2023 DSE 數學 單元二 (代數與微積分) 答案詳解與評分準則

設 \((1+ax)^n = 1 + \binom{n}{1}(ax) + \binom{n}{2}(ax)^2 + \binom{n}{3}(ax)^3 + \dots\)。已知 \(x\) 的係數為 \(-16\)，得 \(na = -16\) ... (1)。已知 \(x^2\) 的係數為 \(120\)，得 \(\frac{n(n-1)}{2} a^2 = 120\) ... (2)。由 (1) 可得 \(a = -\frac{16}{n}\)。代入 (2)，得 \(\frac{n(n-1)}{2} \left(-\frac{16}{n}\right)^2 = 120\)，化簡為 \(\frac{128(n-1)}{n} = 120\)。解此方程得 \(128n - 128 = 120n \implies 8n = 128 \implies n = 16\)。將 \(n = 16\) 代回 (1)，得 \(a = -1\)。因此，\(x^3\) 的係數為 \(\binom{n}{3} a^3 = \binom{16}{3} (-1)^3 = -560\)。

設方程 \(na = -16\) 及 \(\frac{n(n-1)a^2}{2} = 120\) 得 1M；解關於 \(n\) 的分式方程得 1M；求得 \(n=16\) 得 1A；求得 \(a=-1\) 得 1A；嘗試求 \(\binom{n}{3}a^3\) 的值得 1M；求得最後答案 \(-560\) 得 1.25A。

設 \(f(x) = \sqrt{5-2x}\)。由第一原理，其導數為 \(\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{5-2(x+h)} - \sqrt{5-2x}}{h}\)。分子和分母同乘以共軛項 \(\sqrt{5-2(x+h)} + \sqrt{5-2x}\)，得 \(\lim_{h\to 0} \frac{(5-2x-2h) - (5-2x)}{h(\sqrt{5-2x-2h} + \sqrt{5-2x})} = \lim_{h\to 0} \frac{-2h}{h(\sqrt{5-2x-2h} + \sqrt{5-2x})}\)。消去 \(h\) 得 \(\lim_{h\to 0} \frac{-2}{\sqrt{5-2x-2h} + \sqrt{5-2x}}\)。當 \(h \to 0\) 時求極限，得 \(\frac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{5-2x}}\)。

使用導數的極限定義得 1M；乘以有理共軛項得 1M；展開並化簡分子至 \(-2h\) 得 1M；正確消去 \(h\) 得 1.25M；正確計算極限並寫出完整證明步驟與適當極限記號得 2A。

設 \(P(n)\) 為命題 \(\sum_{r=1}^n \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} = \frac{n}{2n+1}\)。當 \(n=1\) 時，\(\text{LHS} = \frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3}\) 及 \(\text{RHS} = \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}\)。由於 \(\text{LHS} = \text{RHS}\)，\(P(1)\) 成立。假設 \(P(k)\) 對某正整數 \(k\) 成立，即 \(\sum_{r=1}^k \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} = \frac{k}{2k+1}\)。當 \(n=k+1\) 時，\(\sum_{r=1}^{k+1} \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} = \sum_{r=1}^k \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\)。通分合倂，得 \(\frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2(k+1)+1}\)。因此，\(P(k+1)\) 成立。根據數學歸納法，對所有正整數 \(n\)，\(P(n)\) 皆成立。

證明當 \(n=1\) 時命題成立得 1M；寫出歸納假設得 1M；加入第 \((k+1)\) 項得 1M；代數因式分解與化簡得 2M；寫出歸納法結論得 1.25A。

(a) \(A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\)。(b) 設 \(P(n)\) 為命題 \(A^n = \begin{pmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & 1-2n \end{pmatrix}\)。當 \(n=1\) 時，\(\text{LHS} = A^1 = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) 及 \(\text{RHS} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)。由於 \(\text{LHS} = \text{RHS}\)，\(P(1)\) 成立。假設 \(P(k)\) 對某正整數 \(k\) 成立，即 \(A^k = \begin{pmatrix} 2k+1 & -4k \\ k & 1-2k \end{pmatrix}\)。當 \(n=k+1\) 時，\(A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 2k+1 & -4k \\ k & 1-2k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(2k+1)-4k & -4(2k+1)+4k \\ 3k+1-2k & -4k-(1-2k) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k+3 & -4k-4 \\ k+1 & -2k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(k+1)+1 & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1) \end{pmatrix}\)。因此，\(P(k+1)\) 成立。根據數學歸納法，對所有正整數 \(n\)，\(P(n)\) 皆成立。

