一個折射率為 \( 1.52 \) 的直角玻璃三稜鏡，其內角為 \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)。該三稜鏡浸沒在折射率為 \( n \) 的液體中。一束光線垂直入射到與 \( 30^\circ \) 角相對的三稜鏡表面。若該光線在斜邊上發生全內反射，\( n \) 的最大可能值是多少？
- A.\( 0.76 \)
- B.\( 1.14 \)
- C.\( 1.32 \)
- D.\( 1.45 \)
解題
光線垂直入射到與 \( 30^\circ \) 角相對的表面。該表面與直角相鄰的另一表面垂直。光線無偏折地穿過並射向斜邊。在斜邊上的入射角 \( i \) 為 \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)。若要發生全內反射，必須滿足 \( i \ge \theta_c \)，其中 \( \sin \theta_c = \frac{n}{1.52} \)。因此，\( \sin 60^\circ \ge \frac{n}{1.52} \Rightarrow n \le 1.52 \sin 60^\circ \approx 1.32 \)。
評分準則
選擇正確答案 C 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
一個剛性容器盛有固定質量的理想氣體，其溫度為 \( 27^\circ\text{C} \)，壓強為 \( 1.0 \times 10^5\text{ Pa} \)。現將氣體加熱，直至其分子的平均動能加倍。氣體的新壓強和溫度分別是多少？
- A.\( 2.0 \times 10^5\text{ Pa}, 54^\circ\text{C} \)
- B.\( 2.0 \times 10^5\text{ Pa}, 327^\circ\text{C} \)
- C.\( 4.0 \times 10^5\text{ Pa}, 327^\circ\text{C} \)
- D.\( 4.0 \times 10^5\text{ Pa}, 600^\circ\text{C} \)
解題
氣體分子的平均動能與絕對溫度 \( T \) 成正比。由於平均動能加倍，絕對溫度亦加倍：\( T_2 = 2 T_1 = 2 \times (27 + 273.15) \approx 600\text{ K} = 327^\circ\text{C} \)。由於容器是剛性的，體積保持不變。根據壓強定律，\( P \propto T \)，因此壓強亦加倍：\( P_2 = 2 \times 1.0 \times 10^5\text{ Pa} = 2.0 \times 10^5\text{ Pa} \)。
評分準則
選擇正確答案 B 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
一球從高度為 \( 40\text{ m} \) 的懸崖邊緣以 \( 20\text{ m s}^{-1} \) 的初始速度、與水平方向成 \( 30^\circ \) 仰角射出。在剛要觸地前一刻，球的速度向量與水平方向之間的夾角是多少？（取 \( g = 10\text{ m s}^{-2} \)，並忽略空氣阻力。）
- A.\( 30^\circ \)
- B.\( 45^\circ \)
- C.\( 60^\circ \)
- D.\( 75^\circ \)
解題
速度的水平分量保持不變：\( v_x = u_x = 20 \cos 30^\circ = 10\sqrt{3}\text{ m s}^{-1} \)。對於垂直運動，取向下為正：\( u_y = -20 \sin 30^\circ = -10\text{ m s}^{-1} \)。根據 \( v_y^2 = u_y^2 + 2 g H \)，可得 \( v_y^2 = (-10)^2 + 2(10)(40) = 100 + 800 = 900 \Rightarrow v_y = 30\text{ m s}^{-1} \)。在剛要觸地前，速度與水平方向的夾角 \( \theta \) 滿足 \( \tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ \)。
評分準則
選擇正確答案 C 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
三盞完全相同的燈泡 P、Q 和 R，每盞電阻為 \( R \)，與一個恆定電壓為 \( V \) 的理想電池連接。燈泡 P 與 Q 和 R 的並聯組合串聯。開關 S 與燈泡 R 串聯。當開關 S 閉合時，燈泡 P 消耗的電功率會改變為原來的多少倍？
- A.\( \frac{4}{3} \)
- B.\( \frac{16}{9} \)
- C.\( \frac{9}{4} \)
- D.\( \frac{9}{16} \)
解題
當 S 斷開時，R 被斷開，P 和 Q 串聯。總電阻為 \( 2R \)，P 的功率為 \( P_{\text{open}} = I^2 R = \left(\frac{V}{2R}\right)^2 R = \frac{V^2}{4R} \)。當 S 閉合時，Q 和 R 並聯，等效電阻為 \( 0.5R \)。總電阻變為 \( 1.5R \)。流經 P 的電流為 \( I' = \frac{V}{1.5R} = \frac{2V}{3R} \)。P 的新功率為 \( P_{\text{closed}} = (I')^2 R = \left(\frac{2V}{3R}\right)^2 R = \frac{4V^2}{9R} \)。比例為 \( \frac{P_{\text{closed}}}{P_{\text{open}}} = \frac{4/9}{1/4} = \frac{16}{9} \)。
