歡迎來到信用風險建模（Credit Risk Modelling）！

你好！歡迎來到 CM2 課程中最實用的章節之一。在本節中，我們將通過研究信用風險（Credit Risk），踏入資產估值（Asset Valuations）的世界。如果你曾借錢給朋友並擔心他們無法還款，那麼你其實已經體驗過信用風險的核心了！對於精算師而言，我們需要將這些擔憂量化，以便有效地為債券定價並管理投資組合。

如果起初覺得數學有點複雜，別擔心，我們會一步步為你拆解。讀完這些筆記後，你將會明白為什麼一家公司就像一隻「買權（call option）」，以及我們如何預測企業「倒閉」的機率。


1. 什麼是信用風險？

簡單來說，信用風險是指借款人（個人、公司或政府）無法履行償還債務利息或本金的義務。在資產估值領域中，這意味著我們所購買的債券最終價值可能會遠低於預期。

在 CM2 中，我們主要通過以下兩種方式進行建模：
1. 結構化模型（Structural Models）： 我們觀察公司的內部狀況，看看他們是否有足夠的資產來支付債務。
2. 簡化模型（Reduced-Form Models）： 我們將違約視為隨時可能發生的隨機「突發事件」。

快速複習： 信用風險不僅僅指徹底的失敗（違約）；它還包括評級下調風險（downgrade risk）（例如公司的信用評級從 AA 降至 BBB 的風險）。


2. 結構化模型：默頓模型（Merton Model）

默頓模型是結構化模型的「鼻祖」。它利用你在先前章節中學過的期權定價原理，來評估公司的債務和股權價值。

核心概念：將公司視為期權

假設一家公司的總價值為 \(V_t\)，且必須在時間 \(T\) 償還一筆債務 \(D\)。
• 若在時間 \(T\)，公司價值高於債務（\(V_T > D\)），股東會償還債務並保留其餘價值。他們的獲利為 \(V_T - D\)。
• 若在時間 \(T\)，公司價值低於債務（\(V_T < D\)），股東會放棄公司，將其交給債權人，自己一無所獲。他們的獲利為 \(0\)。

這看起來很熟悉對吧？ 這正是歐式買權（European Call Option）的獲利模式！股權就像是以債務金額作為行使價（strike price）的資產買權。

你需要掌握的公式

根據 Black-Scholes 框架，股權（Equity, \(E_t\)）的價值為：
\( E_t = V_t \Phi(d_1) - D e^{-r(T-t)} \Phi(d_2) \)

其中：
\( d_1 = \frac{\ln(V_t / D) + (r + 0.5\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \)
\( d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \)

你知道嗎？ 在該模型中，違約機率（Probability of Default）僅僅是公司價值在時間 \(T\) 低於債務的機率。在真實世界衡量（而非風險中性衡量）下，這是 \(1 - \Phi(d_2)\)（需調整為真實增長率 \(\mu\) 而非 \(r\)）。

重點總結：

結構化模型假設我們對公司的資產和波動性擁有完美資訊。違約是內生性（endogenously）發生的，這意味著它是因公司內部的價值下降過多而導致的。


3. 簡化模型（強度模型 Intensity Models）

有時，我們無法得知公司資產的確切價值。簡化模型忽略了資產負債表，而是將違約視為一種由「危險率（hazard rate）」或強度（intensity）（以 \(\lambda\) 表示）控制的隨機事件。

「突發事件」的比喻

想像一下燈泡。你無法確切知道它何時會壞，但你知道燈泡壞掉的平均頻率。強度 \(\lambda\) 是違約的瞬時機率。如果 \(\lambda\) 為常數，則違約時間服從指數分佈（Exponential Distribution）。

關鍵概念：

• 生存機率（Survival Probability）： 企業存活到時間 \(t\) 的機率為 \(P(T > t) = e^{-\lambda t}\)。
• 違約機率（Default Probability）： 企業在時間 \(t\) 前倒閉的機率為 \(1 - e^{-\lambda t}\)。
• 回收率（Recovery Rate, \(R\)）： 如果公司違約，你未必會失去一切。你可能每美元能回收 \(R\) 美分。

常見錯誤： 學生常會將其與結構化模型混淆。請記住：如果題目提到「危險率」、「強度」或「卜瓦松過程（Poisson process）」，這就是簡化模型。


4. 信用評級與轉移矩陣

另一種模擬信用風險的方法是觀察信用評級（Credit Ratings）（例如穆迪或標普的評級）。隨著時間推移，公司會在不同評級之間變動（例如從 A 降至 BBB）。我們使用馬可夫鏈（Markov Chain）來對此進行建模。

轉移矩陣（Transition Matrix）

轉移矩陣 \(P\) 展示了在一段時間（通常為一年）內，從一個狀態轉移到另一個狀態的機率。
• 列（Row）代表目前的評級。
• 行（Column）代表期末的評級。
• 其中一個狀態永遠是違約（Default），這是一個「吸收態（absorbing state）」（一旦進入違約狀態，通常就回不來了！）。

記憶小撇步： 「列是你的起點，行是你的終點。」

例子： 如果你想計算 兩年 內的違約機率，你需要將矩陣平方（\(P^2\)），然後查看對應起點評級的那一行中的「違約」數值。


5. 風險債券定價

我們該如何為可能違約的債券定價？我們對預期的現金流進行折現。對於面值為 \(1\) 的簡單零息債券：

價格 = (生存機率 \(\times\) 不違約時的價值) + (違約機率 \(\times\) 違約時的價值)

使用強度 \(\lambda\) 和回收率 \(R\)，風險零息債券的價值為：
\( B(t, T) = e^{-r(T-t)} [ e^{-\lambda(T-t)} + R(1 - e^{-\lambda(T-t)}) ] \)

簡化邏輯：
如果沒有回收（\(R=0\)），價格僅為 \( e^{-(r+\lambda)(T-t)} \)。強度 \(\lambda\) 的作用就像額外的利率——我們稱之為信用利差（credit spread）。


6. 總結與比較

最後，讓我們比較一下這兩個主要的建模家族：

結構化模型（默頓模型）：
• 優點： 連結了股權與債務；提供了違約的經濟理由。
• 缺點： 資產價值（\(V_t\)）無法直接觀測；難以校準；短期內違約是「可預測的」（這並不切實際）。

簡化模型：
• 優點： 更易於根據市場價格進行校準；反映了違約的「突發」本質。
• 缺點： 無法解釋違約發生的原因；將違約視為純粹的數學事件。

考試最後小撇步： 如果題目要求「公司價值（Value of the Firm）」或「資產波動率（Volatility of Assets）」，請直接使用默頓模型公式。如果看到「危險率（Hazard Rate）」或「回收率（Recovery Rate）」，請使用簡化模型方法！


別擔心如果剛開始覺得很難！信用風險是一個深奧的主題，但如果你掌握了買權與公司股權之間的連結，你已經克服了最困難的部分。繼續多練習轉移矩陣的計算吧！