歡迎來到單元 FP3：高等微分的力量
你好，未來的數學家！這一章關於進階純數 3 (FP3) 中的微分 (Differentiation)，我們將會運用你在純數 3 (P3) 學到的強大工具，並將其應用到一個全新的複雜函數世界：反三角函數 (Inverse Trigonometric) 與雙曲函數 (Hyperbolic)。
如果這些函數看起來很陌生，別擔心！核心法則（連鎖律、積法則、商法則）並沒有改變。我們只是在擴充工具箱，以便求出這些特殊方程的導數（即瞬時變動率或斜率）。在此章節打好基礎，對於後續學習積分及求解微分方程至關重要！
第 1 節：核心工具（快速重溫）
在深入研究新函數之前，讓我們快速回顧一下你必須熟練掌握的關鍵微分技巧。這些法則將始終與我們介紹的新函數結合使用。
1.1 連鎖律 (Chain Rule)：函數的函數微分
如果 \(y\) 是 \(u\) 的函數，而 \(u\) 是 \(x\) 的函數，那麼：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$
記憶小撇步：「微分外部，保留內部，然後乘以內部的導數。」這在處理如 \(\arcsin(2x)\) 或 \(\cosh^3(x)\) 這類函數時非常重要。
1.2 積法則 (Product Rule) 與商法則 (Quotient Rule)
記住這些結構！它們經常與我們在 FP3 學到的新導數結合使用。
- 積法則：對於 \(y = uv\)，$$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$
- 商法則：對於 \(y = \frac{u}{v}\)，$$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$
關鍵總結：FP3 中的微分很少只涉及一條法則。預期要在積法則或商法則內部頻繁應用連鎖律！
第 2 節：反三角函數的微分
在 FP3 中，你必須掌握 \(\arcsin x\)、\(\arccos x\) 和 \(\arctan x\) 的標準導數。我們通常使用隱函數微分法 (Implicit Differentiation) 來推導它們，這也證明了為什麼它們的導數看起來如此獨特。
2.1 理解過程（\(\arcsin x\) 的證明）
如果 \(y = \arcsin x\)，我們可以將其改寫為 \(x = \sin y\)。現在，對 \(x\) 進行隱函數微分：
- \(\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y)\)
- \(1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}\)
- 因此，\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}\)
由於 \(\cos^2 y + \sin^2 y = 1\)，我們知道 \(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}\)。將 \(x = \sin y\) 代入：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$
2.2 必備標準導數（把它們記下來！）
你必須能夠直接寫出這些結果，並在引數不單純是 \(x\) 時應用連鎖律。
反三角函數的標準結果：
1. \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
2. \(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
3. \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)
給同學的提示：觀察負號
請注意，只有以 'c' 開頭的函數 (\(\arccos x\)) 才有負的導數。這個模式與標準三角函數微分相同 (\(\cos \rightarrow -\sin\))。
2.3 應用範例（使用連鎖律）
範例： 求 \(y = \arctan(3x)\) 的導數。
我們使用連鎖律。令 \(u = 3x\)，則 \(\frac{du}{dx} = 3\)。
接著 \(y = \arctan u\)，故 \(\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}\)。
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \left(\frac{1}{1+(3x)^2}\right) \times 3 = \frac{3}{1+9x^2}$$
常見錯誤：忘了將整個引數平方。正確寫法是 \((3x)^2\)，而不是 \(3x^2\)。
關鍵總結：反三角函數的導數結果總是一個包含平方根的分式（對於 \(\arcsin / \arccos\)）或一個簡單的平方項（對於 \(\arctan\)）。
第 3 節：雙曲函數的微分
雙曲函數 (\(\sinh x\), \(\cosh x\), \(\tanh x\)) 是使用指數函數定義的。這意味著它們的導數表現與標準三角函數略有不同——通常更簡單！
你知道嗎？ 雙曲函數描述了懸掛鏈條或電纜的形狀（稱為懸鏈線 (catenary)）。它們在工程學和物理學中非常重要！
3.1 標準雙曲導數
由於 \(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 且 \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)，我們可以輕鬆求出它們的導數：
- \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
- \(\frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}\)
雙曲函數的標準結果：
1. \(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)
2. \(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\)
