導言：解讀數據的意義
歡迎！在精算學的世界裡，我們通常扮演著偵探的角色。我們觀察數據並自問：「這個結果純粹是幸運的巧合，還是真的存在某種趨勢？」例如，如果一項新的健康計劃看似減少了保險索償，我們該如何證明這不只是隨機發生的？
本章重點介紹針對特定情境的假設檢定 (Hypothesis Testing)。我們將學習如何檢定單一組別、比較兩個獨立組別、處理「關聯」數據（配對數據），以及在不想對數據分佈做任何假設時，如何使用一種稱為「置換檢定 (Permutation Test)」的聰明「洗牌」方法。
註：本章假設你已熟悉基本概念，例如原假設 (\(H_0\)) 和 p 值。如果你需要溫故知新，請參閱「假設檢定的概念、錯誤與檢定力」章節。
1. 單樣本檢定：檢查單一組別
當你想將來自單一母體的樣本與已知數值（「基準值」）進行比較時，就會使用單樣本檢定。
檢定正態分佈的平均值 (\(\mu\))
如果我們假設數據服從正態分佈，通常會想檢定其平均值。這裡有兩條主要路徑：
- 情況 A：方差 (\(\sigma^2\)) 已知。 我們使用 Z 檢定 (Z-test)。檢定統計量為：
\(Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)\) - 情況 B：方差 (\(\sigma^2\)) 未知。 這在現實生活中更為常見！我們使用 t 檢定 (t-test)。我們會用樣本標準差 \(s\) 取代母體 \(\sigma\)。檢定統計量為：
\(t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}\)
檢定正態分佈的方差 (\(\sigma^2\))
有時精算師比起平均值，更關心風險（波動性）。為了檢定方差是否等於特定數值 (\(\sigma^2_0\))，我們使用卡方檢定 (Chi-square test)：
\(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0} \sim \chi^2_{n-1}\)
檢定比例 (二項分佈) 與率 (泊松分佈)
對於二項分佈 (\(p\)) 和泊松分佈 (\(\lambda\)) 的數據，如果樣本量足夠大，我們通常依賴正態近似 (Normal Approximation)。
二項分佈： \(Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \sim N(0, 1)\)
泊松分佈： \(Z = \frac{\bar{X} - \lambda_0}{\sqrt{\lambda_0 / n}} \sim N(0, 1)\)
快速回顧：務必檢查是否已知方差。如果不知道，且數據呈正態分佈，請選用 \(t\)-分佈！
2. 雙樣本檢定：比較兩個獨立組別
精算師經常比較兩個不同的組別，例如保單持有人 A 組與 B 組的索償金額。
比較兩個正態分佈的平均值
為了檢定 \(\mu_1 = \mu_2\)，我們觀察兩者之差 \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\)。在 CS1 課程大綱中，我們專注於「基本」情況，即假設兩個母體具有相同的未知方差 (\(\sigma^2_1 = \sigma^2_2\))。我們會計算合併樣本方差 (pooled sample variance) (\(s_p^2\))：
\(s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\)
檢定統計量為：
\(t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2}\)
比較兩個正態分佈的方差
若要觀察一組是否比另一組波動更大，我們使用 F 檢定 (F-test)。我們將較大的樣本方差除以較小的樣本方差：
\(F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}\)
雙樣本二項分佈與泊松分佈
在比較兩個比例 (\(p_1\) 與 \(p_2\)) 或兩個泊松率 (\(\lambda_1\) 與 \(\lambda_2\)) 時，大樣本情況下我們同樣使用正態近似。在原假設（即兩組相同）的前提下，我們通常會使用「合併」估計值來計算標準誤差。
關鍵要點：對於雙樣本檢定，組別必須是獨立的。如果兩組中包含的是同一群人，你則需要參考下一節！
3. 配對數據：前後對比
如果你測量了 10 個人在接受治療前的血壓，然後測量同一批 10 個人在治療後的血壓，這就不是獨立樣本，而是配對數據 (paired data)。
竅門：不要把它們當作兩個樣本處理。相反，計算每一對觀察值的差值：
\(D_i = X_i - Y_i\)
現在，你只需對這些差值 (\(D\)) 進行單樣本 t 檢定。你的原假設通常是 \(H_0: \mu_D = 0\)。
\(t = \frac{\bar{D} - 0}{s_D / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}\)
常見錯誤：對配對數據使用雙樣本檢定。這是典型的考試陷阱！如果數據點是「匹配」的，或者代表同一對象在不同時間的狀態，請務必使用配對法。
4. 置換檢定：非參數方法
上述所有檢定都假設數據服從特定分佈（如正態分佈）。但如果數據分佈奇特，或者樣本量太小以至於無法應用中心極限定理怎麼辦？我們可以使用置換檢定 (Permutation Test)。
概念：「重新洗牌」
想像你有 A 和 B 兩組數據，並觀察到它們的平均值存在差異。置換檢定會問：「如果組別標籤（A 或 B）其實並不重要，那麼僅僅透過隨機重新分配標籤，觀察到這麼大差異的可能性有多高？」
步驟流程：
- 計算觀察到的檢定統計量（例如 A 組和 B 組平均值之差）。
- 將兩組的所有數據合併成一個大的「數據池」。
- 置換 (Permute)：隨機打亂數據，並將其重新分成兩個與原始大小相同的新組別。
- 計算這個洗牌版本數據的平均值之差。
- 重複這種「洗牌」數千次，以建立差值的分佈。
- p 值即是洗牌後的差值中，與原始觀察差值一樣極端（或更極端）所佔的比例。
你知道嗎？ 置換檢定非常強大，因為它不對數據的「形狀」做任何假設。在 Paper B 考試中，通常會使用 R 語言來執行此檢定。
考試總結清單
- 確認樣本數量：是單一組別與數值比較、兩個獨立組別，還是配對數據？
- 檢查分佈：如果是正態分佈且方差未知，請使用 \(t\)-檢定。
- 樣本量大嗎？ 對於二項分佈和泊松分佈，請使用正態近似。
- 組別是否相關聯？ 如果是，計算差值 (\(D_i\)) 並使用配對 \(t\)-檢定。
- 沒有指定分佈？ 考慮使用置換法（重新洗牌標籤）。
溫馨提示：在 Paper A 中，你可能需要查表手算。在 Paper B 中，你會使用 t.test() 等 R 函數。確保你能準確解讀這兩者的輸出結果！