評分準則
選擇正確答案 B 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
一個邊長為 \( 0.1\text{ m} \)、電阻為 \( 0.2\ \Omega \) 的正方形導電線圈，以 \( 4\text{ m s}^{-1} \) 的恆定速度被拉出一個與線圈平面垂直的 \( 0.5\text{ T} \) 均勻磁場。若要維持此恆定速度，所需外力的大小是多少？
- A.\( 0.01\text{ N} \)
- B.\( 0.05\text{ N} \)
- C.\( 0.10\text{ N} \)
- D.\( 0.20\text{ N} \)
解題
線圈中的感應電動勢為 \( \mathcal{E} = B L v = 0.5 \times 0.1 \times 4 = 0.2\text{ V} \)。感應電流為 \( I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.2}{0.2} = 1\text{ A} \)。作用在磁場內線圈邊緣上的磁力為 \( F_B = B I L = 0.5 \times 1 \times 0.1 = 0.05\text{ N} \)。由於速度恆定，外力必須與磁力平衡，因此 \( F_{\text{ext}} = 0.05\text{ N} \)。
評分準則
選擇正確答案 B 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
兩個質量分別為 \( m_A = 3\text{ kg} \) 和 \( m_B = 2\text{ kg} \) 的物體 A 和 B，用一條跨過無摩擦滑輪的輕質不可伸長細繩連接。物體 A 置於粗糙水平桌面上，其動摩擦因數為 \( \mu_k = 0.3 \)，而物體 B 則懸掛在空中。系統從靜止釋放。細繩的張力是多少？（取 \( g = 9.81\text{ m s}^{-2} \)。）
- A.\( 8.8\text{ N} \)
- B.\( 11.8\text{ N} \)
- C.\( 15.3\text{ N} \)
- D.\( 19.6\text{ N} \)
解題
設系統的加速度為 \( a \)，張力為 \( T \)。作用在 A 上的動摩擦力為 \( f_k = \mu_k m_A g = 0.3 \times 3 \times 9.81 = 8.829\text{ N} \)。物體的運動方程為：\( T - f_k = m_A a \) 和 \( m_B g - T = m_B a \)。兩式相加得：\( m_B g - f_k = (m_A + m_B) a \Rightarrow 2 \times 9.81 - 8.829 = (3+2) a \Rightarrow 10.791 = 5a \Rightarrow a = 2.158\text{ m s}^{-2} \)。張力為 \( T = m_B (g - a) = 2 \times (9.81 - 2.158) \approx 15.3\text{ N} \)。
評分準則
選擇正確答案 C 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
一個電能加熱器的功率為 \( 200\text{ W} \)，用於加熱一個質量為 \( 0.5\text{ kg} \)、比熱容為 \( 400\text{ J kg}^{-1}\text{ }^\circ\text{C}^{-1} \) 的金屬塊。在 \( 25\text{ s} \) 內，金屬塊的溫度升高了 \( 20^\circ\text{C} \)。問加熱器提供的熱能中有多少百分比流失到周圍環境？
- A.\( 20\% \)
- B.\( 40\% \)
- C.\( 60\% \)
- D.\( 80\% \)
解題
加熱器提供的總熱能為 \( E = P \times t = 200 \times 25 = 5000\text{ J} \)。金屬塊吸收的有用熱量為 \( Q = m c \Delta T = 0.5 \times 400 \times 20 = 4000\text{ J} \)。流失的熱能為 \( E_{\text{lost}} = 5000 - 4000 = 1000\text{ J} \)。流失的能量百分比為 \( \frac{1000}{5000} \times 100\% = 20\% \)。
評分準則
選擇正確答案 A 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
兩個完全相同的揚聲器 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 連接到同一個信號發生器，並同相發射頻率為 \( 850\text{ Hz} \) 的相干聲波。一個麥克風放置在點 \( P \)，該點距離 \( S_1 \) 為 \( 3.2\text{ m} \)，距離 \( S_2 \) 為 \( 4.4\text{ m} \)。空氣中的聲速為 \( 340\text{ m s}^{-1} \)。在 \( P \) 處會聽到甚麼類型的聲音？若頻率從 \( 850\text{ Hz} \) 開始緩慢增加，該聲音會如何變化？
