2023 DSE 數學 單元二 (代數與微積分) 模擬試題 | Past Paper 練習

在 \((1 + ax)^n\) 的展開式中，\(x\) 的係數為 \(-16\)，而 \(x^2\) 的係數為 \(120\)，其中 \(n\) 為一正整數且 \(a\) 為一非零常數。(a) 求 \(a\) 及 \(n\) 的值。(b) 求該展開式中 \(x^3\) 的係數。

從第一原理證明 \(\frac{d}{dx}\sqrt{5-2x} = -\frac{1}{\sqrt{5-2x}}\)。

對所有正整數 \(n\)，利用數學歸納法證明 \(\sum_{r=1}^n \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} = \frac{n}{2n+1}\)。

設 \(A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)。(a) 求 \(A^2\)。(b) 利用數學歸納法，證明對所有正整數 \(n\)，\(A^n = \begin{pmatrix} 2n+1 & -4n \\ n & 1-2n \end{pmatrix}\)。

一個高為 \(12\text{ cm}\)、底半徑為 \(6\text{ cm}\) 且頂點朝下的倒立直立圓錐形容器。現將水以恆定變化率 \(3\pi\text{ cm}^3\text{s}^{-1}\) 注入該容器。求當水深為 \(4\text{ cm}\) 時，水深的增加率。

(a) 證明 \( \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx \)。(b) 由此，計算 \( \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx \)。

考慮關於 \(x, y, z\) 的線性方程組：\((E): \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ x + 2y + 3z = 3 \end{cases}\)，其中 \(k \in \mathbb{R}\)。(a) 求使得 \((E)\) 有無限個解的 \(k\) 的值。(b) 對於在 (a) 中求得的 \(k\) 的值，解 \((E)\)。

設 \(\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}\)、\(\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}\) 及 \(\vec{w} = 3\vec{i} + \lambda\vec{j} + 2\vec{k}\) 為三個向量，其中 \(\lambda \in \mathbb{R}\)。若由 \(\vec{u}\)、\(\vec{v}\) 及 \(\vec{w}\) 所構成的平行六面體的體積為 \(15\)，求 \(\lambda\) 的可能值。

考慮以下以實變量 \(x, y, z\) 寫成的線性方程組：
\( (E): \begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y + (a-1)z = a \\ 2x + 2ay + az = b \end{cases} \) 其中 \(a, b\) 為實常數。

(a) 求 \(a\) 的值範圍使得 \( (E) \) 有唯一解。 (3 分)

(b) 設 \(a = 2\)。
(i) 求 \(b\) 的值使得 \( (E) \) 相容。
(ii) 在 (b)(i) 的條件下，解 \( (E) \)。 (5 分)

(c) 設 \(a = 1\)。
(i) 求 \(b\) 的值使得 \( (E) \) 相容。
(ii) 在 (c)(i) 的條件下，是否可以找到一個實常數 \(c\) 使得方程組
\( (F): \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y = 1 \\ 2x + 2y + z + c(x-y) = b \end{cases} \)
有無限多個解？若可以，求 \(c\) 的值；若不然，簡要解釋。 (5 分)

(a) 利用數學歸納法，證明對所有正整數 \(n\)，
\( \sin \theta + \sin 3\theta +
\dots + \sin(2n-1)\theta = \frac{\sin^2 n\theta}{\sin\theta} \)（其中 \( \sin \theta \neq 0 \)）。 (5 分)

(b) (i) 利用 (a)，證明對任何正整數 \(n > 1\)，
\( \frac{\sin^2 n\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin^2 (n-1)\theta}{\sin\theta} = \sin(2n-1)\theta \)。 (2 分)

(ii) 求 \( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 3\theta - \sin^2 2\theta}{\sin\theta} d\theta \) 的值。 (5 分)

設 \( C \) 爲曲線 \( y = f(x) \)，其中 \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 6}{x-1} \) ( \( x \neq 1 \) )。

(a) 求 \( C \) 的極大值點及極小值點的坐標。 (4 分)

(b) 求 \( C \) 的漸近線。 (3 分)

(c) 求 \( C \) 呈上凹（凹向上）的 \( x \) 值範圍，以及 \( C \) 呈下凹（凹向下）的 \( x \) 值範圍。 (2 分)

(d) 描繪 \( C \) 的圖形，並標示其漸近線及拐點/轉折點。 (3 分)

設 \( O \) 爲原點。已知三點 \( A(2, 1, -1) \)、\( B(3, -1, 2) \) 及 \( C(1, 2, k) \)，其中 \( k \) 為實常數。

(a) 以 \( k \) 表達 \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)。 (3 分)

(b) 設三角形 \( ABC \) 的面積為 \( \frac{3\sqrt{6}}{2} \)。
(i) 求 \( k \) 的兩個可能值。
(ii) 對於在 (b)(i) 中求得的整數 \( k \) 值，求通過 \( A \)、\( B \) 及 \( C \) 的平面 \( \Pi \) 的方程。 (6 分)

(c) 現給予第四點 \( D(1, -1, 4) \)。
對於在 (b)(i) 中求得的整數 \( k \) 值，求：
(i) 四面體 \( ABCD \) 的體積。
(ii) 由 \( D \) 至平面 \( \Pi \) 的最短距離。 (4 分)