2021 DSE 數學 模擬試題 | Past Paper 練習

令 \( y \) 成為公式 \( \frac{3x - 2y}{5 + y} = 4a \) 的主項。

化簡 \( \frac{(u^3 v^{-2})^4}{u^{-5} v^3} \)，並以正指數表示答案。

設 \( f(x) = 2x^3 + ax^2 - 7x + b \)，其中 \( a \) 及 \( b \) 為常數。當 \( f(x) \) 除以 \( x - 1 \) 時，餘數為 \( -6 \)。已知 \( x + 2 \) 是 \( f(x) \) 的因式。求 \( a \) 及 \( b \) 的值。

求 \( k \) 的值範圍，使得二次方程 \( x^2 - 2kx + (3k - 2) = 0 \) 沒有實根。

已知 \( z \) 一部分為常數，另一部分隨 \( x^2 \) 正變。當 \( x = 2 \) 時，\( z = 14 \)；而當 \( x = 5 \) 時，\( z = 77 \)。求當 \( x = -3 \) 時 \( z \) 的值。

解複合不等式 \( 3(x + 2) > 5x - 4 \) 及 \( \frac{3 - x}{2} \le x + 3 \)。由此，寫出同時滿足這兩個不等式的整數的數目。

某等差數列的第 3 項及第 8 項分別為 \( 11 \) 及 \( 31 \)。
(a) 求該數列的首項及公差。
(b) 求該數列的首 20 項之和。

點 \( A \) 及點 \( B \) 的坐標分別為 \( (2, 5) \) 及 \( (6, -3) \)。設 \( L \) 為 \( AB \) 的垂直平分線。求 \( L \) 的方程。

下面的莖葉圖顯示某班 15 位學生測驗成績的分佈：

莖 (十位) | 葉 (個位)
5 | 2, 4, 7
6 | 1, 3, 3, 5, 8
7 | 0, 2, 4, 6
8 | 1, 5, 9

求該分佈的中位數、極差及標準差。（將標準差修正至二位小數。）

設 \(p(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + 12\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 均為常數。已知 \(x-2\) 是 \(p(x)\) 的因式。當 \(p(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(15\)。 (a) 求 \(a\) 及 \(b\)。 (b) 有人宣稱方程 \(p(x) = 0\) 的所有根均為有理數。你是否同意？解釋你的答案。

製造一個金屬實心圓柱體的成本 \(\$C\) 由兩部分組成。一部分為常數，另一部分隨底半徑 \(r\text{ cm}\) 的平方與高 \(h\text{ cm}\) 的乘積而正變。當 \(r = 3\) 及 \(h = 5\) 時，成本為 \(\$130\)；當 \(r = 4\) 及 \(h = 10\) 時，成本為 \(\$360\)。 (a) 求製造一個底半徑為 \(5\text{ cm}\) 及高為 \(8\text{ cm}\) 的圓柱體的成本。 (b) 若將圓柱體的高加倍，且將其底半徑減半，求成本中隨底半徑及高而正變的部分的百分變化。

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 12x - 4y + 15 = 0\)。 (a) 求 \(C\) 的圓心坐標及半徑。 (b) 一直線 \(L\) 通過 \(P(2, 1)\) 且平行於直線 \(3x - 4y + 5 = 0\)。 (i) 求 \(L\) 的方程。 (ii) 確定 \(L\) 與 \(C\) 是否相交。解釋你的答案。

一等比數列的第 2 項及第 5 項分別為 \(12\) 及 \(96\)。 (a) 求該數列的首項及公比。 (b) 設 \(G_n\) 為該等比數列的第 \(n\) 項。 (i) 求 \(n\) 的最小値使得 \(\sum_{i=1}^n G_i > 10^5\)。 (ii) 若對任何正整數 \(n\)，\(A_n = \log_2 (G_n)\)，證明 \(A_1, A_2, A_3, \dots\) 為一等差數列。

