導論：踏入曲線的世界！

歡迎來到 Pure Mathematics 2 (P2) 中 (x, y) 平面坐標幾何的精彩世界！
在 P1 中，你已經掌握了直線的特性：計算距離、斜率及中點。現在，我們準備好挑戰最完美的曲線——圓形 (Circle)。

坐標幾何至關重要，因為它將代數（方程）與幾何（圖形）連接起來。掌握這一章，你將能精確地描述、定位和分析幾何圖形，為微積分及後續的純數課題打下堅實的基礎。

別擔心 P1 的幾何題目會讓你感到吃力！我們會將核心概念拆解成簡單易懂的步驟。

快速重溫：P1 必備工具（工具箱）

你將會不斷用到以下四個公式，請務必將它們牢記在心：

  • 距離公式 (Distance Formula)： 兩點 \((x_1, y_1)\) 與 \((x_2, y_2)\) 之間的距離 \(d\) 為： \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
  • 中點公式 (Midpoint Formula)： 線段的中點 \(M\) 為： \[M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
  • 斜率公式 (Gradient Formula)： 直線的斜率 \(m\) 為： \[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
  • 垂直線 (Perpendicular Lines)： 若兩條直線互相垂直（相交成 90°），它們的斜率 \(m_1\) 與 \(m_2\) 滿足： \[m_1 \times m_2 = -1 \quad \text{或} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}\] （這就是負倒數法則——對於求切線方程至關重要！）

第 1 節：圓的方程

圓形的定義是：到固定點（圓心，\((a, b)\)）距離為定值（半徑，\(r\)）的所有點的集合。

1.1 標準式（圓心-半徑式）

這是編寫圓方程最直接的方法，它是從距離公式直接推導出來的。

關鍵方程： \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\]

  • \((a, b)\) 代表圓心的坐標。
  • \(r\) 代表半徑。
  • \(r^2\) 代表半徑的平方。
記憶小貼士：找出圓心

當從標準式讀出圓心時，請記住符號相反規則 (Opposite Sign Rule)。
如果方程是 \((x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 16\)：

  • 對於 \(x\)：\(x + 5 \implies a = -5\)
  • 對於 \(y\)：\(y - 3 \implies b = 3\)
  • 圓心是 \((-5, 3)\)。半徑 \(r = \sqrt{16} = 4\)。

1.2 一般式

有時候，圓的方程會被展開，隱藏了圓心和半徑，這就是一般式 (General Form)：

\[x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\]

在此形式中，\(x^2\) 和 \(y^2\) 的係數必須均為 1。如果它們不是 1（例如 \(2x^2 + 2y^2 = ...\)），你必須先將整個方程除以該係數。

1.3 將一般式轉換為標準式（配方法）

如果你拿到的是一般式，必須使用配方法 (Completing the Square)（這可是 P1 的基本功！）來找出圓心和半徑。這是考試中常見的要求。

分步教學：配方法

例子：找出圓 \(x^2 + y^2 - 6x + 10y - 2 = 0\) 的圓心與半徑。

  1. 將 \(x\) 項和 \(y\) 項分組，並將常數項 \(c\) 移到等號右邊： \[(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) = 2\]
  2. 對 \(x\) 項進行配方： 取 \(x\) 的係數（即 \(-6\)）的一半，平方後加到兩邊。
    \(-6\) 的一半是 \(-3\)，平方後是 \(9\)。 \[(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y) = 2 + 9\]
  3. 對 \(y\) 項進行配方： 取 \(y\) 的係數（即 \(10\)）的一半，平方後加到兩邊。
    \(10\) 的一半是 \(5\)，平方後是 \(25\)。 \[(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = 2 + 9 + 25\]
  4. 將括號內的表達式寫成平方形式： \[(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 36\]
  5. 識別圓心與半徑：
    圓心 \((a, b)\) 為 \((3, -5)\)（記得符號相反！）。
    半徑 \(r = \sqrt{36} = 6\)。
快速重溫框：圓形
  • 標準式：\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
  • 看到一般式，立刻進行配方法。
  • 若 \(r^2\) 為負數，則該方程不代表一個實數圓。

第 2 節：切線、法線與相交

P2 的重點在於直線與圓之間的關係，特別是切線與法線。

2.1 理解切線與法線

想像單車輪子上的輻條：

  • 半徑 (Radius) 是從圓心到邊緣的線。
  • 切線 (Tangent) 是在圓的邊緣與圓相切於一點的直線，該點稱為切點 (Point of contact)。
  • 法線 (Normal) 是穿過圓心與切點的直線。對於圓形而言，法線本質上就是半徑（或是包含半徑的那條直線）。
關鍵幾何事實：
切線永遠與半徑在切點處垂直（成 90°）。

