題目 1 · 短題目
6.25 分利用數學歸納法，證明對所有正整數 \(n\)，\(\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} = \frac{n}{2n+1}\)。
HKDSE · Thinka 原創模擬試題
2021 DSE 數學 單元二 (代數與微積分) 模擬試題 | Past Paper 練習
此為 Thinka 原創練習卷，按該年文憑試的結構與難度設計，並非香港考評局試卷，亦非其複製本。
甲部
本部各題全答。答案須寫在預留的空位內。
8 題目 · 50 分
題目 2 · 短題目
6.25 分在 \((1+ax)^n\) 的展開式中（其中 \(n\) 爲正整數且 \(a\) 爲非零常數），\(x\) 與 \(x^2\) 的係數分別爲 \(12\) 及 \(60\)。(a) 求 \(a\) 及 \(n\) 的值。(b) 求 \((2-x)(1+ax)^n\) 的展開式中 \(x^3\) 的係數。
題目 3 · 短題目
6.25 分解方程 \(\cos 3\theta + \cos \theta = \cos 2\theta\)，其中 \(0 \le \theta \le \pi\)。
題目 4 · 短題目
6.25 分設對 \(x > -\frac{3}{2}\)，\(f(x) = \sqrt{2x+3}\)。利用第一原理求 \(f'(x)\)。
題目 5 · 短題目
6.25 分一個球形氣球的體積正以恆常速率 \(12\pi \text{ cm}^3\text{s}^{-1}\) 增加。設 \(V \text{ cm}^3\)、\(A \text{ cm}^2\) 及 \(r \text{ cm}\) 分別為該氣球在時間 \(t\) 秒時的體積、表面積及半徑。(a) 求當半徑為 \(3 \text{ cm}\) 時，半徑的變率。(b) 求當半徑為 \(3 \text{ cm}\) 時，表面積的變率。
題目 6 · 短題目
6.25 分求 \(\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, \mathrm{d}x\)。
題目 7 · 短題目
6.25 分考慮關於 \(x, y, z\) 的線性方程組：\((E): \begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + 2y + 3z = 4 \\ x + 3y + az = b \end{cases}\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)。(a) 求 \(a\) 的值範圍使得 \((E)\) 有唯一解。(b) 設 \(a = 5\)。求使得 \((E)\) 相容的 \(b\) 的值，並在該情況下解 \((E)\)。
題目 8 · 短題目
6.25 分設 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) 及 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)。(a) 求 \(A^{-1}\)。(b) 求 \(2 \times 2\) 矩陣 \(X\) 使得 \(A X A = B\)。
乙部
本部各題全答。答案須寫在預留的空位內。
4 題目 · 50 分
題目 1 · 結構題
12 分考慮以下關於實變數 \(x, y, z\) 的線性方程組：
\( \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + (a+3)y + 3z = a + 3 \\ 3x + 6y + (a^2-4)z = a^2 + 2a \end{cases} \) 其中 \(a\) 為一實常數。
(a) 求 \(a\) 的值範圍使得方程組有唯一解。（3分）
(b) 設 \(a = 1\)。
(i) 解方程組。
(ii) 若 \((x, y, z)\) 為方程組的實解，求 \(x^2 + y^2\) 的最小值。（5分）
(c) 設 \(a = -1\)。
(i) 證明方程組無解（不相容）。
(ii) 若將第三個方程替換為 \(3x + 6y - 3z = k\)，求 \(k\) 的值使得方程組有解（相容）。（4分）
\( \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + (a+3)y + 3z = a + 3 \\ 3x + 6y + (a^2-4)z = a^2 + 2a \end{cases} \) 其中 \(a\) 為一實常數。
(a) 求 \(a\) 的值範圍使得方程組有唯一解。（3分）
(b) 設 \(a = 1\)。
(i) 解方程組。
(ii) 若 \((x, y, z)\) 為方程組的實解，求 \(x^2 + y^2\) 的最小值。（5分）
(c) 設 \(a = -1\)。
(i) 證明方程組無解（不相容）。
(ii) 若將第三個方程替換為 \(3x + 6y - 3z = k\)，求 \(k\) 的值使得方程組有解（相容）。（4分）
題目 2 · 結構題
13 分(a) 證明 \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx\)。（2分）
(b) (i) 利用 (a)，證明 \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx\)。
(ii) 由此，求 \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx\) 的值。（5分）
(c) 利用代換 \(t = \tan \frac{x}{2}\)，求 \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} \, dx\) 的值。（6分）
(b) (i) 利用 (a)，證明 \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx\)。
(ii) 由此，求 \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx\) 的值。（5分）
(c) 利用代換 \(t = \tan \frac{x}{2}\)，求 \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x + \cos x + 1} \, dx\) 的值。（6分）
題目 3 · 結構題
12 分設 \(O\) 為原點。點 \(A\)、點 \(B\) 及點 \(C\) 的坐標分別為 \((2, 1, 0)\)、\((0, 3, 2)\) 及 \((1, 0, 4)\)。
(a) 求 \(\vec{AB} \times \vec{AC}\)。由此，求三角形 \(ABC\) 的面積。（4分）
(b) 設 \(D(k, 2, -1)\) 為一點，其中 \(k\) 為一常數。
(i) 以 \(k\) 表示四面體 \(ABCD\) 的體積。
(ii) 若四面體 \(ABCD\) 的體積為 \(5\)，求 \(k\) 的可能值。（4分）
(c) 設 \(k = -\frac{6}{5}\)。
(i) 求與正 \(z\) 軸夾角為鈍角的平面 \(ABC\) 的單位法向量。
(ii) 由此，求點 \(D\) 至平面 \(ABC\) 的最短距離。（4分）
(a) 求 \(\vec{AB} \times \vec{AC}\)。由此，求三角形 \(ABC\) 的面積。（4分）
(b) 設 \(D(k, 2, -1)\) 為一點，其中 \(k\) 為一常數。
(i) 以 \(k\) 表示四面體 \(ABCD\) 的體積。
(ii) 若四面體 \(ABCD\) 的體積為 \(5\)，求 \(k\) 的可能值。（4分）
(c) 設 \(k = -\frac{6}{5}\)。
(i) 求與正 \(z\) 軸夾角為鈍角的平面 \(ABC\) 的單位法向量。
(ii) 由此，求點 \(D\) 至平面 \(ABC\) 的最短距離。（4分）
題目 4 · 結構題
13 分設 \(f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}\) 對所有實數 \(x \neq 4\)。 設 \(C\) 為曲線 \(y = f(x)\)。
(a) 求 \(C\) 的垂直漸近線及斜漸近線。（3分）
(b) 求 \(C\) 的所有極大值點及極小值點的坐標。（4分）
(c) 求曲線 \(C\) 凹向上的 \(x\) 值範圍。（2分）
(d) 描繪 \(C\) 的略圖，並在圖中標示漸近線及駐點及其坐標。（4分）
(a) 求 \(C\) 的垂直漸近線及斜漸近線。（3分）
(b) 求 \(C\) 的所有極大值點及極小值點的坐標。（4分）
(c) 求曲線 \(C\) 凹向上的 \(x\) 值範圍。（2分）
(d) 描繪 \(C\) 的略圖，並在圖中標示漸近線及駐點及其坐標。（4分）