若 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為二次方程 \(2x^2 - 5x + 1 = 0\) 的根，求 \(\alpha^3 + \beta^3\) 的值。
- A.\(\frac{95}{8}\)
- B.\(\frac{105}{8}\)
- C.\(\frac{125}{8}\)
- D.\(\frac{155}{8}\)
解題
由二次方程可得：
\(\alpha + \beta = \frac{5}{2}\)
\(\alpha\beta = \frac{1}{2}\)
利用恆等式：
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta]\)
代入數值：
\(\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{2} \left[ \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right) \right]\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{2} \left[ \frac{25}{4} - \frac{6}{4} \right]\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{2} \left( \frac{19}{4} \right) = \frac{95}{8}\)。
設 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。當 \(P(x)\) 分別除以 \(x-1\) 及 \(x+2\) 時，餘數分別為 \(-6\) 及 \(-24\)。求當 \(P(x)\) 除以 \(2x-1\) 時的餘數。
- A.\(-\frac{13}{2}\)
- B.\(-\frac{11}{2}\)
- C.\(-7\)
- D.\(-5\)
解題
根據餘數定理，\(P(1) = -6\) 及 \(P(-2) = -24\)。
\(2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 = -6 \Rightarrow a + b = -2\) --- (1)
\(2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 6 = -24 \Rightarrow -16 + 4a - 2b - 6 = -24 \Rightarrow 4a - 2b = -2 \Rightarrow 2a - b = -1\) --- (2)
聯立解 (1) 及 (2)：
\((a+b) + (2a-b) = -2 - 1 \Rightarrow 3a = -3 \Rightarrow a = -1\)
將 \(a = -1\) 代入 (1)： \(-1 + b = -2 \Rightarrow b = -1\)
因此，\(P(x) = 2x^3 - x^2 - x - 6\)。
當 \(P(x)\) 除以 \(2x-1\) 時，餘數為：
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) - 6\)
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{13}{2}\)。
解方程 \(3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)。
- A.\(x = 1\) 或 \(x = -1\)
- B.\(x = 3\) 或 \(x = \frac{1}{3}\)
- C.\(x = 1\) 或 \(x = 3\)
- D.只有 \(x = -1\)
解題
該方程可重寫為：
\(3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)
設 \(y = 3^x\)，方程變為：
\(3y^2 - 10y + 3 = 0\)
\((3y - 1)(y - 3) = 0\)
\(y = \frac{1}{3}\) 或 \(y = 3\)
由於 \(y = 3^x\)：
\(3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1\)
或
\(3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1\)
因此，\(x = 1\) 或 \(x = -1\)。
已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。若 \(x\) 增加 \(20\%\) 且 \(y\) 減少 \(19\%\)，求 \(z\) 的百分變化。
- A.增加 \(60\%\)
- B.增加 \(44\%\)
- C.減少 \(40\%\)
- D.增加 \(80\%\)
解題
設 \(z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}}\)，其中 \(k\) 為非零常數。
設新值為 \(x' = 1.2x\) 且 \(y' = 0.81y\)。
則 \(z\) 的新值為：
\(z' = \frac{k (1.2x)^2}{\sqrt{0.81y}} = \frac{k (1.44 x^2)}{0.9 \sqrt{y}} = 1.6 \left( \frac{k x^2}{\sqrt{y}} \right) = 1.6z\)
因此，\(z\) 的百分變化為：
\(\frac{1.6z - z}{z} \times 100\% = 60\%\) (即增加 \(60\%\))。
設 \(S_n\) 為一等差數列首 \(n\) 項之和。若對所有正整數 \(n\)， \(S_n = 2n^2 + 5n\)，求該數列的第 10 項。
- A.\(43\)
- B.\(250\)
- C.\(47\)
- D.\(39\)
解題
該數列的第 10 項 \(T_{10}\) 為：
