歡迎來到死亡率模型：參數化生存模型與生命表！

你好，未來的精算師！歡迎來到 Exam FAM 學習旅程中最基礎的章節之一。在本單元中，我們將學習如何將人類生命不可預測的本質轉化為數學語言。為什麼要這樣做？因為要為保險單定價或評估退休金，我們必須計算一個人活著領取福利，或因死亡觸發理賠的機率。

你可以把這一章想像成我們數學模型中關於人類衰老與死亡的「規則手冊」。我們將探討參數化模型（平滑的數學公式）和生命表（整齊排列的數據列表）。別擔心公式初看之下會很嚇人——我們會將它們拆解，逐一擊破！

1. 基礎概念：生存與死亡

在探討複雜模型之前，我們需要先了解故事中的兩位「主角」：生存機率與死亡機率。

• \( S_0(x) \)（生存函數）： 這代表一個新生兒至少活到 \( x \) 歲的機率。它的值從 1 開始（出生時所有人皆活著），最後歸零（所有人最終都會死亡）。
• \( F_0(x) \)（累積分配函數）： 這代表一個新生兒在 \( x \) 歲之前死亡的機率。它簡單地定義為 \( 1 - S_0(x) \)。
• \( {}_t p_x \)： 這代表一個已經 \( x \) 歲的人再多活 \( t \) 年的機率。數學表達為：\( {}_t p_x = \frac{S_0(x+t)}{S_0(x)} \)。
• \( {}_t q_x \)： 這代表一個 \( x \) 歲的人在未來 \( t \) 年內死亡的機率。數學表達為：\( {}_t q_x = 1 - {}_t p_x \)。

類比：智慧型手機電池

想像一塊智慧型手機電池。\( S_0(x) \) 是電池在運作 \( x \) 小時後仍然有電的機率。\( {}_t p_x \) 就好比在說：「如果我的手機在 4 小時後電量還剩 50%，那麼它再多撐 2 小時的機率是多少？」

重點總結

這一章的所有內容本質上都是比例。 若要計算從 40 歲活到 50 歲的機率，你其實就是在計算（相對於 40 歲時活著的人數）有多少人成功活到了 50 歲。

2. 死亡力 \( \mu_x \)

死亡力 (Force of Mortality) 是一個非常重要的概念。它代表 \( x \) 歲時的瞬時死亡率。它並非機率（它可以大於 1！），而是指在那一瞬間面臨死亡風險的「強度」。

必須記住的公式為：
\( \mu_x = -\frac{1}{S_0(x)} \frac{d}{dx} S_0(x) = -\frac{d}{dx} \ln(S_0(x)) \)

快速回顧： 如果題目給定 \( \mu_x \) 並要求你找出生存機率，請使用這個「積分技巧」：
\( {}_t p_x = e^{-\int_{0}^{t} \mu_{x+s} ds} \)

常見錯誤提醒

學生經常混淆 \( q_x \) 和 \( \mu_x \)。請記住：\( q_x \) 是在整整一年內死亡的機率，而 \( \mu_x \) 是在單一時刻感受到的死亡壓力。

3. 參數化生存模型

精算師會使用特定的數學函數來描述死亡率。以下是 Exam FAM 需要掌握的四種模型：

A. 指數模型 (Exponential Model)（固定死亡力）

在此模型中，無論年齡大小，死亡風險皆相同。這就像一台永遠不會老舊的機器，只會因隨機意外而損壞。
• 公式： \( \mu_x = \mu \)（常數）
• 生存函數： \( {}_t p_x = e^{-\mu t} \)
• 記憶口訣： 「固定最無聊」。無論你是 20 歲還是 80 歲，活過 10 年的機率都一樣。

B. 岡珀茨模型 (Gompertz Model)

這對人類來說更具現實意義。它假設死亡風險會隨著年齡增加而指數式上升。
• 公式： \( \mu_x = B \cdot c^x \)
• 生存函數： \( {}_t p_x = \exp\left[ -\frac{B \cdot c^x (c^t - 1)}{\ln c} \right] \)
• 關鍵點： 如果你看到公式中年齡 \( x \) 在指數位置（例如 \( 0.001 \cdot 1.1^x \)），請馬上聯想到岡珀茨模型！

