歡迎來到財務數學的世界！

你好！如果你正在閱讀這份筆記，恭喜你，你已經踏出了征服 Exam FM 的第一步。財務數學的核心其實只有一個概念：理解金錢的價值如何隨時間變動。把金錢想像成一種「生命體」——如果你把它種在合適的「土壤」（有利息的帳戶）裡，它就會長大！

在本章中，我們將探討金錢增長的兩種最基本方式：單利 (Simple Interest) 和 複利 (Compound Interest)。別擔心數學是不是你的強項；我們會一步步拆解，讓你為後續的考試建立穩固的基礎。

1. 累計函數 (Accumulation Function)：增長的「規則」

在深入研究利息類型之前，我們需要一種方式來描述增長。我們使用所謂的 累計函數，記作 \(a(t)\)。

想像你在時間 \(t = 0\) 時投資了 1 元。累計函數 \(a(t)\) 會告訴你這 1 元在未來任何時間 \(t\) 的價值是多少。
- 在零時刻，你的錢就值 1 元：\(a(0) = 1\)。
- 隨著時間推移，\(a(t)\) 通常會變大。

小貼士： 在 Exam FM 中，\(t\) 幾乎總是以 年 為單位。如果題目給你的時間是月，記得要進行換算（例如：6 個月 = 0.5 年）。

2. 單利 (Simple Interest)：一條直線

單利 是計算增長最基礎的方式。在這種模式下，你只會針對 原始投資額（本金）賺取利息。你不會賺取「利息上的利息」。

單利下的累計函數公式為：
\(a(t) = 1 + st\)

其中：
- \(s\) 是固定的年單利率。
- \(t\) 是時間（以年為單位）。

現實生活例子： 想像你借給朋友 100 元，利率為 5% 的單利。每年，你的朋友都欠你剛好 5 元（原始 100 元的 5%）。3 年後，他們欠你原始的 100 元外加 15 元利息。它以恆定、穩定的步伐增長——就像圖表上的一條直線。

重點總結：

單利是 線性 (linear) 的。它常應用於極短期的貸款，但在長期來看，它的增長速度遠不如複利。

3. 複利 (Compound Interest)：利滾利的威力

這就是金融的「魔力」所在！使用 複利 時，你不僅能從原始本金賺取利息，還能從 已經賺到的利息 中再賺取利息。這會產生一種滾雪球效應。

複利下的累計函數公式為：
\(a(t) = (1 + i)^t\)

其中：
- \(i\) 是有效年利率。
- \(t\) 是時間（以年為單位）。

類比： 把複利想像成從山坡上滾下來的雪球。剛開始它很小，但當它滾動時，黏到的雪（利息）成為了雪球的一部分，這又幫助它在持續滾動時黏上 更多 的雪。

你知道嗎？ 複利是 指數級 (exponential) 的。在圖表上，它是一條向上彎曲的曲線。錢存放的時間越長，那條曲線就越陡峭！

重點總結：

對於任何超過一年的期間 (\(t > 1\))，在相同利率下，複利的價值會高於單利。對於少於一年的期間 (\(t < 1\))，單利的價值反而會略高於複利！

4. 移動金錢：現值與終值

既然我們知道 1 元如何增長，現在來談談 實際金額。我們使用兩個主要術語：
1. 現值 (Present Value, PV)： 你現在（在 \(t = 0\) 時）擁有的金額。
2. 終值 (Future Value, FV)： 你在未來時間 \(t\) 將擁有的金額。

它們的關係很簡單：
\(FV = PV \times a(t)\)

如果你想回推（找出未來的款項在今天值多少錢），你只需要進行除法：
\(PV = \frac{FV}{a(t)}\)

折現因子 (Discount Factor, \(v\))： 在複利計算中，我們使用一個特殊的符號來將金錢回推一年：\(v = \frac{1}{1+i}\)。
因此，要找出 \(t\) 年後到期的款項的現值：\(PV = FV \times v^t\)。

5. 解決 TVM 問題：步驟法

當你在 Exam FM 看到文字題時，別慌張！請依照這些步驟：

第 1 步：畫出時間軸 (Time Diagram)。 這是精算師最好的朋友。畫一條水平線，標記時間點（0, 1, 2...），並將現金流（流入或流出的錢）放在正確的位置。

第 2 步：選擇一個「比較日期」（焦點日期, Focal Date）。 為了比較不同時間點的金錢，所有金額都必須移至 同一個時間點。你不能直接把今天的 100 元與五年後的 100 元相加。你必須先將它們移動到同一個日期！

第 3 步：建立價值等式 (Equation of Value)。 這其實就是一個數學句子，寫著：
流入值的總和 = 流出值的總和（在選定的日期）。

第 4 步：求解未知數。 使用你的計算機（TI-BA II Plus 是此考試的標準配備）來進行繁雜的運算。

6. 應避免的常見陷阱

即使是最優秀的學生也會犯這些錯誤——請務必小心！

- 混淆利息類型： 再三確認題目要求的是「單利」還是「複利」。它們需要完全不同的公式！
- 時間單位不匹配： 如果利率是 年 利率，但時間是 月，你必須除以 12 將月換算成年。
- 「直接加總」陷阱： 永遠不要直接加總發生在不同時間的金額。務必先使用累計函數將它們移動到共同日期再相加。

快速複習箱

單利： \(a(t) = 1 + st\) (增長是一條直線)
複利： \(a(t) = (1 + i)^t\) (增長是一條曲線)
現值： \(PV = FV / a(t)\) (將錢「移回」今天)
終值： \(FV = PV \times a(t)\) (將錢「移往」未來)

總結

你剛剛學會了 Exam FM 的核心邏輯！單利 每年根據本金產生等額的增長，而 複利 因為有利息滾利息的效應，增長速度會越來越快。透過使用 時間軸 和 價值等式，你可以解決本章中幾乎所有的題目。持續練習這些基礎——它們是你之後每一章都會用到的重要工具！