\(T_{10} = S_{10} - S_9\)
計算 \(S_{10}\)：
\(S_{10} = 2(10)^2 + 5(10) = 2(100) + 50 = 250\)
計算 \(S_9\)：
\(S_9 = 2(9)^2 + 5(9) = 2(81) + 45 = 162 + 45 = 207\)
計算差值：
\(T_{10} = 250 - 207 = 43\)。
求 \(k\) 的取值範圍，使得不等式 \(x^2 + kx + (k+3) > 0\) 對所有實數 \(x\) 均成立。
- A.\(-2 < k < 6\)
- B.\(k < -2\) 或 \(k > 6\)
- C.\(-6 < k < 2\)
- D.\(k < -6\) 或 \(k > 2\)
解題
若二次式 \(x^2 + kx + (k+3)\) 對所有實數 \(x\) 均恆大於零，則 \(x^2\) 的係數必須為正（此處 \(1 > 0\) 已滿足），且其判別式 \(\Delta\) 必須恆小於零。
\(\Delta = k^2 - 4(1)(k+3) < 0\)
\(k^2 - 4k - 12 < 0\)
\((k - 6)(k + 2) < 0\)
因此，我們得到：
\(-2 < k < 6\)。
化簡 \(\frac{\sin(180^\circ - \theta)\cos(90^\circ + \theta)}{\tan(360^\circ - \theta)}\)。
- A.\(\sin\theta\cos\theta\)
- B.\(-\sin\theta\cos\theta\)
- C.\(\sin^2\theta\)
- D.\(-\cos^2\theta\)
解題
利用誘導公式：
1) \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\)
2) \(\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta\)
3) \(\tan(360^\circ - \theta) = -\tan\theta = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
代入原式：
\(\frac{\sin\theta \cdot (-\sin\theta)}{-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{-\sin^2\theta}{-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \sin^2\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \sin\theta\cos\theta\)。
圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0\)，其中 \(k\) 為常數。若直線 \(3x - 4y + 5 = 0\) 與 \(C\) 相切，求 \(k\) 的值。
- A.\(-11\)
- B.\(11\)
- C.\(-16\)
- D.\(16\)
解題
求圓心 \((h, g)\)：
\(h = -\frac{-6}{2} = 3\)
\(g = -\frac{8}{2} = -4\)
所以圓心為 \((3, -4)\)。
圓的半徑 \(r\) 為：
\(r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - k} = \sqrt{25 - k}\)
由於直線 \(3x - 4y + 5 = 0\) 與 \(C\) 相切，由圓心 \((3, -4)\) 到該直線的垂直距離等於半徑 \(r\)：
\(\frac{|3(3) - 4(-4) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r\)
\(\frac{|9 + 16 + 5|}{\sqrt{25}} = r\)
\(\frac{30}{5} = r \Rightarrow r = 6\)
解 \(k\)：
\(\sqrt{25 - k} = 6\)
\(25 - k = 36\)
\(k = -11\)。
欲從 6 名男生及 4 名女生中選出一個 5 人的委員會。若該委員會必須包含最少 2 名女生，問共可組成多少個不同的委員會？
- A.186
- B.246
- C.120
- D.192
解題
我們可以考慮三個互斥的情況來計算不同委員會的數量：
情況 1：剛好選出 2 名女生及 3 名男生。
選法數目 = \(C^4_2 \times C^6_3 = 6 \times 20 = 120\)
情況 2：剛好選出 3 名女生及 2 名男生。
選法數目 = \(C^4_3 \times C^6_2 = 4 \times 15 = 60\)
情況 3：剛好選出 4 名女生及 1 名男生。
選法數目 = \(C^4_4 \times C^6_1 = 1 \times 6 = 6\)
總共的選法數目 = \(120 + 60 + 6 = 186\)。
另解（間接法）：
從 10 人中任意選出 5 人的總組合數為 \(C^{10}_5 = 252\)。
減去不符合要求的情況：
- 沒有女生（5 名男生）： \(C^4_0 \times C^6_5 = 1 \times 6 = 6\)
- 剛好 1 名女生（4 名男生）： \(C^4_1 \times C^6_4 = 4 \times 15 = 60\)
總方法數 = \(252 - (6 + 60) = 186\)。
一組 10 個數據的平均值及標準差分別為 20 及 4。若在該組數據中加入一個新數據 20，求新一組數據的的平均值及標準差。
- A.平均值 = \(20\)，標準差 = \(4\sqrt{\frac{10}{11}}\)
- B.平均值 = \(20\)，標準差 = \(4\)
- C.平均值 = \(20\)，標準差 = \(\sqrt{\frac{10}{11}}\)
- D.平均值 = \(22\)，標準差 = \(4\sqrt{\frac{10}{11}}\)
