歡迎來到「二人世界」：聯合壽命模型 (Joint-Life Modelling)
在你之前的學習中，你專注於單個人的壽命，通常稱為 \((x)\)。但在現實世界中，許多財務決策涉及不止一個人——想想一對夫婦購買房子，或是公司為退休人員及其配偶提供養老金。
在本章中，我們將從個人壽命模型轉向聯合壽命模型。我們將探討當涉及兩個生命時如何計算機率。這看起來工作量好像翻倍了，但一旦你掌握了當中的規律，就會發現它就像砌 LEGO 積木一樣簡單！
1. 觀察聯合壽命的兩種方式
當我們觀察兩個人，假設為 \((x)\) 和 \((y)\) 時，我們通常關注以下兩種「狀態」之一：
- 聯合壽命狀態 \((xy)\)： 這種狀態僅在雙方都活著時存在。一旦第一個人死亡，該狀態即告「終止」。類比：網球雙打比賽——如果其中一位球員退場，隊伍的狀態就結束了。
- 最後生存者狀態 \((\overline{xy})\)： 這種狀態只要至少還有一個人活著就存在。它只有在第二個人（最後一人）死亡時才會「終止」。類比：兩個燈泡並聯的電路——只有當兩個燈泡都燒毀時，房間才會變黑。
快速回顧：狀態背後的數學原理
令 \(T_x\) 為 \((x)\) 死亡前的時間，\(T_y\) 為 \((y)\) 死亡前的時間。
1. 聯合壽命狀態終止的時間為 \(T_{xy} = \min(T_x, T_y)\)。
2. 最後生存者狀態終止的時間為 \(T_{\overline{xy}} = \max(T_x, T_y)\)。
必須記住的關鍵關係：
\(T_x + T_y = T_{xy} + T_{\overline{xy}}\)
這個恆等式是救命稻草！它基本說明了個人壽命之和等於第一次死亡的時間加上第二次死亡的時間。
2. 獨立壽命模型
對兩個生命進行建模最簡單的方法是假設 \((x)\) 的死亡對 \((y)\) 的死亡完全沒有影響。這稱為獨立性假設 (Independence Assumption)。
生存機率
如果兩者是獨立的，兩人在 \(t\) 年後仍然存活的機率就是他們各自生存機率的乘積：
\[{}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\]
對於最後生存者狀態，至少有一人存活的機率為：
\[{}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\]
如果這看起來有點複雜，別擔心！ 只要記得基礎機率中的容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)。在這裡，「A 或 B 存活」就是最後生存者狀態，而「A 與 B 皆存活」就是聯合壽命狀態。
聯合死亡力 (Joint Force of Mortality)
如果兩者生命獨立，聯合壽命狀態的死亡力簡直就是各自死亡力之和：
\[\mu_{xy}(t) = \mu_x(t) + \mu_y(t)\]
快速回顧： 這意味著聯合壽命狀態終止的「危險」或「風險」是任一人死亡的風險總和。
總結： 在獨立模型中，我們只需要將生存機率相乘即可得到聯合壽命機率。
3. 多狀態模型 (Multiple State Model) 方法
在 Exam ALTAM 中，我們經常會超越獨立性模型。我們使用多狀態模型來描述一對生命可能處於的各種「狀態」。這更具現實意義，因為它允許一人的死亡影響另一人的死亡率（即所謂的「心碎效應」）。
四種狀態
想像一個有四個房間的盒子：
- 狀態 0： \((x)\) 和 \((y)\) 都活著。
- 狀態 1： \((x)\) 已死亡，但 \((y)\) 還活著。
- 狀態 2： \((y)\) 已死亡，但 \((x)\) 還活著。
- 狀態 3： 兩人都已死亡（「吸收」狀態）。
轉換（死亡力）
我們使用 \(\mu_{x+t:y+t}^{jk}\) 來表示在時間 \(t\) 從狀態 \(j\) 轉換到狀態 \(k\) 的死亡力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{01}\)：\((x)\) 先死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{02}\)：\((y)\) 先死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{13}\)：在 \((x)\) 已死亡的前提下，\((y)\) 死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{23}\)：在 \((y)\) 已死亡的前提下，\((x)\) 死亡的力。
你知道嗎？ 如果兩者生命是獨立的，那麼 \(\mu^{01} = \mu^{23} = \mu_x\) 且 \(\mu^{02} = \mu^{13} = \mu_y\)。如果兩者是相關的，這些數值就會不同！
4. 計算狀態機率
要找出在時間 \(t\) 處於特定狀態的機率，我們運用以下邏輯：
留在狀態 0（兩人都存活）
要留在狀態 0，意味著沒有人死亡。離開狀態 0 的總力為 \(\mu^{01} + \mu^{02}\)。
\[{}_t p_{xy}^{00} = \exp \left( -\int_0^t (\mu_{x+s:y+s}^{01} + \mu_{x+s:y+s}^{02}) ds \right)\]
進入狀態 1（\((x)\) 死亡，隨後 \((y)\) 存活）
這是一個「路徑」計算。若要在時間 \(t\) 處於狀態 1：
- 兩人都必須存活到某個時間 \(s\)（其中 \(s < t\)）。
- 剛好在時間 \(s\)，\((x)\) 死亡（轉換 \(0 \to 1\)）。
- 從時間 \(s\) 到時間 \(t\)，\((y)\) 必須在狀態 1 中保持存活。
\[{}_t p_{xy}^{01} = \int_0^t {}_s p_{xy}^{00} \cdot \mu_{x+s:y+s}^{01} \cdot {}_{t-s} p_{y+s}^{11} ds\]
記憶技巧： 將其理解為「直到事件發生前的生存機率 \(\times\) 事件發生的瞬間 \(\times\) 事件發生後的生存機率」。
5. 要避免的常見陷阱
1. 混淆 \(T_{xy}\) 與 \(T_{\overline{xy}}\)： 務必反覆檢查題目要求的是「第一次死亡」（聯合壽命）還是「最後死亡」（最後生存者）。
2. 忘記狀態定義： 在多狀態模型中，\({}_t p_{xy}^{01}\) 是指在時間 \(t\) 時，\((y)\) 是唯一倖存者的機率。這與 \((x)\) 在時間 \(t\) 前死亡的機率並不相同。
3. 積分限： 當計算像 \({}_t p_{xy}^{01}\) 這類機率時，積分限總是從 \(0\) 到 \(t\)。請確保你的死亡力函數代入正確。
6. 總結快速回顧框
關鍵公式：
- 聯合壽命生存： \({}_t p_{xy} = P(T_{xy} > t)\)
- 最後生存者生存： \({}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\)
- 獨立死亡力： \(\mu_{xy} = \mu_x + \mu_y\)
- MSM 狀態 0： \({}_t p_{xy}^{00} = e^{-\int (\text{離開狀態 0 的力之總和})}\)
核心要點： 多狀態模型其實就是一張地圖。跟著箭頭（轉換）走，並將路徑上的機率相乘即可！
如果積分公式起初看起來很嚇人，不用擔心。在大多數考試題目中，死亡力 (\(\mu\)) 都是常數，這使得積分變得簡單得多——通常只會得出指數函數！