3. \(\frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x\)
4. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{coth} x) = -\operatorname{cosech}^2 x\)
5. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x\)
6. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x\)
記憶技巧：消失的負號
在微分標準三角函數時，\(\cos x \rightarrow -\sin x\)。但在雙曲世界中，主函數的符號變換不存在！
\(\cosh x\) 的導數僅為 \(\sinh x\)。沒有負號。這是最需要記住的區別！
3.2 組合法則（積法則範例）
範例： 微分 \(y = x^2 \cosh(5x)\)。
這需要用到積法則 \(y = uv\)，其中 \(u = x^2\) 且 \(v = \cosh(5x)\)。
- \(\frac{du}{dx} = 2x\)
- \(\frac{dv}{dx} = \sinh(5x) \cdot 5 = 5\sinh(5x)\) (此處使用了連鎖律！)
$$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx} = x^2 (5\sinh(5x)) + \cosh(5x) (2x)$$
$$\frac{dy}{dx} = 5x^2 \sinh(5x) + 2x \cosh(5x)$$
關鍵總結：由於微分 \(\cosh x\) 時沒有負號，雙曲函數的微分通常比標準三角函數更容易。一定要記得應用連鎖律！
第 4 節：反雙曲函數的微分
這些函數 (\(\operatorname{arsinh} x\), \(\operatorname{arcosh} x\), \(\operatorname{artanh} x\)) 是雙曲函數的反函數。它們有時被寫為 \(\sinh^{-1} x\), \(\cosh^{-1} x\) 等，但使用 'ar' (area) 有助於將其與簡單的倒數區分開來。你應該熟悉它們的對數定義，因為這些定義經常用於證明導數。
4.1 證明導數（使用對數形式）
我們知道 \(\operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})\)。我們可以使用連鎖律結合 \(\ln u\) 的導數（即 \(\frac{1}{u} \frac{du}{dx}\)）來微分這個表達式。
經過細心的代數運算，結果為：
$$\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
（考試中可能會要求你證明這些結果，所以請務必練習代數運算！）
4.2 必備標準導數（反雙曲函數）
這些結果與反三角函數的結果極為相似，容易混淆。請特別留意正負號，以及分母中的 \(x^2\) 項是正還是負！
反雙曲函數的標準結果：
1. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
2. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) (定義於 \(x>1\))
3. \(\frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1-x^2}\) (定義於 \(|x|<1\))
關鍵比較 (\(\arctan\) vs \(\operatorname{artanh}\))
這是許多學生失分的地方！請注意細微但關鍵的區別：
- \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\) (注意：\(1\) 在前面)
- \(\frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1-x^2}\) (注意：\(1\) 在前面，但中間是減號)
如果你混淆了這些，後續的積分作業也會出錯！請務必再次檢查分母中的符號。
4.3 步驟範例（連鎖律與反雙曲函數結合）
範例： 求 \(y = \operatorname{arcosh}(x^3 + 2)\) 的導數。
- 識別函數形式：這是 \(y = \operatorname{arcosh} u\)，其中 \(u = x^3 + 2\)。
- 微分「內部」(\(u\))：\(\frac{du}{dx} = 3x^2\)。
- 應用標準公式：\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\)。
- 使用連鎖律結合： $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(x^3 + 2)^2 - 1}} \cdot 3x^2$$
結果：$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{\sqrt{(x^3 + 2)^2 - 1}}$$
學習提醒：如果算出的導數看起來很複雜，不要擔心！本來就是這樣。關鍵在於準確應用公式與連鎖律。
關鍵總結：反雙曲函數的導數通常涉及分母中的平方根，而 \(1\) 與 \(x^2\) 之間的關係決定了符號與函數類型。
快速複習：六個核心 FP3 微分公式
請在腦海中將這六個公式清晰分類！
反三角函數：
\(\arcsin x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x \rightarrow \frac{1}{1+x^2}\)
反雙曲函數：
\(\operatorname{arsinh} x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(\operatorname{arcosh} x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(\operatorname{artanh} x \rightarrow \frac{1}{1-x^2}\)
雙曲函數：
\(\cosh x \rightarrow \sinh x\) (沒有負號！)