- A.強音，且隨著頻率增加而變為弱音。
- B.強音，且隨著頻率增加而保持強音。
- C.弱音，且隨著頻率增加而變為強音。
- D.弱音，且隨著頻率增加而保持弱音。
解題
聲波的波長為 \( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{850} = 0.4\text{ m} \)。在 \( P \) 點的波程差為 \( \Delta s = |3.2 - 4.4| = 1.2\text{ m} \)。由於 \( \Delta s = 1.2\text{ m} = 3 \lambda \)，此時發生相長干涉，在 \( P \) 處聽到強音。若頻率 \( f \) 增加，波長 \( \lambda = \frac{v}{f} \) 會有助減少，即 \( \Delta s / \lambda \) 會從 \( 3.0 \) 增加到 \( 3.5 \)。當 \( \Delta s / \lambda = 3.5 \) 時，會發生相消干涉，因此聲音會變弱。
評分準則
選擇正確答案 A 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
兩塊平行水平金屬板相距 \( 2.0\text{ cm} \)。兩板之間施加了 \( 400\text{ V} \) 的電勢差。一個質量為 \( 1.6 \times 10^{-15}\text{ kg} \) 的油滴在兩板之間保持靜止。該油滴攜帶了多少個多餘的基本電荷（其中 \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)）？（取 \( g = 10\text{ m s}^{-2} \)。）
- A.\( 2 \)
- B.\( 5 \)
- C.\( 10 \)
- D.\( 50 \)
解題
金屬板之間的電場強度為 \( E = \frac{V}{d} = \frac{400}{0.02} = 20000\text{ V m}^{-1} \)。若要使油滴保持靜止，向上的電場力必須與重力平衡：\( q E = m g \Rightarrow q = \frac{m g}{E} = \frac{1.6 \times 10^{-15} \times 10}{20000} = 8.0 \times 10^{-19}\text{ C} \)。多餘的基本電荷數目為 \( N = \frac{q}{e} = \frac{8.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 5 \)。
評分準則
選擇正確答案 B 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
在光電效應實驗中，單色光照射到金屬表面，測得的遏止電勢差為 \( V_s \)。若入射光的頻率加倍，則新的遏止電勢差 \( V_s' \) 將會：
- A.等於 \( 2 V_s \)
- B.小於 \( 2 V_s \)
- C.大於 \( 2 V_s \)
- D.取決於光照強度
解題
愛因斯坦的光電方程為 \( e V_s = h f - \phi \)。若光的頻率加倍，新的遏止電勢差 \( V_s' \) 滿足 \( e V_s' = h (2f) - \phi = 2(h f - \phi) + \phi = 2 e V_s + \phi \)。由於逸出功 \( \phi > 0 \)，我們有 \( e V_s' > 2 e V_s \Rightarrow V_s' > 2 V_s \)。
評分準則
選擇正確答案 C 得 1 分。選錯或選擇多個選項不給分。
一個絕熱容器裝有 \(1.0\text{ kg}\) 溫度為 \(20^\circ\text{C}\) 的水。將一個質量為 \(0.5\text{ kg}\)、初始溫度為 \(T\) 的金屬塊放入該容器中。當達到熱平衡時，混合物的最終溫度為 \(15^\circ\text{C}\)。已知水的比熱容為 \(4200\text{ J kg}^{-1}{^\circ}\text{C}^{-1}\)，金屬塊的比熱容為 \(400\text{ J kg}^{-1}{^\circ}\text{C}^{-1}\)，求 \(T\)。假設沒有熱量流失到周圍環境，且容器的熱容量可忽略不計。
- A.\(-90^\circ\text{C}\)
- B.\(-45^\circ\text{C}\)
- C.\(-5^\circ\text{C}\)
- D.\(10^\circ\text{C}\)
解題
根據能量守恆定律：水流失的熱量 = 金屬塊吸收的熱量。即 \(m_w c_w (T_w - T_f) = m_m c_m (T_f - T)\)。代入已知數值：\(1.0 \times 4200 \times (20 - 15) = 0.5 \times 400 \times (15 - T)\)。\(21000 = 200 \times (15 - T)\)。\(105 = 15 - T\)，解得 \(T = -90^\circ\text{C}\)。
一小石子以初始速率 \(u\) 從高度為 \(H\) 的垂直懸崖頂部水平拋出。空氣阻力可忽略不計。若石子以與水平方向成 \(45^\circ\) 的角度擊中水平地面，下列哪項是 \(H\) 的正確表達式？