下面的莖葉圖顯示某班 20 位學生在一次測驗中得分（分）的分佈： \[ \begin{array}{r|l} \text{莖 (十位)} & \text{葉 (個位)} \\ \hline 4 & 2\quad 5\quad 5\quad 8 \\ 5 & 0\quad 3\quad 4\quad 4\quad 7\quad 8 \\ 6 & 1\quad 1\quad 1\quad 5\quad 5 \\ 7 & 3\quad 4\quad 5\quad 7 \\ 8 & 2 \end{array} \] (a) 求該分佈的中位數、極差及四分位數間距。 (b) 兩名缺席測驗的學生於其後進行補測，他們的得分為 \(x\) 及 \(y\)。在包括這兩人的得分後，該分佈的平均值保持不變，但極差增加了 6 分。 (i) 求原本 20 位學生得分的平均值。 (ii) 求 \(x\) 及 \(y\) 的值。

(a) 等比數列 \(G\) 的第 2 項為 \(12\)，且其無限項之和為 \(64\)。求 \(G\) 的公比之兩個可能值。(4分)
(b) 設 \(G\) 的公比為在 (a) 中求得的較大者。設 \(S_k\) 為 \(G\) 的首 \(k\) 項之和。求使得 \(S_k > 47.9\) 的最小 \(k\) 值。(3分)

設圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 10x - 24y + 144 = 0\)。
(a) 求 \(C\) 的圓心及半徑。(2分)
(b) 求由原點 \(O(0,0)\) 向 \(C\) 引的兩條切線的方程。(3分)
(c) 設 \(P\) 及 \(R\) 分別為該兩條自 \(O\) 至 \(C\) 的切線的切點，而 \(Q\) 為 \(C\) 的圓心。求四邊形 \(OPQR\) 的面積。(2分)

一袋中含有 4 個紅球、3 個藍球及 3 個黃球。
(a) 若從該袋中同時隨機抽出 3 個球，求抽出 3 個不同顏色球的概率。(3分)
(b) 在一遊戲中，從該袋中同時隨機抽出 3 個球。若該 3 個球為不同顏色，玩家可獲得 20 個代幣；若剛好有 2 個球為相同顏色，玩家可獲得 5 個代幣；否則，玩家會失去 10 個代幣。求玩家在一次遊戲中獲得代幣數目的期望值。(4分)

在圖中（無圖示），\(A\)、\(B\) 及 \(C\) 為水平地面上的三點，使得 \(AB = 8\text{ m}\)、\(BC = 7\text{ m}\) 及 \(\angle ABC = 60^\circ\)。\(TA\) 為立於 \(A\) 的垂直旗桿。由 \(B\) 測得旗桿頂部 \(T\) 的仰角為 \(30^\circ\)。
(a) 求旗桿 \(TA\) 的高度。(2分)
(b) 求 \(T\) 與 \(C\) 之間的距離。(3分)
(c) 求由 \(C\) 測得 \(T\) 的仰角。(2分)

某班 20 名學生的測驗分數的平均值及標準差分別為 65 分及 8 分。
(a) 求這 20 名學生的測驗分數之和，以及測驗分數的平方和。(3分)
(b) 現發現有兩處記錄錯誤。其中兩名學生的分數被記錄為 50 分及 80 分，其正確分數應分別為 55 分及 75 分。
(i) 求該班測驗分數的正確平均值。
(ii) 求該班測驗分數的正確標準差。(4分)

若 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 為二次方程 \(2x^2 - 5x + 1 = 0\) 的根，求 \(\alpha^3 + \beta^3\) 的值。

設 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。當 \(P(x)\) 分別除以 \(x-1\) 及 \(x+2\) 時，餘數分別為 \(-6\) 及 \(-24\)。求當 \(P(x)\) 除以 \(2x-1\) 時的餘數。

解方程 \(3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)。

已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。若 \(x\) 增加 \(20\%\) 且 \(y\) 減少 \(19\%\)，求 \(z\) 的百分變化。

