簡介：尋找「最佳」模型

在之前的章節中，我們探討了廣義線性模型 (GLMs) 的基本組成部分：指數族 (exponential family)、連結函數 (link functions) 和線性預測值 (linear predictors)。現在，我們進入了流程中的「決策」階段。我們實際上是如何計算模型的參數呢？而當我們建立了一個模型後，又該如何判斷它是否真的理想，或者另一個模型會否更好？

把這一章看作精算建模中的品質控制 (quality control) 階段。我們將學習如何估計參數的「最佳」數值，並利用一個名為偏差 (Deviance) 的強大工具來比較不同的模型。如果一開始覺得數學公式很艱澀，別擔心；我們會將其拆解成邏輯清晰的步驟，即使是對數學感到畏懼的同學也能輕鬆跟上。

1. 估計參數：極大似然法

在簡單線性回歸中，我們通常使用「最小平方法」(Least Squares) 來尋找最佳擬合線。在 GLM 中，我們使用一種更通用的方法，稱為極大似然估計 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)。

核心概念

MLE 的目標是尋找一組參數值（線性預測值中的 \(\beta\) 系數），使得我們實際觀測到的數據出現的可能性 (likelihood) 最大。

想像你有一個裝有紅球和藍球的桶子。如果你抽出了 10 個球，其中 9 個是紅色的，那麼你對紅球比例的「極大似然估計」就是 0.9。在 GLM 中，我們做的是同樣的事情，只是涉及的公式和分佈（如泊松分佈 Poisson 或伽瑪分佈 Gamma）更為複雜。

操作步驟：

  1. 寫出似然函數 (Likelihood Function) \(L\)，它代表在給定參數下，數據出現的聯合機率。
  2. 由於數學計算上的便利，我們會取自然對數得到對數似然函數 (Log-likelihood) \(\ell = \ln(L)\)。
  3. 尋找令 \(\ell\) 最大化的 \(\beta\) 值。在實際操作中，由於通常沒有簡單的「一步到位」公式，這會由電腦軟件（如 R）透過疊代程序 (iterative process) 來完成。

快速複習： 在考試中，你通常不需要手動進行這些疊代計算，但你必須理解參數 \(\beta\) 的選擇是為了讓觀測數據的對數似然值最大化。

2. 理解偏差 (Deviance)：「擬合欠佳度」

在標準回歸中，我們會討論「殘差平方和」(Residual Sum of Squares) 來查看模型與數據的偏離程度。在 GLM 中，我們則使用偏差 (Deviance)。

重要概念： 偏差是一種衡量距離的指標。具體來說，它衡量的是我們的擬合模型與「完美」模型之間的距離。

飽和模型 vs. 擬合模型

為了理解偏差，我們會比較兩個模型：

  • 飽和模型 (The Saturated Model, \(S\))： 一個理論上的模型，能完美擬合數據。它的參數數量與數據點的數量一樣多。它能解釋 100% 的變動，但對於預測來說毫無用處，因為它只是「死記硬背」了噪聲 (noise)。
  • 擬合模型 (The Fitted Model, \(M\))： 我們實際測試的模型，使用較少的參數來嘗試捕捉底層的趨勢。

相關公式

偏差 (\(D\)) 的定義為：

\(D = 2(\ell(S) - \ell(M))\)

其中：

  • \(\ell(S)\) 是飽和模型的對數似然值。
  • \(\ell(M)\) 是我們擬合模型的對數似然值。

調整偏差 (Scaled Deviance, \(D^*\))： 有時我們需要考慮分佈的「尺度參數」 (\(\phi\))（例如正態分佈中的方差）。公式為：

\(D^* = \frac{D}{\phi}\)

核心重點： 由於我們希望模型盡可能接近「完美」，因此偏差越低，代表擬合效果越好。

3. 模型選擇：偏差分析

精算師經常要在簡單模型（變數較少）和複雜模型（變數較多）之間做出選擇。我們使用一種稱為偏差分析 (Analysis of Deviance) 的程序來決定增加的複雜性是否值得。

