歡迎來到總賠款（Aggregate Claims）的世界！

你好！既然你已經修讀到 Exam ASTAM，你一定已經知道，保險公司關心的不僅僅是單一的一筆賠款——他們更在乎在一段時間內必須賠付的總金額。這筆總金額稱為總賠款（Aggregate Claim），通常記作 \(S\)。

在本章中，我們將學習如何計算 \(S\) 的機率分佈。為什麼這很重要？因為如果精算師無法預測總賠款超過特定金額的可能性，公司可能就沒有足夠的資金來支付賠款！我們將專注於兩個主要的「工具包」：卷積（Convolution）（適用於我們確切知道發生了多少次賠款時）以及遞迴公式（Recursive Formulas）（特別是 Panjer 遞迴，適用於賠款次數為隨機變數時）。

如果一開始覺得數學部分看起來很吃力，別擔心。我們會把它拆解成容易消化的小部分！

1. 基本構建：什麼是 \(S\)？

在深入公式之前，讓我們回顧一下核心模型：

\( S = X_1 + X_2 + ... + X_N \)

其中：
• \(N\) 是頻率（Frequency）（賠款次數）。
• \(X_i\) 是嚴重程度（Severity）（第 \(i\) 筆賠款的金額）。
• \(S\) 是總損失（Aggregate Loss）（賠付出的總金額「堆」）。

在本章中，我們通常假設所有的 \(X_i\) 都是獨立同分佈（i.i.d.）的，並且與 \(N\) 也是相互獨立的。

2. 卷積法（Convolution Method）

想像一下，你確定發生了剛好 2 筆賠款（\(N=2\)）。要找出總成本為 100 元的機率，你必須檢查所有兩個數字加起來等於 100 的組合（例如：20+80、50+50、0+100）。

卷積其實就是「加總所有組合」的正式數學表達方式。

運作方式：

如果我們定義 \(f_X(x)\) 為單一賠款的機率質量函數（pmf），那麼 \(n\) 筆賠款總和的 pmf（記為 \(f^{*n}(s)\)）計算如下：

\( f^{*n}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) \cdot f^{*(n-1)}(s-x) \)

逐步拆解：

1. 從 \(n=1\) 開始： 單一賠款總和的分佈就是賠款本身的分佈，即 \( f^{*1}(s) = f_X(s) \)。
2. 進入 \(n=2\)： 通過將 \(X\) 的分佈與自身進行「滑動」對照，來計算「二階卷積」。
3. 持續進行： 對於 \(n=3\)，你將 \(X\) 與 \(n=2\) 的結果進行卷積。

小貼士： 卷積對於較小的 \(N\) 非常有用，但如果 \(N\) 很大，手動計算簡直是一場噩夢。這就像是手動計數——準確，但非常緩慢！

重點總結： 卷積是用來求出固定數目的獨立變數相加後其總和分佈的方法。

3. Panjer 遞迴公式（Panjer’s Recursive Formula）

現在，讓我們來看看精算科學的「魔術」。在現實世界中，\(N\) 並非固定值，而是一個隨機變數（例如 Poisson 或負二項分佈）。如果我們在這裡使用卷積，我們必須為每一個可能的 \(N\) 值計算總和，那工作量太大了！

Harry Panjer 開發了一個遞迴捷徑。如果頻率 \(N\) 屬於 (a, b, 0) 類別，我們可以在不需要分別計算每一個 \(n\) 的情況下，找出總和 \(S\) 的機率。

(a, b, 0) 類別複習

回想一下，對於這些分佈，機率 \(p_n = P(N=n)\) 滿足：
\( \frac{p_n}{p_{n-1}} = a + \frac{b}{n} \)

常見成員包括：
• Poisson： \(a = 0, b = \lambda\)
• 二項分佈（Binomial）： \(a < 0\)
• 負二項分佈（Negative Binomial）： \(a > 0\)

公式（主角登場）

對於離散嚴重程度 \(X\)，其 pmf 為 \(f_X(x)\)，其中 \(x = 1, 2, 3, ...\)，則總賠款 \(f_S(s)\) 的 pmf 為：

\( f_S(s) = \frac{1}{1 - a f_X(0)} \sum_{x=1}^{s} (a + \frac{bx}{s}) f_X(x) f_S(s-x) \)

等等！我該如何開始遞迴？

你需要一個起始值 \(f_S(0)\)。這是總賠款為 0 的機率。這發生在 \(N=0\) 時，或者當 \(N>0\) 但所有賠款恰好都是 0 元時。
對於 (a, b, 0) 類別，公式為：
\( f_S(0) = P_N(f_X(0)) \)

其中 \(P_N(z)\) 是頻率 \(N\) 的機率生成函數（pgf）。

你知道嗎？ 如果嚴重程度 \(X\) 不可能為 0（即 \(f_X(0) = 0\)），公式會變得簡單得多，因為前面的分數項會變成 1！

Panjer 過程逐步教學：

1. 確認 \(a\) 和 \(b\)： 根據給定的頻率分佈（\(N\)）。
2. 計算 \(f_S(0)\)： 使用 \(N\) 的 pgf。
3. 求解 \(f_S(1)\)： 在公式中使用 \(s=1\)。
4. 求解 \(f_S(2)\)： 在公式中使用 \(s=2\)（這將會用到你之前算出的 \(f_S(1)\)）。
5. 重複步驟 直到達到你想要的 \(s\) 值。

常見錯誤： 忘記 Panjer 公式中的總和是從 \(x=1\) 開始，而不是 \(x=0\)。如果你把 \(x=0\) 包含在總和中，你會發現等式兩邊都有 \(f_S(s)\)，這會讓你非常困惑！

重點總結： Panjer 遞迴是一種強大的方法，通過利用先前計算出的 \(f_S\) 值來求得 \(S\) 的分佈。

4. 處理連續型嚴重程度：離散化（Discretization）

Panjer 公式僅在嚴重程度 \(X\) 是離散時才有效（意即賠款金額為 1 元、2 元等，而不是 1.2345 元...）。但在現實世界中，賠款往往是連續的。我們該怎麼辦？

我們將分佈離散化！我們將連續曲線「切割」成大小為 \(h\) 的區間（bucket）。

捨入法（最簡單的方法）

在此方法中，我們將區間的機率分配給最近的「網格點」。如果我們的步長是 \(h\)：

• \( f_0 = P(0 \le X < h/2) = F_X(h/2) \)
• \( f_j = P(jh - h/2 \le X < jh + h/2) = F_X(jh + h/2) - F_X(jh - h/2) \)

類比： 想像你有一袋麵粉（連續的）。離散化就像是把麵粉裝進 1 磅的小袋子裡（離散的）。它雖然不完全相同，但計數起來容易多了！

5. 快速回顧與考試貼士

記憶輔助：Panjer 的「A-B-S」
記住總和中的項：(a + bx/s)。
• a 和 b 來自頻率。
• x 是你當前正在檢視的賠款值。
• s 是你試圖計算的總和目標。

快速總結表：
• 頻率 \(N\) 固定： 使用卷積。
• 頻率 \(N\) 為 (a, b, 0)： 使用 Panjer 遞迴。
• 嚴重程度 \(X\) 連續： 先離散化，然後使用 Panjer。

最後鼓勵

第一次看到 Panjer 表格時，它看起來像是一座數字大山。但請注意其中的規律：每一行都使用了上方計算過的結果。多練習幾次計算 \(f_S(1)\) 和 \(f_S(2)\)，你就會找到節奏。你可以做到的！