簡介：你的過往至關重要！
歡迎來到自回歸（Autoregressive, AR）模型的世界！如果你曾想過：「我今天很累，因為我昨晚熬夜了」，那麼你已經理解了 AR 模型的核心邏輯。在時間序列中，昨天發生的事通常會直接影響今天發生的事。
在本章中，我們將學習如何將這種直覺轉化為數學公式。如果這些數學看起來有點嚇人，別擔心——我們會把它拆解成小塊來學習。讀完這些筆記後，你會發現 AR 模型其實只是你早已熟悉的線性回歸的一個特殊版本！
1. 什麼是自回歸模型？
「自回歸」這個術語聽起來很高級，但讓我們看看它的詞根：Auto（自我）和 Regressive（回歸）。本質上，它就是一個變數對其自身過去時間點數值的回歸。
AR(1) 模型：基礎知識
最簡單的版本是 AR(1) 模型，其中當前值（\(x_t\)）僅取決於緊接在它之前的那個值（\(x_{t-1}\)）。
AR(1) 模型的公式為：
\(x_t = c + \phi x_{t-1} + \epsilon_t\)
公式組件拆解：
- \(x_t\)：時間 \(t\) 的序列值（例如：今天的股價）。
- \(c\)：常數（截距項）。
- \(\phi\) (phi)：自回歸係數。這告訴我們今天與昨天之間的「關聯」有多強。
- \(x_{t-1}\)：前一個時間點的序列值（昨天的股價）。
- \(\epsilon_t\)：白噪音（White noise）或誤差項。這代表了無法預測的隨機衝擊。
類比：想像一台恆溫器。如果昨天室溫是 70 度（\(x_{t-1}\)），那麼今天也很可能接近 70 度，再加上或減去一些基於天氣的隨機變化（\(\epsilon_t\)）。
快速回顧：誤差項（\(\epsilon_t\)）
我們假設誤差項遵循平均值為 0 且變異數固定（\(\sigma^2\)）的常態分佈。這就是我們模型中「不可預測」的部分。
2. 平穩性（Stationarity）：橡皮筋法則
為了使 AR(1) 模型能夠用於長期預測，它通常需要具備平穩性。這意味著其統計特性（如平均值和變異數）不會隨時間而改變。
AR(1) 平穩性的黃金法則：
當且僅當 \(|\phi| < 1\) 時，模型是平穩的。
為什麼這很重要？
- 若 \(|\phi| < 1\)：序列就像一條橡皮筋。如果隨機衝擊（\(\epsilon_t\)）將數值推開，序列最終會回彈至其長期平均值（均值）。
- 若 \(\phi = 1\)：這被稱為隨機漫步（Random Walk）。沒有任何力量將它「拉」回中心，每一個衝擊都會永遠留在系統中。
- 若 \(|\phi| > 1\)：序列會「爆炸」並趨向無窮大。我們在風險建模中可不希望看到這種情況！
你知道嗎？ 隨機漫步（\(\phi = 1\)）經常用來描述股價，因為今天的價格是預測明天價格的最佳依據，而期間的變化則是完全隨機的。
3. AR(1) 模型的關鍵統計量
當你處理平穩的 AR(1) 模型（\(|\phi| < 1\)）時，考試中有三個公式你必須熟記：
1. 平均值（長期平均）：
\(\mu = \frac{c}{1 - \phi}\)
常見錯誤：誤以為平均值就是 \(c\)。並不是！你必須除以 \((1 - \phi)\)。
2. 變異數：
\(Var(x_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2}\)
註：\(\sigma^2\) 是誤差項的變異數。
3. 自相關係數（ACF）：
\(x_t\) 與 \(x_{t-k}\)（\(k\) 為滯後步數）之間的相關性為：
\(\rho_k = \phi^k\)
這意味著隨著時間間隔（\(k\)）增加，相關性會呈指數級衰減。
重點總結： 在 AR(1) 模型中，過去的影響會隨時間消退，但（從數學上講）它永遠不會真正歸零。
4. 進階：AR(p) 模型
有時候，只有昨天的資訊是不夠的。也許過去 3 天的資訊都很重要！這就是 AR(p) 模型，其中 \(p\) 是我們納入的「滯後（lags）」期數。
AR(p) 方程式：
\(x_t = c + \phi_1 x_{t-1} + \phi_2 x_{t-2} + ... + \phi_p x_{t-p} + \epsilon_t\)
AR(p) 的平穩性：
這比 AR(1) 複雜得多。雖然「\(\phi\) 係數之和大於 1」是一個有用的經驗法則，但正式的要求涉及「特徵方程式的根」必須位於單位圓之外。對於 SRM 考試，請記住，所有 \(\phi\) 係數都必須足夠小，以確保該過程不會爆炸。
5. 識別 AR 模型：PACF 技巧
我們如何判斷數據集是 AR 模型還是其他模型（例如 MA 模型）？我們查看兩個圖表：
- ACF（自相關函數）： 對於 AR 模型，ACF 呈現拖尾（tails off）現象（逐漸減少）。
- PACF（偏自相關函數）： 這是 AR 模型的「魔法」工具。PACF 在第 \(p\) 階滯後後會截尾（cuts off）。
記憶小撇步：
AR 模型 = PACF 截尾。（聯想 "AP" 就如同進階先修課程一樣好記）。
如果 PACF 有 2 條顯著的長條圖，然後降至零，這很可能是一個 AR(2) 模型。
6. 使用 AR 模型進行預測
使用 AR 模型預測未來是一個循序漸進的過程。要找出下一個數值，我們只需代入最近已知的數值即可。
分步範例 (AR(1))：
假設 \(x_t = 5 + 0.5 x_{t-1} + \epsilon_t\)，今天的值 (\(x_t\)) 為 10。
1. 預測 \(t+1\)： 由於我們不知道未來的誤差（\(\epsilon_{t+1}\)），我們假設它為 0。
\(\hat{x}_{t+1} = 5 + 0.5(10) = 10\)
2. 預測 \(t+2\)： 使用你對 \(t+1\) 的預測值作為新的輸入。
\(\hat{x}_{t+2} = 5 + 0.5(10) = 10\)
註：在這個特定範例中，預測值保持在 10，因為 10 正是長期平均值（\(5 / (1 - 0.5) = 10\)）。如果初始值不同，預測值會緩慢地向 10 漂移。
7. 總結與關鍵重點
別讓符號嚇到你！以下是考試中絕對要記住的內容：
- AR(1) 公式： \(x_t = c + \phi x_{t-1} + \epsilon_t\)。
- 平穩性： 必須滿足 \(|\phi| < 1\)。如果 \(\phi = 1\)，則是非平穩的隨機漫步。
- 平均值： \(\mu = c / (1 - \phi)\)。
- 識別： AR 模型的 ACF 呈拖尾，而 PACF 在滯後 \(p\) 處截尾。
- 預測： 只需將之前的值代入公式，並將誤差項設為零。
最後的鼓勵： AR 模型幾乎是時間序列中所有內容的「基石」。先把 AR(1) 的公式搞定，這一章剩下的內容就會迎刃而解。你可以做到的！