嵌套模型 (Nested Models)

這種方法適用於模型之間存在嵌套關係的情況。這意味著模型 1 是模型 2 的簡化版本（例如，模型 2 包含了模型 1 的所有變數，再加上一個額外的變數）。

似然比檢定 (Likelihood Ratio Test, LRT)

為了查看模型 2 中的額外變數是否真的有用，我們計算兩者偏差的差值：

\(\text{Test Statistic} = D_1 - D_2\)

（如果使用調整偏差，則為 \(D_1^* - D_2^*\)）

規則： 如果模型擬合良好，這個差值大約服從卡方 (\(\chi^2\)) 分佈。
\(\text{自由度 (df)} = \text{模型 2 中額外參數的數量}\)

決策步驟：

  1. 計算偏差的減少量：\(D_1 - D_2\)。
  2. 使用參數數量的差值作為自由度 (\(df\))，查閱 \(\chi^2\) 分佈表。
  3. 如果減少量大於臨界值（或者 p-值很小，通常 \(< 0.05\)），那麼額外的變數具有統計顯著性。保留複雜模型！
  4. 如果減少量很小，則額外變數提供的價值不大。應堅持使用簡單模型（簡約原則 Parsimony）。

類比：想像給汽車加裝一個華麗的尾翼。如果汽車沒有因此跑得更快（偏差減少量很小），那麼尾翼只是額外的重量。保持汽車設計簡約吧！

4. 檢定參數顯著性

在比較兩個大型模型之前，我們通常會先觀察單個參數。當你查看軟件輸出（如在 Paper B 中）時，你會看到每個系數 (\(\beta\)) 的 p-值 (p-value)。

  • 虛無假設 (\(H_0\))： 參數 \(\beta_i = 0\)（意即該變數沒有影響）。
  • 對立假設 (\(H_1\))： 參數 \(\beta_i \neq 0\)。

如果 p-值非常小（通常 \(p < 0.05\)），我們拒絕 \(H_0\)。這告訴我們該變數是一個顯著的預測因子，應保留在模型中。

5. 實務解讀（Paper B 重點）

在考試中，題目可能會給你一個關於「索賠次數」(泊松分佈 Poisson) 或「索賠金額」(伽瑪分佈 Gamma) 的 GLM 擬合結果表。以下是需要留意的重點：

1. 虛無偏差 (Null Deviance)： 沒有解釋變數（只有截距項）時模型的偏差。這是你的起點。

2. 殘差偏差 (Residual Deviance)： 加入變數後模型的偏差。你希望它明顯低於虛無偏差。

3. AIC (Akaike 信息準則)： 你可能會在軟件輸出中看到這個指標。它類似於偏差，但會對增加過多變數進行「懲罰」。AIC 越低越好。

你知不知道？ 「簡約原則」(Parsimony) 一詞在精算學中經常被使用。它源於「奧卡姆剃刀」(Occam's Razor) 原則——如果兩個模型對數據的解釋能力不相上下，通常選擇較簡單的模型對未來預測會更好。

快速複習方塊

極大似然法 (Maximum Likelihood)： 用於尋找最佳 \(\beta\) 值的方法。

偏差 (Deviance)： 衡量「擬合欠佳度」。越低 = 擬合越好。

飽和模型 (Saturated Model)： 作為基準的「完美」但過度擬合的模型。

似然比檢定 (Likelihood Ratio Test)： 使用 \(D_1 - D_2 \sim \chi^2_k\) 來比較嵌套模型。

顯著變數： 尋找較小的 p-值 (\(< 0.05\)) 以證明保留變數的合理性。

別擔心這些概念起初看起來很棘手！關鍵是要記住，我們總是在良好的擬合度（低偏差）與模型的簡約性（參數較少）之間尋求平衡。