解題
設原來的 10 個數據為 \(x_1, x_2, \dots, x_{10}\)。
原平均值 \(\mu = 20\)。
原數據總和 \(\sum_{i=1}^{10} x_i = 10 \times 20 = 200\)。
當加入一個新數據 20 後，新數據總和為 \(200 + 20 = 220\)，數據個數變為 11。
新平均值 \(\mu' = \frac{220}{11} = 20\)。
原標準差 \(\sigma = 4 \Rightarrow \text{方差 } \sigma^2 = 16\)。
利用公式 \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - \mu^2\)：
\(16 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 20^2 \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{10} = 416 \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 4160\)。
當加入新數據 20 後，新的平方和為：
\(\sum_{i=1}^{11} x_i^2 = 4160 + 20^2 = 4160 + 400 = 4560\)。
新方差為：
\(\sigma'^2 = \frac{4560}{11} - \mu'^2 = \frac{4560}{11} - 20^2 = \frac{4560}{11} - 400 = \frac{4560 - 4400}{11} = \frac{160}{11}\)。
因此，新標準差為：
\(\sigma' = \sqrt{\frac{160}{11}} = \sqrt{\frac{16 \times 10}{11}} = 4\sqrt{\frac{10}{11}}\)。
設 \(p(x) = ax^3 + bx^2 - 11x - 6\)。若 \(x-2\) 及 \(2x+1\) 為 \(p(x)\) 的因式，求 \(p(x)\) 除以 \(x-1\) 的餘數。
- A.-12
- B.-6
- C.6
- D.12
解題
由於 \(x-2\) 是 \(p(x)\) 的因式，可得 \(p(2) = 0\)：
\(a(2)^3 + b(2)^2 - 11(2) - 6 = 0 \Rightarrow 8a + 4b = 28 \Rightarrow 2a + b = 7\) --- (1)
由於 \(2x+1\) 是 \(p(x)\) 的因式，可得 \(p(-1/2) = 0\)：
\(a(-1/2)^3 + b(-1/2)^2 - 11(-1/2) - 6 = 0 \Rightarrow -\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{11}{2} - 6 = 0 \Rightarrow -a + 2b = 4\) --- (2)
由 (2) 可得 \(a = 2b - 4\)。代入 (1) 可得：
\(2(2b-4) + b = 7 \Rightarrow 5b = 15 \Rightarrow b = 3\)。
因此 \(a = 2(3) - 4 = 2\)。
所以，\(p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6\)。
根據餘數定理，\(p(x)\) 除以 \(x-1\) 的餘數為：
\(p(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 11(1) - 6 = 2 + 3 - 11 - 6 = -12\)。
評分準則
答對 A 則得 1 分。其餘錯誤選項不設部分分數。
若 \(\alpha\) 及 \(\beta\)（其中 \(\alpha \neq \beta\)）為二次方程 \(x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 5k = 0\) 的實根，且 \(\alpha^2 + \beta^2 = 28\)，求 \(k\) 的值。
- A.3
- B.-4
- C.3 或 -4
- D.-3 或 4
解題
對於二次方程 \(x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 5k = 0\)：
兩根之和：\(\alpha + \beta = 2(k-1)\)
兩根之積：\(\alpha\beta = k^2 - 5k\)
已知 \(\alpha^2 + \beta^2 = 28\)：
\((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 28\)
\([2(k-1)]^2 - 2(k^2 - 5k) = 28\)
\(4(k^2 - 2k + 1) - 2k^2 + 10k = 28\)
\(2k^2 + 2k + 4 = 28\)
\(2k^2 + 2k - 24 = 0\)
\(k^2 + k - 12 = 0\)
\((k+4)(k-3) = 0\)
因此，\(k = 3\) 或 \(k = -4\)。
由於 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為相異實根，判別式 \(\Delta > 0\)：
\(\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4(1)(k^2 - 5k) = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 + 20k = 12k + 4 > 0 \Rightarrow k > -\frac{1}{3}\)。
因此，\(k = -4\) 必須被捨去，因為它會導致虛根。唯一合法的解為 \(k = 3\)。
評分準則
答對 A 則得 1 分。捨去 \(k = -4\) 是排除選項 C 的關鍵步驟。
若 \(\log_9 x - \log_3 y = 1\)，則下列何者必為正確？