2.2 求切線方程

這通常是本章中最繁瑣的計算。

分步教學：求切線方程

目標：求圓在指定點 \(P(x_1, y_1)\) 的切線方程。

  1. 找出圓心 \((a, b)\)。（可能需要先進行配方！）
  2. 計算半徑的斜率 (\(m_{radius}\))。 使用圓心 \((a, b)\) 與切點 \(P(x_1, y_1)\) 之間的斜率公式： \[m_{radius} = \frac{y_1 - b}{x_1 - a}\]
  3. 計算切線的斜率 (\(m_{tangent}\))。 由於切線與半徑垂直： \[m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}}\]
  4. 求出切線方程。 使用點斜式 \(y - y_1 = m_{tangent}(x - x_1)\)，代入第 3 步求得的斜率及切點 \(P(x_1, y_1)\)。

關於法線的說明： 如果題目要求法線方程，只需使用第 2 步的斜率 \(m_{radius}\) 和點 \(P(x_1, y_1)\) 即可。法線永遠穿過圓心。

2.3 直線與圓的相交（聯立方程）

若要找出直線 \(L\) 與圓 \(C\) 的交點，必須解它們的聯立方程。

最簡單的方法是代入法 (Substitution)：

  1. 將線性方程（直線）重組，使 \(x\) 或 \(y\) 成為主項（例如 \(y = 3x + 1\)）。
  2. 將此表達式代入圓的方程中。
  3. 展開並簡化所得方程。這必定會得到一個關於其中一個變量（\(x\) 或 \(y\)）的一元二次方程。
  4. 解該二次方程以找出坐標。
  5. 將所得坐標代回線性方程，以求出對應的另一個坐標。
使用判別式 (\(\Delta\))

當所得二次方程為 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 的形式時，判別式 \(\Delta = B^2 - 4AC\) 可以讓你不用完全解方程就能判斷交點數量：

  • 若 \(\Delta > 0\)：有兩個不同的交點（該線為割線 (Secant)）。
  • 若 \(\Delta = 0\)：有一個交點（該線為切線 (Tangent)）。
  • 若 \(\Delta < 0\)：沒有實數交點（該線與圓不相交）。

當題目要求「證明直線為切線」或「求 k 值使得直線不與圓相交」時，這招非常有用。

常見陷阱警告！

在處理涉及圓的聯立方程時，確保將線性方程代入圓的標準式（配方後）或小心地代入一般式。代入時千萬別搞混變量！

第 2 節的重點摘要

半徑與切線之間的關係（它們互相垂直）幾乎是所有 P2 坐標幾何題目的基礎。請務必熟練運用負倒數法則。

第 3 節：直徑與弦的性質

P2 要求將直線的幾何性質（如垂直平分線）應用於圓的弦和直徑。

3.1 半圓上的角

你知道嗎？ 最優美的圓定理之一就是「半圓上的角」。
若 \(AB\) 是圓的直徑，而 \(P\) 是圓周上的任何一點，則 \(\angle APB\) 永遠是 \(90^\circ\)。

如何在 P2 中使用：
如果題目給出三個點 A、B 和 P，並告訴你 P 點的角為 \(90^\circ\)，那麼 A 和 B 必然構成一直徑。
這意味著你可以計算：

  • 圓心：\(AB\) 的中點。
  • 半徑：\(AB\) 長度的一半。

3.2 弦的垂直平分線

弦 (Chord) 是連接圓周上任意兩點的線段。
關鍵幾何事實： 任何弦的垂直平分線 (Perpendicular Bisector) 一定會穿過圓心。

使用弦的性質找圓心

若已知圓上兩點 \(A\) 與 \(B\) 構成一條弦：

  1. 找出弦 \(AB\) 的中點 \(M\)。
  2. 計算弦 \(AB\) 的斜率 \(m_{AB}\)。
  3. 找出垂直平分線的斜率 \(m_{perp}\) (\(m_{perp} = -1/m_{AB}\))。
  4. 求出垂直平分線的方程，利用 \(m_{perp}\) 和中點 \(M\)。

如果你對第二條弦 (\(BC\)) 重複此過程，兩條垂直平分線的交點即為圓心（聯立兩條線性方程即可求得）。

第 3 節的重點摘要

如果題目要求你根據圓周上的三點求圓的方程，請使用垂直平分線法兩次以定位圓心，然後使用距離公式求出半徑。

重溫與練習清單

在結束之前，請確保你能自信地完成以下任務：

  1. 使用配方法在圓的一般式與標準式之間轉換。
  2. 從標準式中直接識別圓心與半徑。
  3. 計算半徑的斜率，並使用負倒數求出任意點的切線斜率。
  4. 使用判別式 (\(B^2 - 4AC\)) 判斷直線與圓的關係（切線、割線或無相交）。
  5. 給定構成直徑的兩點，找出圓心（使用中點公式）。
  6. 給定圓周上的三點，求出圓的方程（使用兩條垂直平分線）。

記住，坐標幾何的關鍵在於靈活應用簡單的公式。熟能生巧！祝你學習順利！