Integration (Math III)：練習題

曲線 \( y = x^2 \) と \( x \) 軸、および直線 \( x = 1 \) と \( x = 2 \) で囲まれた部分の面積を求めなさい。

曲線 \( y = \frac{1}{x} \) (\( 1 \le x \le e \)) と \( x \) 軸、および直線 \( x = 1, x = e \) で囲まれた部分を、\( x \) 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

曲線 \( y = e^x \) と2本の接線 \( y = ex \) および \( y = 1 \) で囲まれた部分の面積を求めなさい。

曲線 \( y = e^{-x} \) と \( x \) 軸、\( y \) 軸、および直線 \( x = 1 \) で囲まれた部分の面積を求めなさい。

放物線 \( y = 4x - x^2 \) と直線 \( y = x \) で囲まれた部分が、直線 \( y = x \) の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。なお、回転軸を \( u \) 軸とし、垂直方向を \( v \) としたとき、\( V = \pi \int v^2 du \) で計算できる。

曲線 \( y = xe^x \) と \( x \) 軸、および直線 \( x = 1 \) で囲まれた部分の面積を求めなさい。

昲煢 \( y = \frac{1}{x} \) と \( x \) 興、\( x = 1 \)、\( x = e \) で嘲ひやけ嘡剡を \( x \) 興とひやめと1嘢舒してでいら嘢舒䌲と䌲煢を戡めつさい。

曲線 \( y = √{x} \) と直線 \( y = x \) で囲まれた部分を \( x \) 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = x + 2 \) で囲まれた部分の面積を求めなさい。

曲線 \( y = \sin x \) (\( 0 \le x \le \pi \)) と \( x \) 軸で囲まれた部分の面積を、直線 \( x = k \) が2等分するとき、\( k \) の値を求めなさい。