- A.\(H = \frac{u^2}{g}\)
- B.\(H = \frac{u^2}{2g}\)
- C.\(H = \frac{2u^2}{g}\)
- D.\(H = \frac{u^2}{4g}\)
解題
由於石子以與水平方向成 \(45^\circ\) 的角度擊中地面，速度的垂直分量 \(v_y\) 在數值上等於水平分量 \(v_x\)。由於水平速度保持不變，\(v_y = v_x = u\)。利用垂直運動的運動方程：\(v_y^2 = 2gH\)，可得 \(u^2 = 2gH \implies H = \frac{u^2}{2g}\)。
三個電阻值均為 \(R\) 的相同電阻器與一個提供恆定電壓 \(V\) 的理想電池連接。當它們串聯連接時，電路的總消耗功率為 \(P_S\)。當它們並聯連接到同一個電池時，總消耗功率為 \(P_P\)。求 \(\frac{P_P}{P_S}\) 的比值。
- A.\(3\)
- B.\(\frac{1}{3}\)
- C.\(9\)
- D.\(\frac{1}{9}\)
解題
在串聯時，等效電阻為 \(R_S = 3R\)，因此功率為 \(P_S = \frac{V^2}{3R}\)。在並聯時，等效電阻為 \(R_P = \frac{R}{3}\)，因此功率為 \(P_P = \frac{V^2}{R/3} = \frac{3V^2}{R}\)。比值為 \(\frac{P_P}{P_S} = \frac{3V^2/R}{V^2/(3R)} = 9\)。
一束光線穿過折射率為 1.50 的半圓形玻璃磚的彎曲表面，射向其平直邊界的中心 \(O\)。該光線在平直邊界中心 \(O\) 處的入射角為 \(30.0^\circ\)。當光線折射進入空氣中時，其偏向角（angle of deviation）是多少？
- A.\(18.6^\circ\)
- B.\(30.0^\circ\)
- C.\(48.6^\circ\)
- D.\(78.6^\circ\)
解題
根據平直邊界處的斯涅爾定律（Snell's Law）：\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \implies 1.50 \sin(30.0^\circ) = 1.00 \sin \theta_2 \implies \sin \theta_2 = 0.75 \implies \theta_2 \approx 48.6^\circ\)。偏向角為折射角與入射角之差：\(d = \theta_2 - \theta_1 = 48.6^\circ - 30.0^\circ = 18.6^\circ\)。
一個邊長為 \(L\)、電阻為 \(R\) 的正方形導電線圈，以恆定速率 \(v\) 水平拉出一個均勻磁場 \(B\) 的區域。磁場方向垂直於線圈平面。下列哪項是維持此恆定速率所需的外部拉力的正確表達式？
- A.\(\frac{BLv}{R}\)
- B.\(\frac{B^2 L^2 v^2}{R}\)
- C.\(\frac{B^2 L^2 v}{R}\)
- D.\(\frac{B L^2 v}{R}\)
解題
當線圈被拉出時，感應電動勢為 \(\mathcal{E} = BLv\)。感應電流為 \(I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{BLv}{R}\)。作用於磁場內導線的磁力阻礙運動，其大小為 \(F_M = BIL = B \left(\frac{BLv}{R}\right) L = \frac{B^2 L^2 v}{R}\)。為了維持恆定速率，外部拉力必須與該磁力平衡，因此 \(F = \frac{B^2 L^2 v}{R}\)。
兩個質量分別為 \(M\) 和 \(m\) 的木塊由一條輕質不可伸長的細繩連接，其中質量為 \(M\) 的木塊再通過另一條輕質不可伸長的細繩懸掛在天花板上。整個系統被上方的細繩拉動，以向上加速度 \(a\) 向上運動。設 \(T_1\) 為上方細繩的張力，\(T_2\) 為下方細繩的張力。求比值 \(\frac{T_1}{T_2}\)。
- A.\(\frac{M+m}{m}\)
- B.\(\frac{M}{m}\)
- C.\(\frac{M+m}{m}\left(1 + \frac{a}{g}\right)\)
- D.\(\frac{M}{m}\left(1 - \frac{a}{g}\right)\)
解題
對於質量為 \(M + m\) 的整體系統，運動方程為：\(T_1 - (M + m)g = (M + m)a \implies T_1 = (M + m)(g + a)\)。對於下方質量為 \(m\) 的木塊，運動方程為：\(T_2 - mg = ma \implies T_2 = m(g + a)\)。因此，比值為：\(\frac{T_1}{T_2} = \frac{(M + m)(g + a)}{m(g + a)} = \frac{M + m}{m}\)。該比值與加速度 \(a\) 無關。
一個質量為 \(0.20\text{ kg}\) 的固體物質由額定功率為 \(100\text{ W}\) 的恆定電熱器從初始溫度 \(20^\circ\text{C}\) 開始加熱。該物質在 \(t = 4.0\text{ 分鐘}\) 時達到其熔點 \(80^\circ\text{C}\)，並在 \(t = 12.0\text{ 分鐘}\) 時完全熔化。求該物質的熔化比潛熱。（假設沒有熱量流失到周圍環境。）