求得 \(A^2\) 得 1.25A；證明當 \(n=1\) 時命題成立得 1M；寫出歸納假設得 1M；計算矩陣乘積 \(A^k A\) 得 1M；矩陣元化簡得 1M；寫出歸納法結論得 1A。

設 \(h\text{ cm}\) 為水深，\(r\text{ cm}\) 為水面半徑，及 \(V\text{ cm}^3\) 為時間 \(t\text{ s}\) 時容器內的水體積。由相似三角形，得 \(\frac{r}{h} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies r = \frac{h}{2}\)。水體積為 \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3\)。對 \(t\) 進行微分，得 \(\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}\)。代入 \(\frac{dV}{dt} = 3\pi\) 及 \(h = 4\)，得 \(3\pi = \frac{\pi}{4} (4)^2 \frac{dh}{dt} \implies 3\pi = 4\pi \frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = 0.75\text{ cm/s}\)。

利用相似三角形將 \(r\) 表示為 \(h\) 得 1.25M；將 \(V\) 表示為只含 \(h\) 的函數得 1M；利用鏈式法則對 \(t\) 微分得 2M；代入已知數值得 1M；求得 \(0.75\text{ cm/s}\) (連單位) 得 1A。

(a) 設 \(I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx\)。設代換 \(x = \pi - u\)，則 \(dx = -du\)。當 \(x = 0\) 時，\(u = \pi\)；當 \(x = \pi\) 時，\(u = 0\)。因此，\(I = \int_{\pi}^0 \frac{(\pi - u) \sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} (-du) = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1 + \cos^2 u} du = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx - I\)。從而得 \(2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx \implies I = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx\)。(b) 要計算該積分，設 \(t = \cos x\)，得 \(dt = -\sin x dx\)。當 \(x = 0\) 時，\(t = 1\)；當 \(x = \pi\) 時，\(t = -1\)。所以，\(\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = [\arctan t]_{-1}^1 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}\)。因此，\(I = \frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4}\)。

應用代換 \(x = \pi - u\) 得 1M；利用三角恆等式化簡得 1M；完成 (a) 的證明得 1A；利用代換 \(t = \cos x\) 得 1M；積分及極限計算得 1.25M；求得最後答案 \(\frac{\pi^2}{4}\) 得 1A。

(a) 方程組 \((E)\) 的增廣矩陣為 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & k & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}\)。執行行運算 \(R_2 \to R_2 - 2R_1\) 及 \(R_3 \to R_3 - R_1\) 得 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k-2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)。再執行 \(R_3 \to R_3 - R_2\) 得 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k-2 & 1 \\ 0 & 0 & 4-k & 0 \end{pmatrix}\)。若方程組有無限多個解，我們必須有 \(4-k = 0 \implies k = 4\)。(b) 當 \(k = 4\) 時，方程組化簡為 \(y + 2z = 1\) 及 \(x + y + z = 2\)。設 \(z = t\)，其中 \(t\) 為任意實數，可得 \(y = 1 - 2t\) 及 \(x = 2 - (1 - 2t) - t = 1 + t\)。因此，方程組的通解為 \(x = 1+t\)，\(y = 1-2t\)，\(z = t\)，其中 \(t\) 為任意實數。

寫出增廣矩陣得 1M；正確執行行運算至上三角形得 1M；求得 \(k = 4\) 得 1.25A；設定參數 \(z = t\) 得 1M；正確以 \(t\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 得 2A。