設 \(S_n\) 為一等差數列首 \(n\) 項之和。若對所有正整數 \(n\)， \(S_n = 2n^2 + 5n\)，求該數列的第 10 項。

求 \(k\) 的取值範圍，使得不等式 \(x^2 + kx + (k+3) > 0\) 對所有實數 \(x\) 均成立。

化簡 \(\frac{\sin(180^\circ - \theta)\cos(90^\circ + \theta)}{\tan(360^\circ - \theta)}\)。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0\)，其中 \(k\) 為常數。若直線 \(3x - 4y + 5 = 0\) 與 \(C\) 相切，求 \(k\) 的值。

欲從 6 名男生及 4 名女生中選出一個 5 人的委員會。若該委員會必須包含最少 2 名女生，問共可組成多少個不同的委員會？

一組 10 個數據的平均值及標準差分別為 20 及 4。若在該組數據中加入一個新數據 20，求新一組數據的的平均值及標準差。

設 \(p(x) = ax^3 + bx^2 - 11x - 6\)。若 \(x-2\) 及 \(2x+1\) 為 \(p(x)\) 的因式，求 \(p(x)\) 除以 \(x-1\) 的餘數。

若 \(\alpha\) 及 \(\beta\)（其中 \(\alpha \neq \beta\)）為二次方程 \(x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 5k = 0\) 的實根，且 \(\alpha^2 + \beta^2 = 28\)，求 \(k\) 的值。

若 \(\log_9 x - \log_3 y = 1\)，則下列何者必為正確？

某一等比數列的第 3 項及第 6 項分別為 12 及 96。求該數列的首 10 項之和。

求滿足聯立不等式 \(\frac{3x - 5}{2} < 2x + 1\) 及 \(4x - 7 \le 2(x + 3)\) 的非負整數 \(x\) 的數目。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x + 6y - 11 = 0\)。下列何者為真？

I. \(C\) 的圓心坐標為 \((4, -3)\)。
II. \(C\) 的半徑為 6。
III. 點 \((1, 2)\) 位於 \(C\) 的內部。

在 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\) 的範圍內，方程 \(3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0\) 有多少個根？

設 \(A\) 及 \(B\) 分別為點 \((2, 5)\) 及 \((8, -3)\)。若 \(P\) 為直角坐標平面上的動點使得 \(AP \perp BP\)，求 \(P\) 的軌跡方程。

一袋子裝有 4 個紅球、5 個藍球及 3 個黃球。若從袋中隨機逐一無放回地抽出 3 個球，求抽出最少 2 個藍球的概率。

一組數據的平均值及標準差分別為 48 及 8。若將該組數據中的每個數據乘以 \(-3\)，然後再加上 10，求新的平均值及新的標準差。

設 \( f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 5 \)。當 \( f(x) \) 除以 \( x-2 \) 時，餘數為 \( 21 \)。當 \( f(x) \) 除以 \( x+1 \) 時，餘數為 \( -9 \)。求 \( f(x) \) 除以 \( x-1 \) 時的餘數。

設圓 \( C \) 為 \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0 \)。若直線 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 與圓 \( C \) 相切，求 \( k \) 的值。

化簡 \( \frac{\sin(360^\circ - \theta)\cos(90^\circ - \theta)}{\sin(180^\circ + \theta)\tan(180^\circ - \theta)} \)。

若 \( \log_4 x - \log_{16} y = 1 \)，將 \( y \) 用 \( x \) 表示。

已知 \( z \) 隨 \( x^2 \) 正變且隨 \( \sqrt{y} \) 反變。若 \( x \) 增加 \( 20\% \) 且 \( y \) 減少 \( 36\% \)，求 \( z \) 的百分變化。

設 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 為二次方程 \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \) 的實根。求 \( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \) 的值。