- A.\(1.2 \times 10^5\text{ J kg}^{-1}\)
- B.\(2.4 \times 10^5\text{ J kg}^{-1}\)
- C.\(3.6 \times 10^5\text{ J kg}^{-1}\)
- D.\(4.8 \times 10^5\text{ J kg}^{-1}\)
解題
熔化過程發生在 \(t = 4.0\text{ 分鐘}\) 至 \(t = 12.0\text{ 分鐘}\) 之間，因此熔化持續時間為 \(\Delta t = 8.0\text{ 分鐘} = 480\text{ 秒}\)。此期間供應的能量為 \(Q = P \Delta t = 100 \times 480 = 48000\text{ 焦耳}\)。由於 \(Q = m l_f\)，熔化比潛熱為 \(l_f = \frac{Q}{m} = \frac{48000}{0.20} = 2.4 \times 10^5\text{ 焦耳每千克}\)。
一列在水平細繩上傳播的橫向前進波由以下方程表示：
\[y = 0.05 \sin(4\pi t - 2\pi x)\]
其中 \(x\) 和 \(y\) 的單位為米（\(\text{m}\)），\(t\) 的單位為秒（\(\text{s}\)）。這列波的波速和傳播方向分別是什麼？
- A.沿正 x 方向以 \(2\text{ m s}^{-1}\) 傳播
- B.沿負 x 方向以 \(2\text{ m s}^{-1}\) 傳播
- C.沿正 x 方向以 \(0.5\text{ m s}^{-1}\) 傳播
- D.沿負 x 方向以 \(0.5\text{ m s}^{-1}\) 傳播
解題
將波方程與標準方程 \(y = A \sin(\omega t - k x)\) 進行比較，可得：角頻率 \(\omega = 4\pi\text{ rad s}^{-1}\)，波數 \(k = 2\pi\text{ m}^{-1}\)。波速由 \(v = \frac{\omega}{k} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\text{ m s}^{-1}\) 給出。由於 \(t\) 和 \(x\) 項的符號相反，波正沿正 \(x\) 方向傳播。
一個物體由靜止開始沿一直線運動。它首先以恆定加速度 \(a\) 勻加速運動一段時間，然後立即以恆定加速度 \(2a\) 勻減速直至靜止。求該物體在整個旅程中的平均速度與其最大速度之比。
- A.\(1 : 3\)
- B.\(1 : 2\)
- C.\(2 : 3\)
- D.\(3 : 4\)
解題
設 \(v_{\max}\) 為物體達到的最大速度。由於物體由靜止勻加速至 \(v_{\max}\)，然後勻減速回到靜止，其運動的速度—時間圖像為一個三角形。總位移 \(s\) 由三角形下方的面積表示：\(s = \frac{1}{2} \times \text{總時間 } T \times v_{\max}\)。整個旅程的平均速度 \(v_{\text{avg}}\) 為 \(v_{\text{avg}} = \frac{s}{T} = \frac{1}{2} v_{\max}\)。因此，平均速度與最大速度之比為 \(1 : 2\)。該比值與加速度 \(a\) 及 \(2a\) 的具體數值無關。
一個分壓電路由一個內阻可忽略的 \(12\text{ V}\) 直流電源、一個電阻為 \(4\ \Omega\) 的固定電阻器和一個光敏電阻（LDR）串聯組成。在黑暗中，LDR 的電阻為 \(8\ \Omega\)。在強光照射下，LDR 的電阻減小至 \(2\ \Omega\)。當環境由黑暗變為強光時，LDR 兩端的電勢差有何變化？
- A.減少 \(4\text{ V}\)
- B.增加 \(4\text{ V}\)
- C.減少 \(2\text{ V}\)
- D.增加 \(2\text{ V}\)
解題
在黑暗中：\(V_{\text{LDR}} = 12 \times \frac{8}{4 + 8} = 12 \times \frac{8}{12} = 8\text{ V}\)。在強光下：\(V_{\text{LDR}}' = 12 \times \frac{2}{4 + 2} = 12 \times \frac{2}{6} = 4\text{ V}\)。因此，LDR 兩端的電勢差減少了：\(8\text{ V} - 4\text{ V} = 4\text{ V}\)。
兩液體 \(A\)（質量為 \(100\text{ g}\)）和 \(B\)（質量為 \(200\text{ g}\)）分別由兩部功率均為 \(50\text{ W}\) 的相同加熱器加熱。液體 \(A\) 的溫度在 \(2\text{ 分鐘}\) 內上升了 \(10\text{ }^\circ\text{C}\)，而液體 \(B\) 的溫度在 \(3\text{ 分鐘}\) 內上升了 \(15\text{ }^\circ\text{C}\)。假設沒有熱量流失到周圍環境，求 \(A\) 與 \(B\) 的比熱容量之比（\(c_A : c_B\)）。
- A.1 : 2
- B.1 : 1
- C.2 : 1
- D.4 : 3
解題
利用 \(Q = mc\Delta T\) 及 \(Q = Pt\)，我們有 \(Pt = mc\Delta T\)，即 \(c = \frac{Pt}{m\Delta T}\)。由於兩加熱器的功率 \(P\) 相同：
