🚀 章節筆記：積分 (P2: Pure Maths)
歡迎來到積分的世界！如果說微分是求變化率（例如速度），那麼積分就是其反向過程——它是為了求回原函數，常用於計算累積總量，例如行駛距離，或是複雜圖形的面積。
別擔心，初學時可能會覺得這很棘手；積分其實就只是你所學過微分的逆運算。只要拆解開來，你就會發現它是數學 (9660) 中一個強大且基礎的工具。
第一節：不定積分 (反導數)
不定積分是反轉微分過程的正式術語。它能找出原函數，通常稱為反導數 (antiderivative)。
黃金法則：千萬別忘了 +c
當你對常數進行微分時，它會消失（其導數為 0）。這意味著當你進行積分時，你無法得知原本的常數是多少。
為了修正這個問題，我們在每個不定積分的結尾處都要加上積分常數 (Constant of Integration)，即 \(+c\)。
類比： 想像微分是求汽車的速度。而積分則是求汽車行駛的距離。如果你只知道速度，你無法知道旅程的起點在哪（初始距離是 0 公里、5 公里還是 100 公里？）。\(+c\) 就代表了那個未知的起點位置。
重點總結：
若 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \)，則 \( y = \int f(x) dx = F(x) + c \)。
要找出 'c' 的值，你需要原曲線上的已知點 \((x, y)\)。
冪函數的基本積分 (P1 Core)
這是積分多項式項目的基本法則。
冪法則：
$$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $$
做法是：次方加 1，然後除以新的次方數。
- 此法則適用於所有有理數 \(n\)，但 \(n = -1\) 除外。
- 積分前，務必將類似 \(\frac{1}{x^2}\) 的項重寫為 \(x^{-2}\)。
- 常數項：\(\int a dx = ax + c\)。
例子：
若我們要積分 \( 6x^2 + 5x^{-1/2} \)：
$$ \int (6x^2 + 5x^{-1/2}) dx = \frac{6}{3}x^3 + \frac{5}{(-1/2) + 1}x^{(-1/2) + 1} + c $$
$$ = 2x^3 + \frac{5}{1/2}x^{1/2} + c = 2x^3 + 10\sqrt{x} + c $$
快速回顧：冪法則
\( \rightarrow \) 次方加 1。
\( \rightarrow \) 除以新的次方數。
\( \rightarrow \) 加上 \(+c\)。
第二節：標準積分 (P2 Extended)
在 A Level Pure Maths 中，你將擴展可以積分的標準函數範圍。
1. 特殊情況：\(n = -1\)
由於冪法則在 \(n=-1\) 時失效，我們改用 \(\ln x\) 的積分：
$$ \int \frac{1}{x} dx = \int x^{-1} dx = \ln |x| + c $$
重要： 你必須使用模數符號 (modulus sign)，即 \(|x|\)，因為儘管 \(\ln x\) 的導數僅在 \(x>0\) 時有定義，但 \(1/x\) 的積分在所有 \(x \ne 0\) 時都存在。積分常數 \(c\) 仍然必須加上。
2. \(e^x\) 的積分 (指數函數)
指數函數在積分時非常友好：
- $$ \int e^{x} dx = e^{x} + c $$
- 對於冪次中含有線性因子的函數：
- $$ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + c $$
你知道嗎？ \(e^x\) 的導數和積分都是它自己！它是少數在這些運算下保持不變的函數之一。
3. 三角函數的積分
請記住積分是微分的逆過程，所以要注意符號！
若 \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)，則 \(\int \cos x dx = \sin x + c\)。
若 \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)，則 \(\int \sin x dx = -\cos x + c\)。
標準三角函數積分：
- $$ \int \cos x dx = \sin x + c $$
- $$ \int \sin x dx = -\cos x + c $$
- 當內部有線性因子 \(kx\) 時：
- $$ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + c $$
- $$ \int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + c $$
記憶小撇步 (符號技巧)： 微分時，以 C 開頭的函數會得到負號 (\(\cos \rightarrow -\sin\))。而在積分時，如果答案是以 C 開頭，則會得到負號 (\(\sin \rightarrow -\cos\))。
第三節：定積分與面積 (P1 Core)
定積分是指求積分在兩個特定限值 \(a\)（下限）和 \(b\)（上限）之間的值。
$$ \int^b_a f(x) dx = [F(x)]^b_a = F(b) - F(a) $$
請注意，定積分不需要積分常數 \(c\)，因為計算過程中它會被抵銷：\((F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a)\)。
幾何意義：曲線下的面積
定積分 \(\int^b_a y dx\) 代表曲線 \(y=f(x)\)、x 軸以及垂直線 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間圍成的面積。
關於面積的關鍵點：
如果區域完全在 x 軸上方 (\(y \ge 0\))，定積分直接給出面積（正值）。
如果區域完全在 x 軸下方 (\(y < 0\))，定積分會給出一個負值。實際面積應取該結果的絕對值（正值）。
常見錯誤： 如果曲線在 \(a\) 和 \(b\) 之間穿過 x 軸，你必須將積分拆成兩部分（一部分處理正面積，一部分處理負面積），分別積分，然後將它們絕對值的總和相加，才能得到總面積。
