歡迎來到離散均勻分佈的世界！
你好，未來的進階數學家！在 OxfordAQA 進階數學的 FS1 統計模組中，你對離散機率模型的研究將從離散均勻分佈 (Discrete Uniform Distribution) 開始。這是你將會遇到的分佈中最簡潔、最直觀的一個！
我們稱之為「均勻」，是因為每個可能的離散結果出現的機會都是均等的。在 FS1.2 節中，你將學習使用此模型的條件、如何計算機率，以及如何利用標準求和恆等式對其平均值與變異數進行正式的代數推導。
引言重點總結
離散均勻分佈用於模擬有限個離散結果出現的機率完全相同的情況。
1. 理解離散均勻分佈 (FS1.2: 應用條件)
當隨機變量 \(X\) 以相等的機率取一組有限的離散數值時，它便服從離散均勻分佈。
使用它的條件是什麼？
若離散隨機變量 \(X\) 在整數 \(1, 2, \dots, n\) 上服從離散均勻分佈，需滿足以下條件：
1. \(X\) 是一個擁有有限個可能值 \(n\) 的離散隨機變量。
2. 每個結果皆為互斥，且擁有相同的發生機率，即 \(P(X = x) = \frac{1}{n}\)。
標準模型：在標準形式中，\(X\) 取值為 \(x \in \{1, 2, 3, \dots, n\}\)，使得：
\(P(X = x) = \frac{1}{n}\quad \text{其中 } x = 1, 2, \dots, n\)
經典範例：一枚普通均勻骰子
擲一枚均勻的 6 點骰子時，點數 \(X\) 可以是 \(1, 2, 3, 4, 5,\) 或 \(6\)。每個結果的機率都是 \(\frac{1}{6}\)。這裡 \(n = 6\)，因此對於 \(x = 1, 2, \dots, 6\)，\(P(X = x) = \frac{1}{6}\)。
離散均勻分佈是公平隨機抽樣、隨機數表，以及像公平骰子和具有等大扇區的轉盤等經典博弈裝置的基礎。
第一節重點總結
對於由 \(1\) 至 \(n\) 的 \(n\) 個機會均等的連續整數，每個單一結果的機率就是 \(\frac{1}{n}\)。
2. 計算機率 (FS1.2: 機率的計算)
由於所有結果都是離散且互斥的，要找出 \(X\) 落在任何數值子集內的機率，只需將各個單獨的機率相加即可。
一般機率法則
對於任何有利結果的集合 \(A \subseteq \{1, 2, \dots, n\}\)：
\(P(X \in A) = \sum_{x \in A} P(X = x) = \frac{\text{有利結果的數目}}{n}\)
例如，若 \(X\) 在 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 上均勻分佈，則取值介於 \(a\) 和 \(b\) 之間（包含兩者，其中 \(1 \le a \le b \le n\)）的機率為：
\(P(a \le X \le b) = \frac{b - a + 1}{n}\)
步驟範例
一個公平的 10 面轉盤具有標號為 \(1\) 至 \(10\) 的扇區。設 \(X\) 為轉出的數字。
1. 寫出分佈：\(X\) 在 \(\{1, 2, \dots, 10\}\) 上服從離散均勻分佈，故 \(n = 10\) 且 \(P(X = x) = \frac{1}{10}\)。
2. 求 \(P(X \ge 7)\)：結果為 \(7, 8, 9, 10\)（共 4 個結果）。
\(P(X \ge 7) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
3. 求 \(P(3 \le X \le 8)\)：結果的數目為 \(8 - 3 + 1 = 6\)。
\(P(3 \le X \le 8) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
避免常見錯誤！
請記住，對於離散變量，嚴格不等式非常重要！\(P(X < 4) = P(X \le 3)\)，這並不包含 4。請務必仔細計算離散值的個數。
第二節重點總結
對於離散均勻變量，機率的計算直接由有利整數的數目除以總結果數 \(n\) 得出。
3. 平均值與變異數 (FS1.2: 平均值與變異數 - 要求掌握及推導)
OxfordAQA 課程大綱明確指出，對於離散均勻分佈的平均值與變異數要求掌握其數值及推導過程。你必須有信心使用標準求和公式來證明這些結果。
必備標準求和公式
・首 \(n\) 個正整數之和：\(\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}\)
・首 \(n\) 個正整數的平方和：\(\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
3.1 平均值 \(E(X)\) 的推導
根據離散隨機變量期望值的定義：
\(E(X) = \sum_{x=1}^n x P(X=x) = \sum_{x=1}^n x \left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x\)
代入求和恆等式 \(\sum_{x=1}^n x = \frac{n(n+1)}{2}\)：
\(E(X) = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{n+1}{2}\)
要求結果： \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)
3.2 變異數 \(Var(X)\) 的推導
要找出 \(Var(X)\)，我們使用恆等式 \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)。
首先，推導 \(E(X^2)\)：
\(E(X^2) = \sum_{x=1}^n x^2 P(X=x) = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2\)
代入恆等式 \(\sum_{x=1}^n x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)：
\(E(X^2) = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)
現在將 \(E(X^2)\) 和 \(E(X)\) 代入變異數公式：
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\)
\(Var(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}\)
提出公因式 \(\frac{n+1}{12}\)：
\(Var(X) = \frac{n+1}{12} \left[ 2(2n+1) - 3(n+1) \right]\)
展開並化簡方括號內的式子：
\(2(2n+1) - 3(n+1) = 4n + 2 - 3n - 3 = n - 1\)
將因式相乘：
\(Var(X) = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}\)
要求結果： \(Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\)
速查：離散均勻分佈公式
機率質量函數： \(P(X = x) = \frac{1}{n}\)
平均值： \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)
變異數： \(Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\)
標準差： \(\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}\)
4. 範例詳解與標準差
讓我們將這些結果應用於一個標準的考試題型中。
範例
一枚公平的 8 面骰子，各面分別標有數字 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)。擲一次後的點數記為 \(X\)。
1. 計算期望值 \(E(X)\)：
這裡 \(n = 8\)。
\(E(X) = \frac{n+1}{2} = \frac{8+1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\)
2. 計算變異數 \(Var(X)\)：
\(Var(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{8^2 - 1}{12} = \frac{64 - 1}{12} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4} = 5.25\)
3. 求標準差：
\(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{5.25} \approx 2.29\)（取 3 位有效數字）
現在你已經全面掌握了 FS1.2 關於離散均勻分佈的內容，包括應用條件、機率計算，以及對其平均值與變異數的重要代數推導。