對於液體 A：\(c_A \propto \frac{120}{0.1 \times 10} = 120\)
對於液體 B：\(c_B \propto \frac{180}{0.2 \times 15} = 60\)
因此，\(c_A : c_B = 120 : 60 = 2 : 1\)。
評分準則
選擇正確選項 (C) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一粒子自水平地面被拋出。若粒子在最高點時的動能是其初始動能的一半，求其最大高度與水平射程之比。
- A.1 : 2
- B.1 : 4
- C.1 : 8
- D.1 : \sqrt{2}
解題
設拋出速率為 \(u\)，拋射角為 \(\theta\)。最高點的動能為 \(K_{\text{top}} = \frac{1}{2} m (u\cos\theta)^2\)。初始動能為 \(K_0 = \frac{1}{2} mu^2\)。由於 \(K_{\text{top}} = \frac{1}{2} K_0\)，我們有 \(\cos^2\theta = \frac{1}{2}\)，即 \(\theta = 45^\circ\)。最大高度 \(H\) 與水平射程 \(R\) 之比為 \(\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2\theta / 2g}{u^2 \sin(2\theta) / g} = \frac{\tan\theta}{4}\)。由於 \(\theta = 45^\circ\)，\(\tan 45^\circ = 1\)，故 \(\frac{H}{R} = \frac{1}{4}\)。
評分準則
選擇正確選項 (B) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一個質量為 \(2\text{ kg}\) 的物體置於與水平面成 \(45^\circ\) 的粗糙斜面上。物體與斜面之間的靜摩擦係數為 \(0.25\)。現施加一水平力 \(F\) 將物體推向斜面。若要防止物體沿斜面下滑，\(F\) 的最小值是多少？（取 \(g = 10\text{ m s}^{-2}\)）
- A.4\text{ N}
- B.12\text{ N}
- C.15\text{ N}
- D.20\text{ N}
解題
當物體剛要下滑時，靜摩擦力 \(f\) 達到最大值 \(f_{\text{max}} = \mu_s N\)，沿斜面向上。沿垂直於斜面方向分解力：\(N = mg \cos 45^\circ + F \sin 45^\circ\)。沿平行於斜面方向分解力：\(mg \sin 45^\circ = F \cos 45^\circ + f_{\text{max}} = F \cos 45^\circ + \mu_s (mg \cos 45^\circ + F \sin 45^\circ)\)。由於 \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ\)，我們得到 \(mg = F + \mu_s(mg + F)\)，簡化為 \(F = mg \frac{1 - \mu_s}{1 + \mu_s}\)。代入 \(mg = 20\text{ N}\) 及 \(\mu_s = 0.25\)，得 \(F = 20 \times \frac{0.75}{1.25} = 12\text{ N}\)。
評分準則
選擇正確選項 (B) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一束光線射入折射率為 \(n = \sqrt{3}\)、頂角為 \(60^\circ\) 的玻璃三棱鏡。若光線在棱鏡內部與對稱三棱鏡的底面平行傳播，求光線在空氣中的入射角。
- A.30^\circ
- B.45^\circ
- C.60^\circ
- D.75^\circ
解題
由於棱鏡內部路徑的對稱性，第一表面的折射角 \(r\) 為 \(r = \frac{A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\)。在第一邊界應用折射定律：\(n_{\text{air}} \sin \theta = n_{\text{prism}} \sin r \Rightarrow 1 \times \sin \theta = \sqrt{3} \times \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。因此，入射角為 \(\theta = 60^\circ\)。
評分準則
選擇正確選項 (C) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一條魚在水面下 \(1.2\text{ m}\) 深處游動。一隻鳥在水面上方 \(1.8\text{ m}\) 垂直高處飛翔。魚看見鳥的表觀距離是多少？（取水的折射率為 \(\frac{4}{3}\)，空氣的折射率為 \(1\)）
- A.2.55\text{ m}
- B.3.0\text{ m}
- C.3.2\text{ m}
- D.3.6\text{ m}
解題