重點總結： 積分求得的是有符號的面積（x 軸上方的面積減去 x 軸下方的面積）。要找總面積，需分開積分並對負值取絕對值。
第四節：進階積分技巧 (P2 Extended)
當函數不是簡單的多項式或標準三角/指數函數時，這些方法就顯得非常重要。它們分別是連鎖律、乘積律和代數運算的逆過程。
1. 觀察法積分 (反連鎖律)
我們尋找形式為 \(\int f'(x) [g(x)]^n dx\) 或 \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\) 的函數。
類型 1：反冪法則
如果你有一個函數乘以其導數，通常可以快速積分。
例子： \(\int x(x^2+1)^3 dx\)。內部函數 (\(x^2+1\)) 的導數是 \(2x\)。我們有 \(x\)，所以需要調整一個 1/2 的係數。
$$ \int x(x^2+1)^3 dx = \frac{1}{2} \int 2x(x^2+1)^3 dx $$
$$ = \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^4}{4} + c = \frac{1}{8}(x^2+1)^4 + c $$
類型 2：反對數法則
如果被積分函數是一個分數，且分子是分母的導數：
$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + c $$
例子： \(\int \frac{2x}{x^2+5} dx\)。\(x^2+5\) 的導數是 \(2x\)。
$$ \int \frac{2x}{x^2+5} dx = \ln |x^2+5| + c $$
2. 代換積分法 (Integration by Substitution)
這是處理反連鎖律的正式方法，對於複雜的積分特別有用。
代換步驟：
- 選擇代換式，通常設 \(u = g(x)\)（通常是內部函數或是根號下的表達式）。
- 求出 \( \frac{du}{dx} \)，並重新排列以將 \( dx \) 表示為 \( du \) 和 \( dx \) 的形式： \( dx = \frac{du}{g'(x)} \)。
- 將所有內容代入積分式，確保所有涉及 \(x\) 的項都被消除。
- 如果是定積分， 將積分上限和下限從 \(x\) 的值改為 \(u\) 的值。
- 針對 \(u\) 進行積分。
- 如果是不定積分，將 \(u\) 代換回 \(g(x)\)。
3. 分部積分法 (Integration by Parts)
此方法是微分乘積律的逆運算。用於兩個函數乘積的積分（例如 \(x \ln x\)、\(x e^x\)）。
公式：
$$ \int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx $$
訣竅：選擇 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)
目標是選擇 \(u\)，使得 \(\frac{du}{dx}\) 能簡化積分，且 \(\frac{dv}{dx}\) 容易積分。
- 選擇微分後會變簡單的項作為 \(u\)（例如 \(x^n\)、\(\ln x\)）。
- 選擇容易積分的項作為 \(\frac{dv}{dx}\)（例如 \(e^x\)、\(\cos x\)）。
- 對於像 \(\ln x\) 這樣的函數，我們設 \(u = \ln x\) 且 \(\frac{dv}{dx} = 1\)。
4. 部分分式積分法
如果被積分函數是有理函數（分子和分母均為多項式），我們通常使用部分分式將其分解為簡單的分數 (P2.1 內容)。
這種方法有效的原因是，簡單的部分分式會導向 \(\int \frac{A}{ax+b} dx\) 形式的積分，這很容易積分為 \(\ln\) 形式（利用反對數法則）。
大綱備註： 你只會遇到簡單情況，通常分母為不同的線性因子（沒有重複的線性因子或不可約的二次式）。
第五節：應用 - 旋轉體體積 (P2 Extended)
積分可以用來求一個面積繞軸旋轉 360 度後所形成的體積。所得的形狀稱為旋轉體 (Solid of Revolution)。
想像將物體切成薄片（像硬幣一樣）。一個圓片的體積是 \(\pi r^2 \times (\text{厚度})\)。我們利用積分將這些無數個薄片的體積加總起來。
繞 x 軸旋轉
圓片的半徑為 \(y\)，厚度為 \(dx\)：
$$ V_x = \int^b_a \pi y^2 dx $$
繞 y 軸旋轉
圓片的半徑為 \(x\)，厚度為 \(dy\)。你必須將 \(x\) 表示為 \(y\) 的函數，並使用 y 軸上的限值 \(c\) 和 \(d\)：
$$ V_y = \int^d_c \pi x^2 dy $$
鼓勵： 記得一定要先將函數平方，再進行積分！這是一個非常常見的粗心錯誤。
第六節：數值積分 - 梯形法則 (P1 Core)
有時，積分在代數上是不可能的，或者你只有數據點（而非函數）。這時，我們使用數值方法來估算面積。
梯形法則通過將區域劃分為垂直條（梯形）並加總它們的面積，來估算曲線下的面積。
梯形法則公式
對於 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間的區域，劃分為 \(n\) 個條形（或 \(n+1\) 個縱座標 \(y_0, y_1, \ldots, y_n\)），每個條形的寬度為 \(h = \frac{b-a}{n}\)。
估算值 \(I\) 為：
$$ I \approx \frac{h}{2} \left[ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \ldots + y_{n-1}) \right] $$
記憶小撇步： 讀作：一半的寬度，乘以（首項縱座標 + 末項縱座標 + 2 倍的中間縱座標之和）。
過高或過低估算
題目可能會問你的估算值是偏大（過高估算）還是偏小（過低估算）。
- 如果曲線是凹的（形狀像個洞或皺眉的臉 \(\cap\)），梯形位於曲線的下方，會得到過低估算。
- 如果曲線是凸的（形狀像個笑臉 \(\cup\)），梯形位於曲線的上方，會得到過高估算。
要提高準確度，只需增加條形的數量 \(n\)（使 \(h\) 變小）。