平行六面體的體積由 \(| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) |\) 給出。首先計算純量三重積：\(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & \lambda & 2 \end{pmatrix} = 1(-2 - 3\lambda) - 2(4 - 9) - 1(2\lambda + 3) = 5 - 5\lambda\)。由於體積為 \(15\)，我們設 \(|5 - 5\lambda| = 15 \implies |1 - \lambda| = 3\)。這產生兩個情況：\(1 - \lambda = 3 \implies \lambda = -2\)，或 \(1 - \lambda = -3 \implies \lambda = 4\)。因此，\(\lambda\) 的可能值為 \(-2\) 和 \(4\)。

將平行六面體的體積與純量三重積／行列式聯繫起來得 1M；正確展開行列式至 \(5-5\lambda\) 得 2M；建立絕對值方程得 1M；求得兩個正確答案得 2.25A (求得一個正確值得 1.25A，另一個得 1A)。

(a) 系統 \( (E) \) 有唯一解當且僅當 \( \Delta \neq 0 \)。
\( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a-1 \\ 2 & 2a & a \end{vmatrix} = 1(a - 2a^2 + 2a) - a(a^2 - 2a + 2) + 2a^2 - 2 \)
\( \Delta = -a^3 + 2a^2 + a - 2 = -(a-1)(a+1)(a-2) \)。
設 \( \Delta = 0 \) 得 \( a = 1, a = -1 \) 或 \( a = 2 \)。
故 \( (E) \) 在 \( a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1, 2\} \) 時有唯一解。

(b) (i) 當 \( a = 2 \) 時，增廣矩陣為：
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 4 & 2 & | & b \end{pmatrix} \)
行變換：\( R_2 \to R_2 - 2R_1, R_3 \to R_3 - 2R_1 \)：
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & -3 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & b-2 \end{pmatrix} \)。
若系統相容，則需 \( b - 2 = 0 \implies b = 2 \)。

(ii) 當 \( b = 2 \) 時，系統化為：
\( \begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 3y + z = 0 \end{cases} \)。
設 \( y = s \)，其中 \( s \in \mathbb{R} \)。
則 \( z = -3s \)。
由第一條方程，\( x = 1 - 2y - z = 1 - 2s - (-3s) = 1 + s \)。
因此，解為 \( \{ (1+s, s, -3s) : s \in \mathbb{R} \} \)。

(c) (i) 當 \( a = 1 \) 時，增廣矩陣為：
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 2 & 2 & 1 & | & b \end{pmatrix} \)
利用 \( R_2 \to R_2 - R_1, R_3 \to R_3 - 2R_1 \)：
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & b-2 \end{pmatrix} \)
再利用 \( R_3 \to R_3 - R_2 \)：
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & b-2 \end{pmatrix} \)。
若系統相容，必須有 \( b - 2 = 0 \implies b = 2 \)。

(ii) 當 \( b = 2 \) 時，系統 \( (F) \) 為：
\( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y = 1 \\ 2x + 2y + z + c(x-y) = 2 \end{cases} \)
由前兩條方程得 \( z = 0 \) 且 \( x + y = 1 \implies y = 1 - x \)。
代入第三條方程：
\( 2(1) + 0 + c(x - (1-x)) = 2 \implies c(2x - 1) = 0 \)。
若要系統有無限多個解，此關係式必須對任意的 \( x \in \mathbb{R} \) 成立。
因此 \( c = 0 \)。

(a) 求行列式：1M。設行列式為 0：1M。正確答案：1A。
(b)(i) 正確行變換：1M。正確 b 值：1A。
(b)(ii) 參數化變量：1M。正確 x, y, z 的解：2A。
(c)(i) a=1 時的行變換：1M。正確 b 值：1A。
(c)(ii) 代入關係式：1M。條件分析：1M。正確 c 值：1A。

(a) 設 \( P(n) \) 爲命題：\( \sin \theta + \sin 3\theta + \dots + \sin(2n-1)\theta = \frac{\sin^2 n\theta}{\sin\theta} \)。
當 \( n = 1 \) 時：
左方 \( = \sin\theta \)
右方 \( = \frac{\sin^2 \theta}{\sin\theta} = \sin\theta \)。
因爲 左方 = 右方，所以 \( P(1) \) 成立。