C. 梅克漢模型 (Makeham Model)

梅克漢在岡珀茨模型的基礎上增加了一個常數 \( A \)，用以考量與年齡無關的「意外死亡」。
• 公式： \( \mu_x = A + B \cdot c^x \)
• 生存函數： 就是岡珀茨生存函數再乘以 \( e^{-At} \)。
• 你知道嗎？ 這是最早能精確描述不同人群中成年人死亡率的模型之一。

D. 韋伯模型 (Weibull Model)

在此模型中，死亡力是年齡的冪函數。
• 公式： \( \mu_x = k \cdot x^n \)
• 生存函數： \( S_0(x) = e^{-\frac{k}{n+1} x^{n+1}} \)
• 辨識方法： 尋找年齡 \( x \) 的固定次方項（例如 \( x^2 \) 或 \( \sqrt{x} \)）。

重點總結表

• 指數： \( \mu_x \) 是平坦的。
• 岡珀茨： \( \mu_x \) 像複利曲線一樣增長。
• 梅克漢： 岡珀茨 + 平坦的「意外」率。
• 韋伯： \( \mu_x \) 像多項式一樣增長（例如 \( x^2 \)）。

4. 生命表

如果參數化模型是「公式」，那麼生命表就是「試算表」。它們向我們展示了大型人群（稱為同齡群組）隨著年齡增長的概況。

標準符號：
• \( l_x \)：在 \( x \) 歲時活著的人數。我們通常從一個大數開始，如 100,000（稱為基數 (radix)）。
• \( d_x \)：在 \( x \) 歲到 \( x+1 \) 歲之間死亡的人數。公式：\( d_x = l_x - l_{x+1} \)。
• \( p_x \)：一個 \( x \) 歲的人活到 \( x+1 \) 歲的機率。公式：\( p_x = \frac{l_{x+1}}{l_x} \)。
• \( q_x \)：一個 \( x \) 歲的人在 \( x+1 \) 歲前死亡的機率。公式：\( q_x = \frac{d_x}{l_x} \)。

步驟解析：如何查閱表格

1. 從 \( l_x \) 開始。
2. 乘以 \( q_x \) 找出死亡人數 (\( d_x \))。
3. 從 \( l_x \) 減去 \( d_x \) 得到下一年存活的人數 (\( l_{x+1} \))。
4. 重複步驟！

重點總結

\( l_x \) 只是生存函數的一種放大版本。 更準確地說，\( S_0(x) = \frac{l_x}{l_0} \)。只要你會基礎分數運算，生命表就難不倒你！

5. 分數年齡（插值法）

生命表通常只提供整數歲數的數據（40、41、42 歲）。但如果我們想知道一個人 40.5 歲時的死亡機率呢？我們必須「填補空格」。Exam FAM 主要使用兩種方法：

A. 死亡均勻分佈假設 (UDD)

我們假設死亡均勻地分佈在一年之中。這就像是在 \( l_x \) 和 \( l_{x+1} \) 之間畫一條直線。
• 公式： \( {}_s q_x = s \cdot q_x \)（對於 \( 0 < s < 1 \)）
• 類比： 如果一年內有 100 人死亡，UDD 假設在前 6 個月剛好會有 50 人死亡。

B. 固定死亡力假設 (CF)

我們假設在兩個生日之間，死亡力（\( \mu \)）是恆定的，即使它在兩年之間有所變化。這會形成一條輕微的曲線。
• 公式： \( {}_s p_x = (p_x)^s \)
• 關鍵差異： 在一年內，與 UDD 相比，CF 會得出略高的生存機率。

快速回顧箱

若為分數年齡（例如 0.5）：
• UDD： 使用線性數學（乘法/加法）。
• 固定死亡力： 使用指數數學（冪/指數）。

成功的小撇步

• 別慌張： 許多考題看起來很複雜，但其實只需要你從表格或公式中找出兩個數字的比率。
• 練習符號： 確保能一眼看出 \( {}_n q_x \)（在 \( n \) 年內死亡）與 \( {}_m|{}_n q_x \)（生存 \( m \) 年後在接下來的 \( n \) 年內死亡）的區別。
• 檢查你的答案： 機率一定要在 0 到 1 之間。如果你算出 1.5，那肯定哪裡算錯了！

你一定行！繼續多練習這些 \( l_x \) 的計算，這些規律很快就會變得像直覺一樣自然。