- A.\(x = 3y^2\)
- B.\(x = 9y^2\)
- C.\(x^2 = 3y\)
- D.\(x^2 = 9y\)
解題
使用換底公式：
\(\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} = \log_3 \sqrt{x}\)。
將其代回原方程中：
\(\log_3 \sqrt{x} - \log_3 y = 1\)
\(\log_3 \left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right) = 1\)
\(\frac{\sqrt{x}}{y} = 3^1 = 3\)
\(\sqrt{x} = 3y\)
將方程兩邊平方，可得：
\(x = 9y^2\)。
某一等比數列的第 3 項及第 6 項分別為 12 及 96。求該數列的首 10 項之和。
- A.1533
- B.3069
- C.3072
- D.6138
解題
設首項為 \(a\)，公比為 \(r\)。
\(T_3 = a r^2 = 12\) --- (1)
\(T_6 = a r^5 = 96\) --- (2)
將 (2) 除以 (1)：
\(\frac{a r^5}{a r^2} = \frac{96}{12} \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2\)。
將 \(r = 2\) 代入 (1)：
\(a(2)^2 = 12 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3\)。
利用等比數列求和公式：
\(S_{10} = \frac{a(r^{10} - 1)}{r - 1} = \frac{3(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 3(1024 - 1) = 3069\)。
求滿足聯立不等式 \(\frac{3x - 5}{2} < 2x + 1\) 及 \(4x - 7 \le 2(x + 3)\) 的非負整數 \(x\) 的數目。
- A.6
- B.7
- C.13
- D.14
解題
解第一個不等式：
\(\frac{3x - 5}{2} < 2x + 1 \Rightarrow 3x - 5 < 4x + 2 \Rightarrow x > -7\)。
解第二個不等式：
\(4x - 7 \le 2(x + 3) \Rightarrow 4x - 7 \le 2x + 6 \Rightarrow 2x \le 13 \Rightarrow x \le 6.5\)。
結合兩個不等式的解，可得：
\(-7 < x \le 6.5\)。
由於 \(x\) 必須為非負整數，\(x\) 可以是 \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) 的任何整數值。
因此，恰有 7 個非負整數滿足該聯立不等式。
評分準則
答對 B 則得 1 分。注意，0 是非負整數，故必須包括在內。
圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x + 6y - 11 = 0\)。下列何者為真？
I. \(C\) 的圓心坐標為 \((4, -3)\)。
II. \(C\) 的半徑為 6。
III. 點 \((1, 2)\) 位於 \(C\) 的內部。
- A.只有 I 及 II
- B.只有 I 及 III
- C.只有 II 及 III
- D.I、II 及 III
解題
已知圓 \(C: x^2 + y^2 - 8x + 6y - 11 = 0\)：
I. 圓心坐標 \(H = \left(-\frac{-8}{2}, -\frac{6}{2}\right) = (4, -3)\)。（第 I 句正確）
II. 半徑 \(R = \sqrt{4^2 + (-3)^2 - (-11)} = \sqrt{16 + 9 + 11} = \sqrt{36} = 6\)。（第 II 句正確）
III. 點 \((1, 2)\) 到圓心 \((4, -3)\) 的距離為：
\(d = \sqrt{(1-4)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83\)。
由於 \(d \approx 5.83 < R = 6\)，點 \((1, 2)\) 位於 \(C\) 的內部。（第 III 句正確）
因此，I、II 及 III 均正確。
在 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\) 的範圍內，方程 \(3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\) 有多少個根？
- A.1
- B.2
- C.3
- D.4
解題
利用恆等式 \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\) 重寫方程：
\(3(1 - \cos^2 \theta) - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(3 - 3 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\)
\(3 \cos^2 \theta + 5 \cos \theta - 2 = 0\)
\((3 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0\)
可得：
\(\cos \theta = \frac{1}{3}\) 或 \(\cos \theta = -2\)。
由於 \(-1 \le \cos \theta \le 1\)，方程 \(\cos \theta = -2\) 沒有實解。
對於 \(\cos \theta = \frac{1}{3}\)，在 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\) 範圍內恰好有兩個解（一個在第一象限，一個在第四象限）。
