歡迎來到頻率模型 (Frequency Modeling)！

在本章中，我們將深入探討精算數學中的「頻率」部分。如果說嚴重程度 (Severity) 是處理理賠「金額是多少」，那麼頻率 (Frequency) 就是在處理理賠「發生得多頻繁」。為了讓計算更簡單，精算師使用了兩類特殊的機率分配，稱為 (a,b,0) 和 (a,b,1) 類。

別擔心這些名稱聽起來像秘密代碼！看完這份筆記後，你會發現它們其實只是運用簡單的遞迴關係（Recursive relationship），將最常見的頻率分配（卜瓦松、二項與負二項分配）歸納起來的巧妙方法。讓我們開始吧！

(a,b,0) 類：基礎篇

(a,b,0) 類是一組離散機率分配，其中發生 \(k\) 次理賠的機率（記作 \(p_k\)）可以透過發生 \(k-1\) 次理賠的機率推導出來。

定義此類別的「神奇公式」為：

\[ \frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}, \text{ 當 } k = 1, 2, 3, \dots \]

你可以把它想像成一個遞迴食譜。如果你知道起點 (\(p_0\)) 以及 a 和 b 的數值，你就能算出該分配中任何一個機率，而不需要每次都使用完整的機率質量函數！

認識 (a,b,0) 家族的成員

在 FAM 考試中，你只需要掌握這個家族的三個主要成員。每個成員都有特定的 a 和 b 值：

1. 卜瓦松分配 (Poisson Distribution) (\(\lambda\))
卜瓦松是隨機事件發生的「黃金標準」。
\(a = 0\)
\(b = \lambda\)
小貼士：由於 \(a=0\)，比率簡化為 \( \frac{p_k}{p_{k-1}} = \frac{\lambda}{k} \)。

2. 二項分配 (Binomial Distribution) (\(n, q\))
用於試驗次數固定（如 \(n\) 張保單）且理賠機率為 \(q\) 的情況。
\(a = \frac{-q}{1-q}\)
\(b = \frac{(n+1)q}{1-q}\)
注意：對於二項分配，a 永遠是負數！

3. 負二項分配 (Negative Binomial Distribution) (\(r, \beta\))
當頻率比卜瓦松分配更「分散」（波動較大）時使用。
\(a = \frac{\beta}{1+\beta}\)
\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)
注意：對於負二項分配，a 永遠是正數！

4. 幾何分配 (Geometric Distribution) (\(\beta\))
這是負二項分配在 \(r = 1\) 時的特殊情況。
\(a = \frac{\beta}{1+\beta}\)
\(b = 0\)

快速複習：如何識別分配

如果你已知 \(a\) 或機率的比率，你可以立即判斷出它是哪種分配：
- 如果 \(a < 0\)：這是二項分配。
- 如果 \(a = 0\)：這是卜瓦松分配。
- 如果 \(a > 0\)：這是負二項分配。

重點總結： (a,b,0) 類涵蓋了「標準」版本的頻率分配，其公式從 \(k=1\) 開始即適用。

(a,b,1) 類：「修正」家族

有時候，現實世界的理賠數據並不完全符合 (a,b,0) 模型——通常是因為「零理賠」的數量比預期多得多或少得多。這時就需要 (a,b,1) 類了。

(a,b,1) 類使用與 (a,b,0) 類相同的遞迴公式，但有一個重大前提：它只能從 \(k = 2, 3, \dots\) 開始運作。

零點的機率 \(p_0\) 是「任意的」，可以根據擬合數據的需要進行調整。你需要掌握兩種類型的 (a,b,1) 分配：

1. 零截斷分配 (Zero-Truncated, ZT)

在零截斷分配中，我們假設「零」是不可能的。也許我們只觀察那些已經至少提交過一次理賠的保戶。在這種情況下，\(p_0^T = 0\)。

計算方法：
1. 取得原始 (a,b,0) 的機率 \(p_k\)。
2. 將其除以 \((1 - p_0)\)。
\[ p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0} \]

2. 零修正分配 (Zero-Modified, ZM)

在零修正分配中，我們手動將 \(p_0^M\) 設定為一個特定值（我們稱之為 \(g_0\)）。當數據中「零過多」（零膨脹）時，這種情況很常見。

計算方法：
1. 算出零截斷機率 \(p_k^T\)。
2. 根據剩餘機率進行縮放： \( (1 - p_0^M) \)。
\[ p_k^M = \frac{1 - p_0^M}{1 - p_0} \times p_k \]

類比：獨家夜店

想像一家夜店（代表分配）：
- (a,b,0)： 入場規則對每個人都一樣，包括隊伍中的第一個人。
- 零截斷 (a,b,1)： 「零」的位置被絲絨繩攔住了。沒有人能處於「零理賠」的類別。
- 零修正 (a,b,1)： 針對「零理賠」的位置有一條特殊的 VIP 規則 (\(p_0^M\))，但排隊中的其他人 (\(k=1, 2, 3...\)) 都遵循標準的 (a,b,0) 規則，只是按比例縮放以適應整體機率。

你知道嗎？ (a,b,0) 類的每個成員在技術上都是 (a,b,1) 類的成員，但並非每個 (a,b,1) 成員都是 (a,b,0) 成員！這就像所有的正方形都是長方形，但並非所有的長方形都是正方形一樣。

逐步教學：解決 (a,b,k) 問題

如果你遇到詢問這些類別機率的問題，請按照以下步驟操作：

第一步：識別類別。 是 (a,b,0) 還是 (a,b,1)？觀察遞迴公式是從 \(k=1\) 還是 \(k=2\) 開始。
第二步：識別分配。 利用 a 的正負號（負數 = 二項，零 = 卜瓦松，正數 = 負二項）。
第三步：尋找參數。 使用給定的 \(p_k\) 值來解出 \(a\) 和 \(b\)。
第四步：針對 ZT 或 ZM 進行調整。 如果是 (a,b,1) 類，先算出「標準」的 \(p_0\)，然後套用修正公式求出題目要求的 \(p_k\)。

常見避坑指南

1. 混淆 a 和 b： 永遠記住公式是 \(a + b/k\)。如果弄反了，算出來的機率會錯得離譜！
2. 忘記 \(p_0\)： 在 (a,b,1) 類中，遞迴關係無法告訴你 \(p_1\) 相對於 \(p_0\) 的關係。你必須使用「修正」公式來連結 \(p_0\) 和 \(p_1\)。
3. 負二項參數 'r'： 記住，在 (a,b,0) 類的負二項分配中，\(b = (r-1)a\)。如果 \(r=1\)（幾何分配），則 \(b=0\)。

考試重點總結

1. (a,b,0) 公式： \( \frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k} \)，從 \(k=1\) 開始。
2. 'a' 的符號： \(a < 0\)（二項），\(a = 0\)（卜瓦松），\(a > 0\)（負二項）。
3. (a,b,1) 差異： 遞迴關係僅從 \(k=2\) 開始，\(p_0\) 是特殊的。
4. ZM 公式： \( p_k^M = \frac{1-p_0^M}{1-p_0} p_k \)。這將修正後的機率與標準機率連結起來。

如果一開始覺得困難，別擔心！你練習從一串機率中識別 "a" 和 "b" 的次數越多，就會變得越直覺。你一定可以做到的！