歡迎來到死亡率預測（Mortality Projection）！
你好！歡迎來到你 CS2 學習之旅中其中一個最迷人（且重要）的章節。在之前的「生存模型」中，我們已經學會了如何計算某人在特定年齡死亡的機率。但這裡有個重點：死亡率並非一成不變的。
如果你查看 100 年前的數據，你會發現當時 60 歲的人，其死亡機率比現代 60 歲的人高得多。為什麼呢？因為醫療水平進步、水源更潔淨，而且吸菸人口減少了！在本章中，我們將學習如何「展望未來」，預測這些死亡率將如何持續變化。對於退休基金和保險公司來說，這至關重要，因為他們必須確保手頭有足夠的資金，以應對人們比預期更長壽的風險。
1. 我們為什麼要預測死亡率？
我們進行死亡率預測是因為存在長壽風險（Longevity Risk）。這指的是人們活得比我們預期更久的風險。如果你是一家退休基金的精算師，而你的成員比你預期的多活了 5 年，你就必須多支付 5 年的退休金——這可是一筆龐大的開支！
核心概念：死亡率改善（Mortality Improvement）
隨著時間推移，死亡力 \(\mu_x\) 通常會下降。這意味著 \(q_x\)（死亡機率）同時是年齡 (x) 和時間 (t) 的函數。我們將其寫作 \(q(x, t)\)。
2. 預測的三種方法
別擔心這些術語聽起來很生硬；它們其實只是看待同一問題的三種不同方式。你可以將它們理解為「三個 E」：
• 期望 (Expectation / Expert Opinion)： 我們諮詢醫生、科學家和人口統計學家的看法。例如：「我們預期在 20 年內某些癌症將有治癒方法。」
• 解釋 (Explanation / Causal)： 我們探究人們死亡的原因（吸菸、心臟病）並對這些特定風險進行建模。例如：「如果吸菸率下降 10%，死亡率應該會下降 X%。」
• 外推 (Extrapolation / Trend)： 我們觀察過去 50 年的數據，並假設該模式會持續下去。這是 CS2 中最常用的方法。
快速回顧：三個 E
期望 (Expectation) = 專家的智慧。
解釋 (Explanation) = 根本原因。
外推 (Extrapolation) = 歷史重演。
3. 死亡率減少因子（Mortality Reduction Factors）
進行預測的一種簡單方法是使用減少因子（Reduction Factor）。這是一個（通常小於 1 的）數字，我們將其乘以現今的死亡率，即可得到未來的死亡率。
公式為：\(q(x, t) = q(x, 0) \times RF(x, t)\)
其中：
\(q(x, 0)\) 是現在的死亡率。
\(RF(x, t)\) 是年齡 \(x\) 在時間 \(t\) 的減少因子。
\(q(x, t)\) 是未來的預測死亡率。
類比：如果一家商店每年都有 10% 的折扣，明年的價格就是今年價格的 0.90 倍。死亡率的減少因子也是同樣的道理！
4. Lee-Carter 模型
這是死亡率預測中的「明星」模型，也是你最有可能在考試中遇到的模型。它利用外推法來預測中心死亡率 \(m_{x,t}\)。
公式：
\(\ln(m_{x,t}) = a_x + b_x \kappa_t + \epsilon_{x,t}\)
讓我們用「人話」來拆解它：
• \(a_x\)： 年齡 \(x\) 的「平均」死亡率。它描述了跨年齡死亡率的整體形態。
• \(\kappa_t\)： 「時間指數」。它告訴我們死亡率隨時間變化的總體趨勢。通常隨著歲月流逝，這個數值會下降。
• \(b_x\)： 「敏感度」。它告訴我們某個年齡層 \(x\) 對總體時間趨勢的反應程度。有些年齡層的改善速度比其他年齡層更快。
• \(\epsilon_{x,t}\)： 「誤差項」。模型無法解釋的微小隨機部分。
常見錯誤： 學生經常混淆 \(b_x\) 和 \(\kappa_t\)。記住：k 代表 Kalendar（日曆/時間），而 b 代表特定年齡的 Behavior（行為/反應）。
Lee-Carter 模型的限制
由於模型包含許多變量，我們必須「固定」某些數值才能求解。IFoA 標準的限制條件為：
1. 所有 \(b_x\) 值的總和必須等於 1：\(\sum b_x = 1\)
2. 所有 \(\kappa_t\) 值的總和必須等於 0：\(\sum \kappa_t = 0\)
5. 年齡-時期-世代 (APC) 模型
有時，僅看年齡和年份是不夠的，我們還需要查看一個人出生於何時。這就是世代效應（Cohort Effect）。
例如：二戰後出生的人（嬰兒潮世代）的健康習慣，可能與大蕭條時期出生的人有所不同。這種「世代」影響會伴隨著他們的一生。
APC 模型公式：
\(\ln(m_{x,t}) = a_x + \kappa_t + \gamma_{t-x}\)
其中 \(\gamma_{t-x}\) 是世代效應（因為 \(年份 - 年齡 = 出生年份\)）。
6. CBD 模型 (Cairns-Blake-Dowd)
Lee-Carter 模型很棒，但在處理高齡人口時可能效果不佳。CBD 模型是專為老年人口（退休人士）設計的。
它不是對 \(m_{x,t}\) 建模，而是對死亡率 \(q_{x,t}\) 的 logit 進行建模。
Logit 函數為：\(logit(p) = \ln(\frac{p}{1-p})\)。
公式：
\(logit(q_{x,t}) = \kappa^{(1)}_t + \kappa^{(2)}_t (x - \bar{x})\)
在這個模型中：
• \(\kappa^{(1)}_t\)： 將整條死亡率曲線上下移動（平行移動）。
• \(\kappa^{(2)}_t\)： 改變曲線的斜率（旋轉移動）。
• \(\bar{x}\)： 是數據集中的平均年齡。
核心重點： CBD 假設在任何時間 \(t\)，死亡率的 logit 相對於年齡而言是一條直線。
7. 總結與主要局限
預測死亡率並非一門精確的科學。以下是可能出錯的地方（這些也是很好的考試得分點）：
1. 模型風險： 你選擇了 Lee-Carter，但實際上 CBD 模型更適合該數據。
2. 參數風險： 你的公式正確，但你對 \(a_x\) 或 \(b_x\) 的估計值略有偏差。
3. 隨機變異： 即使模型完美，實際死亡人數每年仍會波動。
4. 災難事件： 基於歷史趨勢的模型無法預測突發事件，如大流行（例如 COVID-19）或突然的醫療突破。
章節總結清單：
• 你能解釋為什麼我們要預測死亡率嗎？（長壽風險！）
• 你了解三個 E（期望、解釋、外推）嗎？
• 你能憑記憶寫出 Lee-Carter 公式嗎？
• 你了解 CBD 是用於高齡人口且採用直線 logit 方法嗎？
• 你還記得 Lee-Carter 的兩個主要限制條件嗎（\(\sum b_x=1, \sum \kappa_t=0\)）？
別擔心公式看起來很嚇人！ 大多數考題都是要求你解釋參數的含義，或使用給定公式進行簡單計算。多練習辨識公式中哪些部分代表「年齡」、「時間」和「世代」，你離成功就不遠了！