持有人來說，有點像是一場「自選冒險」之旅。與保險公司承諾固定金額的傳統合約不同，投資相連保險讓保單持有人可以看到他們的保費直接投資於一個資產基金中。作為一名精算師，你的職責就是模擬這個基金如何增長，以及保險公司如何從中賺取利潤。

如果這看起來比標準的儲蓄保險 (endowment policies) 複雜一點，別擔心！秘訣在於我們只需將合約拆分為兩個獨立的「帳戶」。一旦你理解了這兩個帳戶如何相互作用，數學運算就會變得容易得多。

1. 雙帳戶系統 (The Two-Bucket System)

要投影投資相連保險合約，我們必須為每份保單維護兩個不同的帳戶：

單位基金 (The Unit Fund —— 保單持有人的帳戶)

單位基金代表分配給保單持有人的單位價值。你可以把它想像成一個個人投資帳戶。雖然由保險公司管理，但價值屬於客戶。

  • 資金流入： 用於購買單位的保費部分（已分配保費 Allocated Premium）。
  • 資金流出： 保險公司收取的費用（用於支付成本）和給付的保險金。
  • 增長： 底層資產賺取的投資回報。

非單位基金 (The Non-Unit Fund —— 保險公司的帳戶)

非單位基金是保險公司自身現金流存放的地方。我們在這裡計算公司是否真正盈利。

  • 資金流入： 從單位基金收取的費用、保費中未分配的部分，以及非單位資產的投資收入。
  • 資金流出： 開支（如行政費用）、支付給代理人的佣金，以及提供「額外」保險保障（身故賠償）的成本。

關鍵重點： 離開單位基金的「費用 (Charges)」與進入非單位基金的「費用」完全相同。它們是連接這兩個帳戶的橋樑！

2. 投影單位基金

要投影單位基金，我們追蹤單位從年初到年底的變化。假設 \(U_{t-1}\) 為第 \(t\) 年年初的單位基金。

分步計算：
  1. 加入已分配保費： 並非所有的保費 \(P\) 都會進入基金。如果存在「買賣差價 (bid-offer spread)」或分配率，則只有一部分會被使用。假設 \(P_t\) 為保費，\(Alloc_t\) 為分配率。
    \( \text{Units Added} = P_t \times Alloc_t \)。
  2. 加上投資增長： 基金按「單位增長率」 \(I_u\) 增長。
    \( \text{Value before charges} = (U_{t-1} + \text{Allocated Premium}) \times (1 + I_u) \).
  3. 扣除費用： 保險公司通常會收取基金管理費 (Fund Management Charge, FMC)。這通常是基金價值的一個百分比 (\(m\))。
    \( \text{FMC} = m \times \text{Value before charges} \)。
  4. 期末餘額： 年底的基金 \(U_t\) 為：
    \( U_t = (U_{t-1} + P_t \times Alloc_t) \times (1 + I_u) \times (1 - m) \)。

注意：收取費用的時間點（年初 vs 年底）取決於考試題目中具體的合約條款。務必仔細閱讀「細節」！

3. 投影非單位基金

非單位基金的投影本質上是保險公司的現金流量表。我們計算每一年的現金流 \(CF_t\)。

常見的非單位現金流：
  • 未分配保費： \( P_t \times (1 - Alloc_t) \)。
  • 合約行政費： 通常在年初扣除的固定保單費用。
  • 買賣差價 (Bid-Offer Spread)： 如果單位是以「買入價 (bid price)」購買，但保費是以「賣出價 (offer price)」支付（通常有 5% 的差價）。
  • 基金管理費 (FMC)： 我們剛在單位基金部分計算出的金額。
  • 開支與佣金： 保險公司承擔的成本 (\(e_t\))。
  • 風險保額成本 (Cost of Capital at Risk)： 如果保單持有人身故，保險公司須支付身故賠償。非單位基金必須承擔「額外」的金額：\( \text{Sum Assured} - \text{Unit Fund} \)。

你知道嗎？ 「風險保額成本」通常計算為：
\( q_{x+t-1}^{(d)} \times (\text{Death Benefit} - U_t) \)。
這代表保險公司為合約中保障部分所承擔的預期成本。

4. 相互作用與約束

在投影這些基金時，我們通常假設投影是針對年初仍在保的一份保單。這就是為什麼我們使用死亡概率 (\(q_x\)) 和退保概率 (\(q_s\)) 來對現金流進行「加權」。

利潤向量 (The Profit Vector)

一旦我們計算出非單位基金每年淨現金流，我們就得到了所謂的利潤向量 (Profit Vector)。對於投資相連業務，這通常表現為第 0 年的大額負值（由於高昂的初始開支和佣金），隨後幾年則是正值（隨著單位基金的費用收入增加）。

快速複習框：
- 單位基金： 追蹤客戶的投資。
- 非單位基金： 追蹤保險公司的盈虧。
- FMC： 非單位基金最常見的「收入」。
- 分配率 (Allocation Rate)： 實際投資的保費百分比。

5. 應避免的常見陷阱

學生常常覺得這一章很棘手，因為裡面有很多「移動部件」。以下是三個需要注意的地方：

  1. 利率： 單位基金使用「單位增長率」，但非單位基金使用「保險公司的投資回報」（其自有現金賺取的利潤）。兩者通常是不同的！
  2. 時間點： 留意開支和收費是發生在年初 (t) 還是年底 (t+1)。
  3. 身故賠償： 記住，在投資相連合約中，總身故賠償通常是 \( \max(\text{Sum Assured}, \text{Unit Fund}) \) 或 \( \text{Sum Assured} + \text{Unit Fund} \)。請仔細閱讀題目，看非單位基金需要「補足」多少金額。

下一步： 一旦你掌握了這些投影，你將學習如果非單位基金在未來年份出現負值，該如何將這些現金流「歸零 (zeroise)」。這將在「利用非單位準備金使負現金流歸零」一章中討論。

總結： 投影投資相連合約其實就是一種平衡練習。將保單持有人的錢（單位基金）與公司的錢（非單位基金）分開，並確保費用正確地從一個帳戶流向另一個帳戶。掌握了這一點，你就掌握了現代人壽保險建模的核心！