在 R 中擬合與解讀線性迴歸簡介

歡迎大家！在本章中，我們將從 Paper A 的理論公式轉向 Paper B 的實際應用，學習如何使用 R 語言進行線性迴歸 (Linear Regression)。迴歸分析是精算師工具箱中最強大的工具之一——它讓我們能夠理解變量之間的關係（例如駕駛者的年齡如何影響其保險索償金額），並對未來做出預測。

對於 Paper B，考官不僅僅是在尋找一個「正確的數字」；他們更希望看到你能利用軟件擬合模型、解讀匯總輸出結果，並驗證該模型是否真正適合數據。如果一開始覺得 R 代碼很陌生，請別擔心；我們將逐行拆解輸出內容。

1. 擬合模型：lm() 函數

在 R 中，我們使用 lm() 函數（代表「linear model」，即線性模型）來擬合線性迴歸模型。最重要的一點是記住其公式語法 (formula syntax)：

\(response \sim explanatory\)

  • 響應變量 (Response Variable, \(y\))： 你想要預測的目標（例如：總索償成本）。
  • 解釋變量 (Explanatory Variable, \(x\))： 你認為會影響響應變量的因素（例如：保單持有人人數）。

簡單線性迴歸 vs. 多重線性迴歸

在簡單線性迴歸中，我們只有一個解釋變量：
\(model1 <- lm(y \sim x, data = my_data)\)

在多重線性迴歸中，我們有多個解釋變量：
\(model2 <- lm(y \sim x1 + x2 + x3, data = my_data)\)

小貼士：R 使用最小二乘法 (Method of Least Squares) 來計算最佳擬合線。這種方法能使實際數據點與模型預測值之間的平方差之和達到最小。

2. 解讀匯總輸出結果 (Summary Output)

擬合模型後（例如 \(fit <- lm(y \sim x)\)），你可以使用 summary(fit) 命令來查看結果。這是 Paper B 大多數題目考查的重點。

系數表 (The Coefficients Table)

這張表提供了截距和斜率的最小二乘估計值：

  • (Intercept) Estimate (\(\hat{\beta}_0\))： 當所有 \(x\) 變量均為零時，\(y\) 的預測值。
  • Variable Estimate (\(\hat{\beta}_1\))： 在假設所有其他變量保持不變的情況下，該解釋變量每增加 1 個單位，響應變量隨之產生的變化量。

斜率的統計推斷

輸出結果還為每個系數提供了一個 p 值 (p-value)（通常標記為 Pr(>|t|)）。這用於檢驗原假設 (Null Hypothesis) \(H_0: \beta_i = 0\)：

  • 小 p 值（通常 \(p < 0.05\)）： 我們拒絕 \(H_0\)。該解釋變量具有統計顯著性 (statistically significant)——它與響應變量之間存在顯著的關係。
  • 大 p 值 (\(p > 0.05\))： 我們未能拒絕 \(H_0\)。在存在其他變量的情況下，該變量可能不是一個有用的預測指標。

核心重點：務必留意 R 輸出中的星號 (***)。它們是判斷顯著性的快速視覺引導，但在考試中，請務必引用實際的 p 值來支持你的結論。

3. 評估擬合優度 (Goodness of Fit)

我們的模型究竟在多大程度上解釋了數據？我們主要看 R 輸出中的兩個指標：

多重 R 平方 (Multiple R-squared, \(R^2\))

\(R^2\) 告訴我們響應變量的總變異中，由解釋變量所解釋的部分所佔的比例。其取值範圍為 \(0\) 到 \(1\)：

  • \(R^2 = 0.85\) 意味着模型解釋了數據中 85% 的變異。
  • \(R^2 = 1.00\) 表示完美擬合（這在現實的精算數據中非常罕見！）。

調整後的 R 平方 (Adjusted R-squared)

當你增加更多解釋變量時，\(R^2\) 幾乎總是會增加，即使這些新變量毫無用處。調整後的 R 平方會對增加不必要的變量進行「懲罰」。在比較具有不同數量變量的兩個模型時，通常首選 Adjusted R-squared 較高的那一個。

4. 利用殘差檢查模型的有效性

「殘差」(Residual) 是實際觀測值與模型預測值之間的差異：\(e_i = y_i - \hat{y}_i\)。為了確保線性迴歸是有效的，我們需要通過 R 的診斷圖（通常使用 plot(fit)）來檢查這些殘差。

  • 殘差 vs 擬合值圖 (Residuals vs Fitted plot)： 我們希望看到點呈隨機的「雲狀」分佈。如果出現明顯的模式（如曲線或漏斗形），則說明線性模型可能不合適，或者方差可能不是常數（即存在異方差性 heteroscedasticity）。
  • 常態 Q-Q 圖 (Normal Q-Q plot)： 點應該大致分佈在一條直線對角線上。這證實了殘差呈正態分佈，這是確保我們的 p 值和置信區間有效的前提假設。

常見錯誤： 不要只說「模型很好」。要利用殘差圖來證明滿足了線性 (linearity)、等方差性 (constant variance) 和正態性 (normality) 的假設。

5. 預測與置信極限

一旦有了擬合模型，我們就可以使用 predict() 函數來估計新數據的值。在 CS1 中，你必須區分兩種區間：

置信區間 (Confidence Interval - 平均響應)

這是針對具有特定 \(x\) 值的所有項目的平均 (average) 響應的區間。
R 代碼：\(predict(fit, newdata, interval = "confidence")\)

預測區間 (Prediction Interval - 個體響應)

這是針對單個 (single) 未來觀測值的區間。個體結果比平均值更難精確預測，因此預測區間總是比置信區間更寬。
R 代碼：\(predict(fit, newdata, interval = "prediction")\)

類比： 預測 1,000 名男性的平均身高（置信區間）要比預測下一個走進門的男性的身高（預測區間）容易得多。

6. 總結與模型選擇

當你有幾個潛在的解釋變量時，你需要選擇「最佳」的一組。這個過程包括：

  • 檢查每個變量的顯著性（p 值）。
  • 尋找最高的調整後 R 平方。
  • 剔除對模型沒有顯著貢獻的變量（這個過程通常被稱為「逐步法」選擇，但在考試中，你可能只需要比較兩個特定的模型）。

你知道嗎？ 精算師經常使用這些模型來設定「基準費率」。例如，線性迴歸可能會告訴他們，車齡每增加一年，預計的年度維修成本就會增加 \(\$50\)。那 \(\$50\) 就是你在 R 輸出中看到的斜率系數！

快速複習框

  • lm(y ~ x)：擬合模型。
  • summary()：顯示系數、p 值和 \(R^2\)。
  • p-value < 0.05：變量具有顯著性。
  • R-squared：解釋了多少變異。
  • plot()：通過殘差檢查模型假設是否成立。
  • 預測區間 (Prediction Interval)：總是比置信區間 (Confidence Interval) 更寬。