假設 \( P(k) \) 對某正整數 \( k \) 成立，即：
\( \sin \theta + \sin 3\theta +
\dots + \sin(2k-1)\theta = \frac{\sin^2 k\theta}{\sin\theta} \)。

當 \( n = k+1 \) 時：
左方
\( = \sin \theta + \sin 3\theta + \dots + \sin(2k-1)\theta + \sin(2k+1)\theta \)
\( = \frac{\sin^2 k\theta}{\sin\theta} + \sin(2k+1)\theta \) (按歸納假設)
\( = \frac{\sin^2 k\theta + \sin(2k+1)\theta \sin\theta}{\sin\theta} \)
使用積化和差公式 \( \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \):
\( = \frac{\frac{1-\cos 2k\theta}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2k\theta - \cos(2k+2)\theta)}{\sin\theta} \)
\( = \frac{1 - \cos(2k+2)\theta}{2\sin\theta} \)
\( = \frac{\sin^2(k+1)\theta}{\sin\theta} \) = 右方。
故 \( P(k+1) \) 成立。
根據數學歸納法，\( P(n) \) 對所有正整數 \( n \) 都成立。

(b) (i) 由 (a) 可得：
\( \sum_{r=1}^{n} \sin(2r-1)\theta = \frac{\sin^2 n\theta}{\sin\theta} \) 及 \( \sum_{r=1}^{n-1} \sin(2r-1)\theta = \frac{\sin^2 (n-1)\theta}{\sin\theta} \)。
兩式相減：
\( \frac{\sin^2 n\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin^2 (n-1)\theta}{\sin\theta} = \sin(2n-1)\theta \)。

(ii) 將 \( n = 3 \) 代入 (b)(i)，可得：
\( \frac{\sin^2 3\theta - \sin^2 2\theta}{\sin\theta} = \sin 5\theta \)。
因此，
\( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 3\theta - \sin^2 2\theta}{\sin\theta} d\theta = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin 5\theta d\theta \)
\( = \left[ -\frac{\cos 5\theta}{5} \right]_{\pi/6}^{\pi/3} \)
\( = -\frac{1}{5} \left( \cos\frac{5\pi}{3} - \cos\frac{5\pi}{6} \right) \)
\( = -\frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \)
\( = -\frac{1+\sqrt{3}}{10} \)。

(a) 證明 n=1 的情況：1M。寫出歸納假設：1M。寫下歸納步驟左方：1M。使用三角恆等式簡化：1M。得出結論：1A。
(b)(i) 利用求和表示法辨別各項：1M。完成證明：1A。
(b)(ii) 應用 (b)(i) 簡化被積函數：1M。進行正確積分：1M。帶入邊界值計算：2M。正確最終答案：1A。

(a) 首先使用商法則求導：
\( f'(x) = \frac{(2x-3)(x-1) - (x^2-3x+6)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \)。
設 \( f'(x) = 0 \implies x = 3 \) 或 \( x = -1 \)。
我們亦求出二階導數以檢驗轉折點：
\( f(x) = x - 2 + \frac{4}{x-1} \implies f'(x) = 1 - \frac{4}{(x-1)^2} \implies f''(x) = \frac{8}{(x-1)^3} \)。
當 \( x = 3 \) 時，\( f''(3) = 1 > 0 \)，所以 \( (3, f(3)) = (3, 3) \) 為極小值點。
當 \( x = -1 \) 時，\( f''(-1) = -1 < 0 \)，所以 \( (-1, f(-1)) = (-1, -5) \) 為極大值點。

(b) 由於 \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty \)，故垂直漸近線為 \( x = 1 \)。
經長除法，\( f(x) = x - 2 + \frac{4}{x-1} \)。
因 \( \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (x-2)) = 0 \)，故斜漸近線為 \( y = x - 2 \)。

(c) 若 \( C \) 呈上凹，需要 \( f''(x) > 0 \)：
\( \frac{8}{(x-1)^3} > 0 \implies x > 1 \)。
若 \( C \) 呈下凹，需要 \( f''(x) < 0 \)：
\( \frac{8}{(x-1)^3} < 0 \implies x < 1 \)。