在一等比數列中，第 2 項為 \( 12 \) 且第 5 項為 \( 324 \)。求該數列的首 6 項之和。

若 \( (x, y) \) 為滿足聯立不等式 \( x + y \le 6 \)、\( 2x - y \ge 0 \) 及 \( y \ge 1 \) 的區域內的一點，求 \( 3x + 2y \) 的最大值。

一組數據 \( x_1, x_2, \dots, x_{10} \) 的平均值為 \( 40 \)，標準差為 \( 6 \)。若每項數據 \( x_i \) 皆被 \( y_i = 3 - 2x_i \) 代替（其中 \( i = 1, 2, \dots, 10 \)），求新數據組 \( y_1, y_2, \dots, y_{10} \) 的平均值及標準差。

現從 6 名教師和 5 名學生中選出 5 人組成一個委員會。若該委員會必須包含最少 3 名教師，共可組成多少個不同的委員會？

圖示 \(\log_5 y\) 與 \(\log_5 x\) 之間的線性關係。橫軸上的截距為 \(3\)，而縱軸上的截距為 \(-2\)。下列何者正確？

在等比數列中，首兩項之和為 \(8\)，而無限項之和為 \(9\)。求首項所有可能值之和。

圖中，\(ABCD\) 為一棱長為 \(6\) 的正四面體。設 \(M\) 為 \(AD\) 的中點，且 \(N\) 為 \(BC\) 的中點。求 \(MN\) 的長度。

現要從 6 名男生和 5 名女生中選出 5 名代表組成一個委員會。若該委員會必須包含最少 2 名男生及最少 2 名女生，共可組成多少個不同的委員會？

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 8x - 8y + 24 = 0\)。若直線 \(L\) 通過原點 \(O(0,0)\) 且與圓 \(C\) 切於點 \(P\)，求 \(OP\) 的長度。

設 \(x_1, x_2, \dots, x_{20}\) 為一組 20 個數據，其平均值為 \(m\)，方差為 \(v\)。若將每個數據乘以 \(-3\) 再加 \(5\) 組成一組新數據，且設新平均值和新方差分別為 \(m'\) 和 \(v'\)。下列何者正確？

I. \(m' = 5 - 3m\)
II. \(v' = 9v\)
III. 新數據組的標準差是原數據組標準差的 \(3\) 倍。

一袋子內有 4 個紅球及 6 個藍球。一男生隨機從袋子中每次不放回地抽取一個球，直至抽到紅球為止。求他需要最少抽取 3 次的概率。

設 \(x\) 及 \(y\) 為非負實數，且滿足不等式組：
$$\begin{cases} 2x + y \le 12 \\ x + 3y \le 11 \end{cases}$$
求 \(P = 3x + 4y\) 的最大值。

設 \(z = \frac{a+i}{1-2i}\)，其中 \(a\) 為實數且 \(i^2 = -1\)。若 \(z\) 的實部等於其虛部，求 \(a\) 的值。

點 \(A\) 及點 \(B\) 的坐標分別為 \((2, 6)\) 及 \((8, -2)\)。若 \(P(x, y)\) 為直角坐標平面上的動點使得 \(\angle APB = 90^\circ\)，求 \(P\) 的軌跡方程。

圖中所示為 \(\log_3 x\) 與 \(\log_9 y\) 之間的線性關係。該直線在水平軸和垂直軸上的截距分別為 \(4\) 及 \(2\)。下列何者必為正確？

設 \(x\) 為一常數。若某等比數列的首三項分別為 \(x + 3\)、\(x\) 及 \(x - 2\)，求該數列的無限項之和。

若直線 \(3x - 4y + k = 0\)（其中 \(k\) 為一常數）與圓 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) 相交於兩相異點，求 \(k\) 的取值範圍。

現從 6 名男生及 5 名女生中選出 4 人組成一個委員會。若該委員會必須包含最少一名男生及最少一名女生，問共可組成多少個不同的委員會？

求 \(\frac{12}{3 - \cos^2 \theta - 2\sin \theta}\) 的最大值，其中 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\)。