歡迎來到額外風險建模的世界！

你好！當你深入探索長期保險的世界時，你會很快發現並非每個人都符合「標準」模型。有些人抽煙，有些人患有高血壓，而有些人可能有高風險的愛好，例如跳傘。在精算術語中，我們稱這些為次標準風險 (substandard risks)。

在本章中，我們將學習如何調整數學模型以應對這些額外風險。如果起初覺得這很棘手也不用擔心——我們基本上只是拿你已經熟悉的「標準」公式進行一點「微調」，使其適用於更危險的情況。讓我們開始吧！

為什麼我們需要調整死亡率？

標準死亡率表是為一般、健康的人群構建的。如果我們對患有慢性病的人使用相同的表格，我們將會低估 (underprice) 保險費用。保險公司收取的保費將不足以支付理賠風險。為了解決這個問題，我們使用額外風險模型 (extra risk models) 來提高計算中使用的死亡率。


方法 1：年齡評級（「里程表」法）

年齡評級 (Age rating)（也稱為「增加年齡」）是處理額外風險最簡單的方法之一。概念很簡單：如果一名 40 歲的申請人抽煙，他們的身體狀況可能「表現」得像 45 歲一樣。

運作方式

我們只需在申請人的實際年齡上加上一個固定的數字，稱之為 \(h\)。如果真實年齡是 \(x\)，我們就將所有計算視為該人士的年齡為 \(x + h\)。

例如，如果一名 35 歲的人被給予 5 年的年齡評級：

  • 死亡概率變為： \(q_{35}^* = q_{40}\)
  • 生存年金變為： \(\ddot{a}_{35}^* = \ddot{a}_{40}\)
  • 淨保費變為： \(P_{35}^* = P_{40}\)

比喻

把它想像成一輛汽車。一輛 2020 年份的汽車如果曾用於頻繁送貨，其里程數可能已達 15 萬英里。儘管技術上它只有 4 年車齡，但保險公司會因為其「損耗」而將其視為更舊的車。這正是年齡評級對人類壽命所做的事情！

快速回顧：使用年齡評級時，只需在你熟悉的每個公式中將 \(x\) 替換為 \(x+h\)。就是這麼簡單！


方法 2：死亡力常數增加

有時，額外風險並不僅僅是因為「年齡較大」。有時，這只是一個每年都保持不變的額外風險層。我們通過在死亡力 (force of mortality) 上增加一個常數 \(\phi\)（phi）來模擬這種情況。

公式

調整後的死亡力 \(\mu_x^*\) 定義為：
\( \mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi \)

這對我們的生存概率有什麼影響？

這是 FAM 考試題中非常熱門的主題！由於死亡力位於生存函數的指數中，增加一個常數會導致生存概率的乘法調整：

\( {}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t} \)

你知道嗎？

這種方法通常用於「平坦」風險，例如有危險愛好的人。無論他們是 20 歲還是 50 歲，跳傘事故帶來的額外風險在每年可能都被視為相對恆定。

關鍵要點：如果你看到常數增加 \(\phi\)，請記住你的新生存概率只是舊的生存概率乘以 \(e^{-\phi t}\)。這使得計算 \(A_x^*\) 或 \(\ddot{a}_x^*\) 的速度快得多！


方法 3：乘法調整（百分比法）

在這種方法中，我們假設額外風險與標準風險成正比。我們將標準死亡力乘以一個因子，通常寫為 \((1+k)\) 或常數 \(m\)。

公式

\( \mu_x^* = (1+k) \cdot \mu_x \)

常見陷阱

學生經常誤以為這是乘以死亡概率 (\(q_x\))。請小心！在這個模型中，我們乘以的是死亡力 (\(\mu\))。雖然兩者相關，但死亡力的乘法效果隨時間推移會產生複利影響。

在該模型下，新的生存概率為：
\( {}_tp_x^* = ({}_tp_x)^{(1+k)} \)


這些調整如何影響保費和價值

一旦你調整了死亡率（無論是通過年齡評級還是改變 \(\mu\)），你必須重新計算精算現值 (APV) 以找出新的保費。

分步計算流程：
  1. 識別調整方式：是年齡評級？是常數 \(\phi\)？還是乘數？
  2. 計算調整後的生存概率：找出新的 \({}_tp_x^*\)。
  3. 計算調整後的 APV：找出新的 \(A_x^*\) 和 \(\ddot{a}_x^*\)。
  4. 找出保費：使用等價原則 (Equivalence Principle)。通常為 \(P^* = \frac{A_x^*}{\ddot{a}_x^*}\)。

重要提示：當死亡率增加時，\(A_x\)（給付成本）會增加，而 \(\ddot{a}_x\)（保費價值）會減少。由於分子變大且分母變小，保費 \(P_x\) 對於次標準風險而言將永遠更高。


快速參考總結表

使用此表來理清各種方法！

1. 年齡評級：將年齡 \(x\) 視為 \(x+h\)。
2. 常數增加 (\(\phi\))： \({}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)。
3. 乘法調整 (\(m\))： \({}_tp_x^* = ({}_tp_x)^m\)。


考試最終提示

  • 注意時間段：如果題目提到「額外風險僅適用於前 5 年」，請僅對這 5 年進行死亡率調整。這是 FAM 考試中常見的「陷阱」！
  • 保單價值：如果被問及次標準壽險的保單價值 (\(_tV\))，請記住未來的給付和未來的保費都是基於調整後的死亡率。
  • 邏輯檢查：如果你的計算結果顯示保費比標準保費低，請停下來！哪裡出錯了。額外風險應始終導致更高的成本。

你做得很好！本章的重點在於理解我們對假設的小幅修改如何影響標準公式。掌握上述三種調整方法，你將為 SOA 拋出的任何「額外風險」問題做好準備！