(d) 圖形描繪應清晰顯示：
1. 垂直漸近線 \( x = 1 \) 及斜漸近線 \( y = x - 2 \)。
2. 轉折點 \( (-1, -5) \) 及 \( (3, 3) \)。
3. 正確的凹性（在 \( x < 1 \) 呈下凹，在 \( x > 1 \) 呈上凹）。

(a) 求 f'(x)：1M。設 f'(x)=0：1M。確認轉折點類型：1M。正確極大與極小值點坐標：1A。
(b) 正確垂直漸近線：1A。求斜漸近線：1M。正確斜漸近線：1A。
(c) 正確上凹範圍：1A。正確下凹範圍：1A。
(d) 繪出漸近線：1A。繪出轉折點：1A。曲線形狀大致正確：1A。

(a) 首先求向量：
\( \overrightarrow{AB} = (3-2)\mathbf{i} + (-1-1)\mathbf{j} + (2-(-1))\mathbf{k} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \)。
\( \overrightarrow{AC} = (1-2)\mathbf{i} + (2-1)\mathbf{j} + (k-(-1))\mathbf{k} = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + (k+1)\mathbf{k} \)。
計算外積：
\( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & k+1 \end{vmatrix} \)
\( = \mathbf{i} [-2(k+1) - 3] - \mathbf{j} [1(k+1) - (-3)] + \mathbf{k} [1(1) - 2] \)
\( = (-2k-5)\mathbf{i} - (k+4)\mathbf{j} - \mathbf{k} \)。

(b) (i) 三角形 \( ABC \) 面積為 \( \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \frac{3\sqrt{6}}{2} \implies \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \|^2 = 54 \)。
\( (-2k-5)^2 + (k+4)^2 + (-1)^2 = 54 \)
\( (4k^2 + 20k + 25) + (k^2 + 8k + 16) + 1 = 54 \)
\( 5k^2 + 28k + 42 = 54 \implies 5k^2 + 28k - 12 = 0 \)
\( (5k-2)(k+6) = 0 \implies k = \frac{2}{5} \) 或 \( k = -6 \)。

(ii) 整數 \( k \) 的值為 \( -6 \)。
將 \( k = -6 \) 代入 \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)：
\( \mathbf{n} = (-2(-6)-5)\mathbf{i} - (-6+4)\mathbf{j} - \mathbf{k} = 7\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \)。
此為平面 \( \Pi \) 的法向量。
使用點 \( A(2, 1, -1) \)，平面 \( \Pi \) 的方程為：
\( 7(x-2) + 2(y-1) - 1(z+1) = 0 \implies 7x + 2y - z = 17 \)。

(c) (i) 首先，求向量 \( \overrightarrow{AD} \)：
\( \overrightarrow{AD} = (1-2)\mathbf{i} + (-1-1)\mathbf{j} + (4-(-1))\mathbf{k} = -\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k} \)。
四面體 \( ABCD \) 的體積 \( V \) 由以下公式給出：
\( V = \frac{1}{6} | (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} | \)。
當 \( k = -6 \) 時：
\( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (7\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) \cdot (-\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) = -7 - 4 - 5 = -16 \)。
因此，\( V = \frac{|-16|}{6} = \frac{8}{3} \)。

(ii) 由 \( D(1, -1, 4) \) 到平面 \( 7x + 2y - z - 17 = 0 \) 的最短距離 \( d \) 為：
\( d = \frac{|7(1) + 2(-1) - 4 - 17|}{\sqrt{7^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-16|}{\sqrt{54}} = \frac{16}{3\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{9} \)。
（或：\( d = \frac{|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|}{\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|} = \frac{16}{3\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{9} \)）。

(a) 求向量 AB 及 AC：1M。正確行列式各分量：1M。正確外積：1A。
(b)(i) 建立面積方程：1M。化簡為 k 的二次方程：1M。正確 k 值：2A（每個值1A）。
(b)(ii) 求法向量：1M。正確平面方程：1A。
(c)(i) 求向量 AD：1M。正確四面體體積：1A。
(c)(ii) 應用距離公式：1M。正確化簡根式後的距離：1A。