歡迎來到 Black-Scholes 的世界！

你好！今天我們要深入探討金融數學中最著名的課題之一：Black-Scholes 模型。如果你曾經好奇交易員是如何決定一個期權的「公平價格」，這就是答案。雖然它滿佈希臘字母和長長的公式，看起來很嚇人，但別擔心！我們會一步步拆解它。讀完這些筆記後，你會發現它其實只是一個根據幾個關鍵要素來尋找價格的「食譜」。

1. 遊戲規則：Black-Scholes 的假設

在使用該模型之前，我們必須先了解它所處的「完美世界」。在 IFoA 的考試中，你經常會被要求列出或解釋這些假設。你可以將這些視為模型能正確運作的基本規則。

主要假設：

1. 股票價格遵循幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)：這是一個花俏的說法，意思是股票的回報率遵循常態分佈 (Normal Distribution)，而股票價格本身則遵循對數常態分佈 (Log-normal distribution)。同時假設波動率 (\( \sigma \)) 為常數。
2. 無股息：基本模型假設股票在期權有效期內不會支付任何現金股息。
3. 無風險利率為常數：利率 (\( r \)) 是已知的，且保持不變。
4. 無「摩擦」：沒有交易成本，沒有稅收，且你可以買賣任何數量的股票（即使是極小的份額）。
5. 無套利 (No Arbitrage)：沒有「免費午餐」。你不能在不承擔任何風險的情況下獲得確定的利潤。
6. 連續交易：你可以在任何你想要的微秒內交易股票。

快速複習：為什麼我們要在意這些？因為如果現實世界中沒有滿足這些假設（通常確實無法完全滿足！），模型計算出的價格可能會稍微「偏差」。

2. Black-Scholes 偏微分方程 (PDE)

Black-Scholes PDE 是該模型的「引擎」。它描述了期權價值 (\( f \)) 如何隨著時間 (\( t \)) 和股票價格 (\( S \)) 的變化而改變。

該方程如下：
\( \frac{\partial f}{\partial t} + rS \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf \)

別驚慌！在考試中，你很少需要從零開始推導這個方程。你需要知道的是它的含義：它告訴我們，如果構建一個「Delta 對沖」投資組合（結合期權和股票），該組合應該能獲得無風險回報率。

關鍵要點：這個 PDE 是關於風險中性定價 (risk-neutral pricing) 的陳述。它說明衍生產品的價格並不取決於股票的預期增長率，而是取決於其波動率和無風險利率。

3. Black-Scholes 定價公式

當我們為歐式買權 (Call) 和賣權 (Put) 解開那條可怕的 PDE 時，我們得到了這些著名的公式。它們將是你準備 CM2 考試的最佳夥伴！

歐式買權價格 (\( C_t \))：

\( C_t = S_t \Phi(d_1) - K e^{-r(T-t)} \Phi(d_2) \)

歐式賣權價格 (\( P_t \))：

\( P_t = K e^{-r(T-t)} \Phi(-d_2) - S_t \Phi(-d_1) \)

這些字母是什麼意思？
- \( S_t \)：現時股價
- \( K \)：行使價 (Strike price)
- \( r \)：無風險利率
- \( T-t \)：距離到期的剩餘時間
- \( \Phi(d) \)：標準常態分佈的累積分配函數（即「統計表」中的數值）
- \( \sigma \)：股價波動率

記憶小撇步：可以將買權公式理解為：（預期獲得的價值）減去（預期支付的價值）。
\( S_t \Phi(d_1) \) 大致是你收到的股票的預期價值，而 \( K e^{-r(T-t)} \Phi(d_2) \) 是你必須支付的行使價的現值。

4. 計算 \( d_1 \) 和 \( d_2 \)

要使用上述公式，首先需要計算 \( d_1 \) 和 \( d_2 \)。這是大多數學生容易在計算器上犯錯的地方，所以請慢慢來！

\( d_1 = \frac{\ln(S_t / K) + (r + \frac{1}{2} \sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \)

\( d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} \)

逐步流程：
1. 計算對數部分：\( \ln(S/K) \)。
2. 計算「漂移 (drift)」部分：\( (r + 0.5\sigma^2) \times \text{時間} \)。
3. 將它們相加並除以「時間波動率」：\( \sigma \sqrt{\text{時間}} \)。
4. 得到 \( d_1 \) 後，只需減去 \( \sigma \sqrt{\text{時間}} \) 即可得到 \( d_2 \)。
5. 在你的公式表 (Formula Tables) 中查出 \( \Phi(d_1) \) 和 \( \Phi(d_2) \)。

常見錯誤：務必確保 \( T-t \) 的單位是年。如果期權在 6 個月後到期，請使用 0.5！

5. 「希臘字母」：衡量風險

「希臘字母 (The Greeks)」告訴我們當其中一個「成分」發生變化時，期權價格會如何變動。它們對於風險管理至關重要。

- Delta (\( \Delta \))：當股價變動 1 美元時，期權價格的變動幅度。對於買權，\( \Delta = \Phi(d_1) \)。
- Gamma (\( \Gamma \))：當股價變動時，Delta 的變動幅度。它衡量對沖的「穩定性」。
- Theta (\( \theta \))：「時間流逝」(Time decay)。期權越接近到期，價值會隨時間減少。
- Vega (\( \nu \))：當波動率 (\( \sigma \)) 改變時，期權價格的變動幅度。
- Rho (\( \rho \))：當利率改變時，期權價格的變動幅度。

你知道嗎？Delta 也是你為了「對沖」（抵銷風險）你所賣出的期權而應該持有的股票數量。這被稱為 Delta 對沖 (Delta Hedging)。

6. 歷史波動率與隱含波動率

波動率是 Black-Scholes 公式中唯一的「秘密成分」，因為我們無法直接觀測到未來。

- 歷史波動率 (Historical Volatility)：審視過去。我們計算過去股價回報的標準差。
- 隱含波動率 (Implied Volatility, IV)：審視市場。我們利用期權的現時市場價格，透過 Black-Scholes 公式「反向推算」，找出能讓公式結果等於市價的 \( \sigma \)。

關鍵要點：隱含波動率代表市場對未來風險的預期。如果 IV 很高，期權就會變得很貴！

7. 總結與小撇步

快速複習：
- 買權價格： \( S\Phi(d_1) - Ke^{-rt}\Phi(d_2) \)
- 賣權價格： 使用平價公式 (Put-Call Parity) 或賣權公式。
- Delta： 買權為 \( \Phi(d_1) \)，賣權為 \( \Phi(d_1) - 1 \)。
- 對數常態： 價格呈對數常態分佈；回報率呈常態分佈。

鼓勵：如果現在這些公式看起來像一堆亂碼，別擔心！試著用不同的數字練習計算 \( d_1 \) 和 \( d_2 \) 五次。一旦你掌握了這兩個數值的計算，本章剩下的內容自然會融會貫通。你一定做得到！