因此，方程有 2 個根。
設 \(A\) 及 \(B\) 分別為點 \((2, 5)\) 及 \((8, -3)\)。若 \(P\) 為直角坐標平面上的動點使得 \(AP \perp BP\)，求 \(P\) 的軌跡方程。
- A.\(x^2 + y^2 - 10x - 2y + 1 = 0\)
- B.\(x^2 + y^2 - 10x - 2y + 26 = 0\)
- C.\(x^2 + y^2 - 5x - y - 12 = 0\)
- D.\(x^2 + y^2 + 10x + 2y + 1 = 0\)
解題
由於 \(AP \perp BP\)，\(AP\) 與 \(BP\) 的斜率之積為 \(-1\)。
設 \(P\) 的坐標為 \((x, y)\)。
\(\frac{y-5}{x-2} \cdot \frac{y-(-3)}{x-8} = -1\)
\(\frac{y-5}{x-2} \cdot \frac{y+3}{x-8} = -1\)
\((y-5)(y+3) = -(x-2)(x-8)\)
\(y^2 - 2y - 15 = -(x^2 - 10x + 16)\)
\(y^2 - 2y - 15 = -x^2 + 10x - 16\)
\(x^2 + y^2 - 10x - 2y + 1 = 0\)。
一袋子裝有 4 個紅球、5 個藍球及 3 個黃球。若從袋中隨機逐一無放回地抽出 3 個球，求抽出最少 2 個藍球的概率。
- A.\(\frac{5}{22}\)
- B.\(\frac{7}{22}\)
- C.\(\frac{4}{11}\)
- D.\(\frac{1}{2}\)
解題
球的總數 = \(4 + 5 + 3 = 12\)。
無放回地從 12 個球中選出 3 個球的總方法數為：
\(C^{12}_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\)。
「最少 2 個藍球」代表取出恰好 2 個藍球（及 1 個非藍球）或恰好 3 個藍球。
情況 1：恰好 2 個藍球和 1 個非藍球
方法數 = \(C^5_2 \times C^7_1 = 10 \times 7 = 70\)。
情況 2：恰好 3 個藍球
方法數 = \(C^5_3 = 10\)。
有利結果的總數 = \(70 + 10 = 80\)。
因此，所求概率為：
\(P = \frac{80}{220} = \frac{4}{11}\)。
一組數據的平均值及標準差分別為 48 及 8。若將該組數據中的每個數據乘以 \(-3\)，然後再加上 10，求新的平均值及新的標準差。
- A.平均值 = -134，標準差 = 24
- B.平均值 = -134，標準差 = 34
- C.平均值 = -144，標準差 = 24
- D.平均值 = -144，標準差 = 34
解題
設原數據組為 \(X\)，其平均值 \(\bar{X} = 48\)，標準差 \(\sigma_X = 8\)。
新數據組為 \(Y = -3X + 10\)。
新平均值：
\(\bar{Y} = -3\bar{X} + 10 = -3(48) + 10 = -144 + 10 = -134\)。
新標準差：
\(\sigma_Y = |-3| \times \sigma_X = 3 \times 8 = 24\)。
注意，標準差必須為非負數，且不受加上常數的影響。
因此，新平均值為 \(-134\)，新標準差為 \(24\)。
評分準則
答對 A 則得 1 分。注意，標準差恆為非負數。
設 \( f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 5 \)。當 \( f(x) \) 除以 \( x-2 \) 時，餘數為 \( 21 \)。當 \( f(x) \) 除以 \( x+1 \) 時，餘數為 \( -9 \)。求 \( f(x) \) 除以 \( x-1 \) 時的餘數。
- A.\( -5 \)
- B.\( 1 \)
- C.\( 5 \)
- D.\( 11 \)
解題
根據餘數定理，我們有：
\( f(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 5 = 21 \implies 16 + 4a + 2b - 5 = 21 \implies 2a + b = 5 \) --- (1)
\( f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 5 = -9 \implies -2 + a - b - 5 = -9 \implies a - b = -2 \) --- (2)
將 (1) 及 (2) 相加：
\( 3a = 3 \implies a = 1 \)。
將 \( a = 1 \) 代入 (2)：
\( 1 - b = -2 \implies b = 3 \)。
因此，\( f(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 5 \)。
當 \( f(x) \) 除以 \( x-1 \) 時的餘數為：
\( f(1) = 2(1)^3 + 1(1)^2 + 3(1) - 5 = 1 \)。
評分準則
答對選項 B 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
設圓 \( C \) 為 \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0 \)。若直線 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 與圓 \( C \) 相切，求 \( k \) 的值。
- A.\( -11 \)
- B.\( 9 \)
- C.\( 11 \)
- D.\( 25 \)
解題
圓 \( C \) 的圓心為 \( (3, -4) \)。
圓的半徑為 \( r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - k} = \sqrt{25 - k} \)。