光線由鳥（於空氣中，\(n_{\text{object}} = 1\)）傳播至魚（於水中，\(n_{\text{observer}} = \frac{4}{3}\)）。鳥在水面上的表觀高度為 \(h' = h \times \frac{n_{\text{observer}}}{n_{\text{object}}} = 1.8 \times \frac{4/3}{1} = 2.4\text{ m}\)。由於魚在水面下 \(1.2\text{ m}\)，魚看見鳥的總表觀距離為 \(2.4\text{ m} + 1.2\text{ m} = 3.6\text{ m}\)。
評分準則
選擇正確選項 (D) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
三個電阻值均為 \(R\) 的相同電阻器連接成一個網絡。以下哪項不可能是該網絡的等效電阻？
- A.\frac{1}{3} R
- B.\frac{2}{3} R
- C.\frac{5}{4} R
- D.\frac{3}{2} R
解題
三個相同電阻器有四種可能的連接配置：
1. 全部串聯：\(R_{\text{eq}} = 3R\)
2. 全部並聯：\(R_{\text{eq}} = \frac{1}{3}R\)
3. 兩個串聯後與第三個並聯：\(R_{\text{eq}} = \frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2}{3}R\)
4. 兩個並聯後與第三個串聯：\(R_{\text{eq}} = \frac{R}{2} + R = \frac{3}{2}R\)。
因此，\(\frac{5}{4}R\) 不是可能的等效電阻。
評分準則
選擇正確選項 (C) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
在一個分壓電路中，一個光敏電阻（LDR）與一個 \(10\text{ k}\Omega\) 的固定電阻器串聯接在 \(12\text{ V}\) 且內阻可忽略的直流電源上。輸出電壓 \(V_{\text{out}}\) 自光敏電阻兩端量度。在黑暗中，光敏電阻的電阻值為 \(40\text{ k}\Omega\)；在強光下，其電阻值為 \(2\text{ k}\Omega\)。當環境由黑暗變為強光時，\(V_{\text{out}}\) 的變化量是多少？
- A.1.6\text{ V}
- B.2.0\text{ V}
- C.7.6\text{ V}
- D.9.6\text{ V}
解題
在黑暗中：\(V_{\text{out, dark}} = 12 \times \frac{40\text{ k}\Omega}{40\text{ k}\Omega + 10\text{ k}\Omega} = 9.6\text{ V}\)。
在強光下：\(V_{\text{out, bright}} = 12 \times \frac{2\text{ k}\Omega}{2\text{ k}\Omega + 10\text{ k}\Omega} = 2.0\text{ V}\)。
輸出電壓的變化量為 \(\Delta V_{\text{out}} = 9.6\text{ V} - 2.0\text{ V} = 7.6\text{ V}\)。
評分準則
選擇正確選項 (C) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一根長度為 \(0.4\text{ m}\) 的金屬棒在垂直於強度為 \(0.5\text{ T}\) 的均勻磁場的平面內，以每分鐘 \(300\) 轉（rpm）的恆定轉速旋轉。旋轉軸穿過金屬棒的一端。求金屬棒兩端之間的感應電動勢。
- A.0.20\text{ V}
- B.0.40\text{ V}
- C.1.26\text{ V}
- D.2.51\text{ V}
解題
旋轉角速度為 \(\omega = 300 \times \frac{2\pi}{60} = 10\pi\text{ rad s}^{-1}\)。旋轉中心與金屬棒外端之間的感應電動勢為 \(E = \frac{1}{2} B \omega L^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10\pi \times 0.4^2 = 0.4\pi \approx 1.26\text{ V}\)。
評分準則
選擇正確選項 (C) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
兩根長直平行導線 \(X\) 和 \(Y\) 通有相反方向的電流。作用在導線 \(X\) 上的每單位長度磁力為 \(f\)。若導線 \(X\) 中的電流加倍，導線 \(Y\) 中的電流減半，且兩導線之間的距離增至三倍，則作用在導線 \(X\) 上的新每單位長度磁力為何？
- A.\frac{1}{3} f\text{，吸引力}
- B.\frac{1}{3} f\text{，排斥力}
- C.3 f\text{，吸引力}
- D.3 f\text{，排斥力}
解題
兩平行導線之間的每單位長度磁力為 \(f = \frac{\mu_0 I_X I_Y}{2\pi d}\)。由於兩導線電流方向相反，故其間的力為排斥力。在新條件下，每單位長度磁力為 \(f' = \frac{\mu_0 (2I_X) (0.5I_Y)}{2\pi (3d)} = \frac{1}{3} f\)。由於電流方向仍然相反，力仍然是排斥力。
評分準則
