歡迎來到分佈的世界！

歡迎你，未來的精算師！在本章中，我們將探討精算科學的「DNA」：單變量分佈 (univariate distributions)。你可以把分佈想像成一種規律或「藍圖」，它告訴我們不同結果出現的可能性。無論你是要預測今天有多少人會提出保險索賠，還是預測這些索賠的金額大小，這些分佈都是你最重要的工具。

如果以前覺得統計學有點枯燥，別擔心！我們會將這些概念拆解到現實場景中，讓你清楚看到它們是如何運作的。

1. 離散分佈：你的「計數」工具

當我們在計數（1, 2, 3...）時，我們會用到離散分佈。你總不能有 2.5 宗保險索賠吧！

伯努利分佈 (Bernoulli Distribution)：非黑即白的試驗

這是最簡單的分佈。它模擬只有兩種可能結果的單次試驗：成功 (1) 或失敗 (0)。

例子：擲一次硬幣，或者檢查某位保單持有人是否續保。

關鍵屬性：若成功機率為 \(p\)，其平均值 (Mean) 為 \(p\)，變異數 (Variance) 為 \(p(1-p)\)。

二項分佈 (Binomial Distribution)：多次試驗

如果你將多個伯努利試驗加總起來，就會得到二項分佈。它告訴我們在 \(n\) 次獨立試驗中，成功發生的次數。

例子：如果你有 100 位保單持有人，今年有多少人會提出索賠？每位持有人就是一次「試驗」。

重點複習：對於 \(X \sim Bin(n, p)\)：
\(E[X] = np\)
\(Var(X) = np(1-p)\)

卜瓦松分佈 (Poisson Distribution)：時間內的事件

卜瓦松分佈模擬在固定的時間或空間區間內，事件發生的次數。

類比：想像你站在橋上數著橋下經過的車輛。如果你知道平均每小時有 10 輛車經過，卜瓦松分佈能幫你計算下個小時正好有 15 輛車經過的機率。

你知道嗎？在卜瓦松分佈中，平均值與變異數相等 (\(\lambda\))。這是考試時識別卜瓦松過程的一個經典「捷徑」！

幾何分佈與負二項分佈：等待成功的到來

這些分佈的重點在於成功何時發生。

  • 幾何分佈 (Geometric)：要經過多少次試驗才能等到第一次成功？（例如：我要檢查多少間房子才能找到一間有火災損毀的？）
  • 負二項分佈 (Negative Binomial)：要經過多少次試驗才能等到第 k 次成功？（例如：銷售員要打多少通電話才能達成 3 筆交易？）

常見錯誤：務必查閱你的公式表！這些分佈的某些版本計算的是「試驗總次數」，而另一些計算的是「失敗次數」。在 CS1 中，IFoA 通常將幾何分佈定義為第一次成功前的「失敗次數」。

重點總結：計數時請使用離散分佈。記住，二項分佈用於固定次數的試驗，而卜瓦松分佈則用於固定的時間窗口。

2. 連續分佈：你的「測量」工具

連續分佈用於測量數值，如時間、重量或金額。這些數值在範圍內可以是任何值（例如：一筆索賠可能是 £1,250.55）。

指數分佈 (Exponential Distribution)：等待時間

指數分佈是卜瓦松分佈的「拍檔」。卜瓦松分佈計算事件發生的次數，而指數分佈則測量事件發生的時間間隔。

關鍵特性：無記憶性 (Memorylessness)。這是考試熱門考點！這意味著無論你已經等了一小時還是剛到，接下來 10 分鐘內發生事件的機率都是一樣的。該分佈會「忘記」過去。

伽瑪分佈 (Gamma Distribution)：累加等待時間

如果你將多個指數變量相加，就會得到伽瑪分佈。它通常用於模擬多個獨立事件發生的總時間，或由於其靈活性及恆正的特性，被用於模擬索賠金額。

常態分佈 (Normal Distribution)：著名的鐘形曲線

常態分佈 \(N(\mu, \sigma^2)\) 是對稱的，描述了許多自然現象。在精算工作中，我們常假設多個獨立風險的總和遵循常態分佈（這多虧了中央極限定理）。

對數常態分佈 (Lognormal) 與帕累托分佈 (Pareto)：模擬大型風險

保險索賠並不總是對稱的。通常情況下，我們有很多小額索賠，但也有極少數的巨額索賠。

  • 對數常態分佈：如果 \(\ln(X)\) 是常態分佈，則 \(X\) 為對數常態分佈。它向右「偏斜」（右尾較長）。
  • 帕累托分佈：這是一種「厚尾」分佈。它用於災難性風險（如地震或大型工業火災），其中極端「異常值」事件發生的機率比常態分佈所預測的要高得多。

重點總結：連續分佈用來模擬「有多少」或「多久」。如果你的數據有極端值，請考慮使用對數常態或帕累托分佈，而不是常態分佈。

3. 生成樣本：機率積分轉換 (PIT)

電腦如何模擬特定分佈的隨機數？它們使用一種稱為機率積分轉換 (Probability Integral Transform, PIT) 的巧妙技巧。

概念

大多數電腦可以輕易生成一個 0 到 1 之間的隨機數 \(U\)（即 Uniform(0,1) 分佈）。PIT 告訴我們，只要知道目標分佈的累積分布函數 (CDF)，即 \(F(x)\)，我們就可以將 \(U\) 轉換為任何想要的分佈值。

步驟拆解：如何生成樣本

  1. 從 \(Uniform(0,1)\) 分佈中生成一個隨機數 \(u\)。
  2. 令 \(u = F(x)\)，其中 \(F(x)\) 是你想要採樣的分佈的 CDF。
  3. 解出 \(x\)。這通常寫作 \(x = F^{-1}(u)\)。

例子：生成指數分佈樣本
指數分佈的 CDF 為 \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)。
1. 令 \(u = 1 - e^{-\lambda x}\)
2. 移項：\(1 - u = e^{-\lambda x}\)
3. 取自然對數：\(\ln(1-u) = -\lambda x\)
4. 解出 \(x\)：\(x = -\frac{1}{\lambda} \ln(1-u)\)
由於 \(1-u\) 同樣是 Uniform(0,1)，你通常會看到簡化版本為 \(x = -\frac{1}{\lambda} \ln(u)\)。

記憶口訣：把 CDF 想像成一位「翻譯官」。你給它一個標準化的數值（0 到 1），它就會把它翻譯成你特定分佈的「語言」。

重點總結：要生成樣本，將隨機數 \(u\) 設為 CDF 並解出 \(x\)。這是蒙地卡羅模擬 (Monte Carlo simulation) 的基石。

重點複習箱

考試清單：
• 你分得清哪些分佈是離散型 vs 連續型嗎？
• 你能識別出具有無記憶性的分佈嗎？（指數分佈）
• 你知道哪個分佈滿足平均值 = 變異數嗎？（卜瓦松分佈）
• 你會進行 PIT 步驟來求解 \(x\) 嗎？
• 記住：對於索賠金額，偏斜分佈（對數常態/帕累托）通常比常態分佈更適用。

如果一開始覺得很棘手，別擔心！精算統計學的核心在於掌握規律。一旦你認出了每個分佈的「個性」，選擇正確的分佈就會變得得心應手。繼續多練習那些 CDF 的移項運算吧！