由於直線 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 與 \( C \) 相切，由圓心 \( (3, -4) \) 到該直線的垂直距離等於半徑 \( r \)。
\( d = \frac{|3(3) - 4(-4) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 + 16 + 5|}{5} = 6 \)。
因此，\( r = 6 \implies r^2 = 36 \)。
\( 25 - k = 36 \implies k = -11 \)。
評分準則
答對選項 A 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
化簡 \( \frac{\sin(360^\circ - \theta)\cos(90^\circ - \theta)}{\sin(180^\circ + \theta)\tan(180^\circ - \theta)} \)。
- A.\( \cos\theta \)
- B.\( -\cos\theta \)
- C.\( \sin\theta \)
- D.\( -\sin\theta \)
解題
我們可以使用三角恆等式重寫各項：
1. \( \sin(360^\circ - \theta) = -\sin\theta \)
2. \( \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta \)
3. \( \sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta \)
4. \( \tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)
將這些代入式子中：
\( \frac{(-\sin\theta)(\sin\theta)}{(-\sin\theta)(-\tan\theta)} = \frac{-\sin^2\theta}{\sin\theta\tan\theta} = -\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = -\cos\theta \)。
評分準則
答對選項 B 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
若 \( \log_4 x - \log_{16} y = 1 \)，將 \( y \) 用 \( x \) 表示。
- A.\( y = 16x^2 \)
- B.\( y = \frac{x^2}{16} \)
- C.\( y = \frac{x^2}{4} \)
- D.\( y = 4x^2 \)
解題
使用換底公式，我們有：
\( \log_{16} y = \frac{\log_4 y}{\log_4 16} = \frac{\log_4 y}{2} = \frac{1}{2}\log_4 y = \log_4 \sqrt{y} \)。
因此，方程變為：
\( \log_4 x - \log_4 \sqrt{y} = 1 \)
\( \log_4\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right) = 1 \)
\( \frac{x}{\sqrt{y}} = 4^1 = 4 \)
\( \sqrt{y} = \frac{x}{4} \)
兩邊平方：
\( y = \frac{x^2}{16} \)。
評分準則
答對選項 B 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
已知 \( z \) 隨 \( x^2 \) 正變且隨 \( \sqrt{y} \) 反變。若 \( x \) 增加 \( 20\% \) 且 \( y \) 減少 \( 36\% \)，求 \( z \) 的百分變化。
- A.增加 \( 80\% \)
- B.增加 \( 44\% \)
- C.增加 \( 50\% \)
- D.減少 \( 20\% \)
解題
設 \( z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}} \)，其中 \( k \) 為非零常數。
設 \( x \) 及 \( y \) 的新值分別為 \( x' \) 及 \( y' \)。
\( x' = (1 + 20\%)x = 1.2x \)
\( y' = (1 - 36\%)y = 0.64y \)
新 \( z \) 的值（記為 \( z' \)）為：
\( z' =
\frac{k (x')^2}{\sqrt{y'}} =
\frac{k (1.2x)^2}{\sqrt{0.64y}} =
\frac{1.44 k x^2}{0.8 \sqrt{y}} =
1.8 \left(\frac{k x^2}{\sqrt{y}}\right) = 1.8 z \)。
因此，\( z \) 的百分變化為：
\( \frac{1.8z - z}{z} \times 100\% = 80\% \)（增加）。
評分準則
答對選項 A 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
設 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 為二次方程 \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \) 的實根。求 \( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \) 的值。
- A.\( 2 \)
- B.\( 3 \)
- C.\( 4 \)
- D.\( 6 \)
解題
由已知方程 \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \)，我們有：
\( \alpha + \beta = -\frac{-6}{2} = 3 \)