選擇正確選項 (B) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一理想氣體儲存於一個固定體積的剛性容器中。氣體的溫度由 \(27\text{ }^\circ\text{C}\) 升高至 \(327\text{ }^\circ\text{C}\)。下列哪些敘述是正確的？
(1) 氣體的壓強加倍。
(2) 氣體分子的平均動能加倍。
(3) 氣體分子的方均根速率加倍。
- A.只有 (1)
- B.只有 (1) 及 (2)
- C.只有 (2) 及 (3)
- D.(1)、(2) 及 (3)
解題
初始絕對溫度為 \(T_1 = 27 + 273 = 300\text{ K}\)，最終溫度為 \(T_2 = 327 + 273 = 600\text{ K}\)。由於絕對溫度加倍：
(1) 體積固定，\(P \propto T\)，故壓強加倍。（正確）
(2) 氣體分子的平均動能為 \(E_k = \frac{3}{2} k_B T \propto T\)，故平均動能加倍。（正確）
(3) 方均根速率為 \(v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \propto \sqrt{T}\)，故它增加至原來的 \(\sqrt{2}\) 倍而非 2 倍。（不正確）
評分準則
選擇正確選項 (B) 得 1 分。若選取多於一個選項，則不給分。
一根光導纖維由折射率為 1.50 的圓柱形內芯和折射率為 1.40 的外殼組成。一束光線從空氣射入內芯，與內芯平直端面的法線成 \(\theta\) 角。求光線能在內芯與外殼的界面上發生全內反射的 \(\theta\) 最大值。
- A.\(21.0^\circ\)
- B.\(32.6^\circ\)
- C.\(41.8^\circ\)
- D.\(69.0^\circ\)
解題
設空氣與內芯界面處的折射角為 \(\theta_r\)，內芯與外殼界面處的入射角為 \(\phi\)。要在內芯與外殼的界面上發生全內反射，必須滿足：\(\sin \phi \ge \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.40}{1.50}\)，即 \(\phi \ge 68.96^\circ\)。根據幾何關係，\(\theta_r + \phi = 90^\circ\)，因此最大折射角為 \(\theta_r = 90^\circ - 68.96^\circ = 21.04^\circ\)。在空氣與內芯界面應用折射定律：\(1.00 \times \sin \theta = 1.50 \times \sin \theta_r\)。因此，\(\sin \theta \le 1.50 \times \sin 21.04^\circ = 0.5385\)，解得 \(\theta \le 32.6^\circ\)。所以 \(\theta\) 的最大值為 \(32.6^\circ\)。
評分準則
選擇正確選項 B 得 1 分。選擇其他選項得 0 分。
一電動勢為 \(E\)、內阻為 \(r\)（不可忽略）的電池與電阻器 \(R_1\) 相連。第二個電阻器 \(R_2\) 與開關 \(S\) 串聯，然後該組合與 \(R_1\) 並聯。一理想電壓表接在電池兩端，一理想電流表與 \(R_1\) 串聯。當開關 \(S\) 閉合時，電壓表和電流表的讀數將如何變化？
- A.電壓表讀數增加；電流表讀數增加
- B.電壓表讀數增加；電流表讀數減少
- C.電壓表讀數減少；電流表讀數增加
- D.電壓表讀數減少；電流表讀數減少
解題
當開關 \(S\) 閉合時，第二個電阻器 \(R_2\) 與 \(R_1\) 並聯。這降低了外電路的等效電阻。因此，電池輸出的總電流增加，使得內阻上的電勢降（內電壓 \(I_{total}r\)）增加。因此，路端電壓 \(V = E - I_{total}r\) 減少，即電壓表讀數減少。由於電流表與直接接在電池兩端的 \(R_1\) 串聯，流經 \(R_1\) 的電流為 \(I = V/R_1\)。由於路端電壓 \(V\) 減少而 \(R_1\) 保持不變，電流表讀數 \(I\) 必減少。
評分準則
選擇正確選項 D 得 1 分。選擇其他選項得 0 分。
三個質量分別為 \(m\)、\(2m\) 和 \(3m\) 的物體由輕質不可伸長的繩子連接，並在力 \(F\) 的作用下被豎直向上拉起。物體向上加速運動。設 \(T_1\) 為連接質量為 \(m\) 和 \(2m\) 的物體的繩子中的張力，\(T_2\) 為連接質量為 \(2m\) 和 \(3m\) 的物體的繩子中的張力。求 \(\frac{T_1}{T_2}\) 的值。
- A.\(\frac{2}{3}\)
- B.\(\frac{6}{5}\)
- C.\(\frac{5}{3}\)
- D.2
解題
設物體向上加速運動的加速度為 \(a\)。將最底部的質量為 \(3m\) 的物體視為一個系統：\(T_2 - 3mg = 3ma \implies T_2 = 3m(g+a)\)。現在將中間和底部兩個物體視為一個整體（總質量為 \(2m + 3m = 5m\)）：\(T_1 - 5mg = 5ma \implies T_1 = 5m(g+a)\)。因此，兩張力的比值為 \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{5m(g+a)}{3m(g+a)} = \frac{5}{3}\)。
評分準則
選擇正確選項 C 得 1 分。選擇其他選項得 0 分。