簡介：超越「標準」模型

歡迎來到統計的世界！如果你曾經花時間鑽研統計學，想必對普通最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 回歸模型並不陌生。它是預測模型中的「家常便飯」。然而，在精算科學的真實世界裡——我們處理的是保險理賠、事故發生頻率以及死亡率——OLS 往往顯得力不從心。

在本章中，我們將探討為什麼有時需要拋棄僵化的 OLS 模型，轉而採用更靈活的廣義線性模型 (Generalized Linear Model, GLM)。我們會深入了解區分兩者的特定假設。如果起初覺得這些概念有些抽象，請不用擔心；一旦你看懂了其中的規律，一切都會豁然開朗！

1. 起點：OLS 的假設

在了解 GLM 有何不同之前，我們必須先回顧 OLS 對數據的要求。你可以運用 LINE 這個記憶口訣來記住 OLS 的核心假設：

L – Linearity (線性)：預測變數與回應變數之間的關係呈現直線關係。
I – Independence (獨立性)：觀測值（數據點）之間互不相關。
N – Normality (常態性)：誤差項（殘差）遵循常態分佈 (Normal/Gaussian distribution)。
E – Equal Variance (等變異數性)：誤差的變異數維持恆定（這是一個專業術語，稱為同質變異性 (homoscedasticity)）。

類比：想像 OLS 就像一件標準「M 號」的 T 恤。它能讓大多數人穿起來還算合身，但如果你特別高或特別矮，穿起來就會很奇怪。OLS 非常適合「常態」的數據，但保險數據往往比較「古怪」。

重點總結：

OLS 假設你的目標變數是連續的，數值可正可負，且無論預測值為何，其變異程度（變異數）都保持一致。

2. 為什麼 OLS 在精算工作中會失敗？

在 SRM 考試的「線性模型」章節中，你會發現保險數據經常違反 OLS 的規則。考慮以下兩個常見情境：

1. 理賠件數：事故發生次數不可能為 -2。OLS 可能會預測出負數，這完全不合理！此外，件數是離散的整數（0, 1, 2...），而非連續值。
2. 理賠金額：大型保險理賠（例如房子燒毀）的變異數通常遠高於小型理賠（例如擋風玻璃破裂）。OLS 假設兩者的變異數相同，這通常是錯誤的。

3. GLM 的解決方案：靈活的框架

廣義線性模型 (GLM) 放寬了 OLS 的嚴格限制。GLM 不再強迫數據塞進「常態」的框框裡，而是由三個特定部分組成：

A. 隨機成分 (Random Component - 分佈)

在 OLS 中，我們假設回應變數 \(Y\) 遵循常態分佈。在 GLM 中，我們假設 \(Y\) 遵循指數族分佈 (Exponential Family)。這個家族包含：
- 常態分佈 (Normal)（用於標準的連續數據）
- 卜瓦松分佈 (Poisson)（用於計算事件發生的次數）
- 二項分佈 (Binomial)（用於是/否的二元結果）
- 伽瑪分佈/反高斯分佈 (Gamma/Inverse Gaussian)（用於正值且偏態的保險理賠金額）

B. 系統成分 (Systematic Component - 線性預測值)

這部分看起來很眼熟！它就是解釋變數 (\(X\)) 與其係數 (\(\beta\)) 的組合。我們稱之為 eta (\(\eta\))：
\(\eta = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ... + \beta_p X_p\)

C. 連結函數 (Link Function)

這是連接兩者的「橋樑」。它將我們數據的平均值 (\(\mu\)) 與線性預測值 (\(\eta\)) 連接起來。
公式如下：\(g(\mu) = \eta\)。

在 OLS 中，連結函數是「恆等 (identity)」，意味著我們假設 \(\mu = \eta\)。在 GLM 中，我們可以使用「對數 (Log)」連結 (\(ln(\mu) = \eta\)) 來確保我們的預測結果保持為正數！

你知道嗎？

OLS 其實就是 GLM 的一種特殊形式！如果你選擇常態分佈和恆等連結函數，你的 GLM 就會變成 OLS 模型。

4. OLS 與 GLM：並排比較

讓我們拆解它們在假設上的主要差異，讓你能在考試中一眼辨識出來：

1. 回應變數的分佈
- OLS：必須是常態分佈。
- GLM：可以是指數族中的任何分佈（卜瓦松、二項、伽瑪等）。

2. 變異數的關係
- OLS：變異數是恆定的，且不依賴於平均值（同質變異性）。
- GLM：變異數是平均值的函數。例如，在卜瓦松分佈中，隨著平均值增加，變異數也會增加。這對於保險數據來說要真實得多！

3. 關係轉換
- OLS：假設 \(\mu = \beta X\)（直接的線性關係）。
- GLM：假設 \(g(\mu) = \beta X\)。連結函數 \(g(.)\) 允許關係呈現非線性，同時保持參數的線性。

快速複習：常見錯誤

- 不要說 GLM 假設數據是非線性的。其參數 (\(\beta\)) 仍然是線性的！是因為與平均值的連結方式可以是線性的。
- 不要假設 GLM 的殘差必須是常態的。我們關心的是回應變數的分佈，而不是像 OLS 那樣只看「誤差」。

5. 考試重點總結

當你參加 SRM 考試時，請記住 GLM 與 OLS 假設的這三大支柱：

1. 靈活性：GLM 允許使用非常態分佈（指數族）。
2. 變異數非恆定：GLM 允許變異數隨著平均值改變（為平均值的函數）。
3. 連結函數：GLM 使用連結函數將平均值與線性預測值掛鉤，這有助於將預測值保持在有效範圍內（例如確保理賠件數不為負）。

鼓勵的話：如果連結函數背後的數學看起來很沉重，只需記住其目的：我們只是在尋找一種方法，確保模型的「數學邏輯」能與我們研究數據的「現實情況」相符。你一定能搞定的！

重點總結：

GLM 相對於 OLS 的主要優勢在於，它移除了常態性與恆定變異數的「緊身衣」，使我們能夠更準確地對現實世界的風險進行建模。