\( \alpha\beta = \frac{3}{2} \)
現在，我們化簡所需的式子：
\( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} \)
代入數值：
\( \frac{3^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{9 - 3}{1.5} = \frac{6}{1.5} = 4 \)。
評分準則
答對選項 C 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
在一等比數列中，第 2 項為 \( 12 \) 且第 5 項為 \( 324 \)。求該數列的首 6 項之和。
- A.\( 1456 \)
- B.\( 1452 \)
- C.\( 484 \)
- D.\( 4368 \)
解題
設該等比數列的首項為 \( a \)，公比為 \( r \)。
已知：
\( T_2 = ar = 12 \) --- (1)
\( T_5 = ar^4 = 324 \) --- (2)
將 (2) 除以 (1)：
\( r^3 = \frac{324}{12} = 27 \implies r = 3 \)。
將 \( r = 3 \) 代入 (1)：
\( a(3) = 12 \implies a = 4 \)。
首 6 項之和 \( S_6 \) 為：
\( S_6 = \frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = \frac{4(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{4(729 - 1)}{2} = 2(728) = 1456 \)。
評分準則
答對選項 A 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
若 \( (x, y) \) 為滿足聯立不等式 \( x + y \le 6 \)、\( 2x - y \ge 0 \) 及 \( y \ge 1 \) 的區域內的一點，求 \( 3x + 2y \) 的最大值。
- A.\( 13 \)
- B.\( 14 \)
- C.\( 17 \)
- D.\( 20 \)
解題
我們先通過求邊界線的交點來確定可行區域的頂點：
1. \( x + y = 6 \) 與 \( 2x - y = 0 \) 的交點：
兩式相加：\( 3x = 6 \implies x = 2 \)，故 \( y = 4 \)。頂點為 \( (2, 4) \)。
2. \( x + y = 6 \) 與 \( y = 1 \) 的交點：
\( x + 1 = 6 \implies x = 5 \)。頂點為 \( (5, 1) \)。
3. \( 2x - y = 0 \) 與 \( y = 1 \) 的交點：
\( 2x = 1 \implies x = 0.5 \)。頂點為 \( (0.5, 1) \)。
現在，我們計算目標函數 \( P = 3x + 2y \) 在這三個頂點的值：
- 在 \( (2, 4) \)：\( P = 3(2) + 2(4) = 6 + 8 = 14 \)。
- 在 \( (5, 1) \)：\( P = 3(5) + 2(1) = 15 + 2 = 17 \)。
- 在 \( (0.5, 1) \)：\( P = 3(0.5) + 2(1) = 1.5 + 2 = 3.5 \)。
因此，\( 3x + 2y \) 的最大值為 \( 17 \)。
評分準則
答對選項 C 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
一組數據 \( x_1, x_2, \dots, x_{10} \) 的平均值為 \( 40 \)，標準差為 \( 6 \)。若每項數據 \( x_i \) 皆被 \( y_i = 3 - 2x_i \) 代替（其中 \( i = 1, 2, \dots, 10 \)），求新數據組 \( y_1, y_2, \dots, y_{10} \) 的平均值及標準差。
- A.平均值 = \( -77 \)，標準差 = \( 12 \)
- B.平均值 = \( -77 \)，標準差 = \( -9 \)
- C.平均值 = \( -77 \)，標準差 = \( 15 \)
- D.平均值 = \( -80 \)，標準差 = \( 12 \)
解題
設原平均值及標準差分別為 \( \mu_x = 40 \) 及 \( \sigma_x = 6 \)。
在線性變換 \( y_i = 3 - 2x_i \) 下：
1. 新平均值為：
\( \mu_y = 3 - 2\mu_x = 3 - 2(40) = 3 - 80 = -77 \)。
2. 新標準差為：
\( \sigma_y = |-2|\sigma_x = 2(6) = 12 \)。
因此，新平均值為 \( -77 \)，新標準差為 \( 12 \)。
評分準則
答對選項 A 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。
現從 6 名教師和 5 名學生中選出 5 人組成一個委員會。若該委員會必須包含最少 3 名教師，共可組成多少個不同的委員會？
- A.281
- B.381
- C.462
- D.200
解題
由於 5 人的委員會必須包含最少 3 名教師，我們可以分三種情況討論：
情況 1：3 名教師和 2 名學生
選取方法 = \( C^6_3 \times C^5_2 = 20 \times 10 = 200 \) 種。
情況 2：4 名教師和 1 名學生
選取方法 = \( C^6_4 \times C^5_1 = 15 \times 5 = 75 \) 種。
情況 3：5 名教師和 0 名學生
選取方法 = \( C^6_5 \times C^5_0 = 6 \times 1 = 6 \) 種。
總共不同的委員會數目 = \( 200 + 75 + 6 = 281 \) 種。
評分準則
答對選項 A 得 1 分。其餘錯誤或空白答案不給分。