2022 DSE 數學 答案詳解與評分準則

(a) 由於 \(P(x)\) 可被 \(3x - 1\) 整除，根據因式定理，我們有 \(P(1/3) = 0\)。因此，\(3(1/3)^3 - k(1/3)^2 - 13(1/3) + 4 = 0\)。由此得 \(1/9 - k/9 - 13/3 + 4 = 0\)。兩邊乘以 9，得 \(1 - k - 39 + 36 = 0\)，化簡為 \(-k - 2 = 0\)，因此 \(k = -2\)。(b) 現在，\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 13x + 4\)。當 \(P(x)\) 除以 \(x + 2\) 時，餘數由 \(P(-2)\) 給出，即 \(P(-2) = 3(-2)^3 + 2(-2)^2 - 13(-2) + 4 = -24 + 8 + 26 + 4 = 14\)。

(a) 1M 應用因式定理 \(P(1/3) = 0\)，1A 求得 \(k = -2\)。(b) 1M 代入 \(x = -2\)，0.88A 求得餘數 = 14。

(a) 設 \(r\) 為 \(C\) 的半徑。由於 \(C\) 通過 \(A(2, 6)\) 且圓心在 \(O(0,0)\)，\(r^2 = (2 - 0)^2 + (6 - 0)^2 = 4 + 36 = 40\)。因此，\(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 = 40\)。(b) \(OA\) 的斜率為 \((6 - 0)/(2 - 0) = 3\)。由於在 \(A\) 的切線垂直於 \(OA\)，切線的斜率為 \(-1/3\)。切線的方程為 \(y - 6 = -1/3(x - 2)\)，化簡得 \(3y - 18 = -x + 2\)，即 \(x + 3y - 20 = 0\)。

(a) 1M 求半徑平方，0.88A 求得 \(x^2 + y^2 = 40\)。(b) 1M 求切線斜率，1A 求得 \(x + 3y - 20 = 0\)。

(a) 由於平均身高為 \(161\text{ cm}\)，我們有 \((155 + 158 + 160 + 162 + 165 + x) / 6 = 161\)。因此，\(800 + x = 966\)，求得 \(x = 166\)。(b) 該 6 名學生的身高為 \(155, 158, 160, 162, 165, 166\)。平均值為 \(161\)。標準差 \(\sigma = \sqrt{\frac{(155-161)^2 + (158-161)^2 + (160-161)^2 + (162-161)^2 + (165-161)^2 + (166-161)^2}{6}} = \sqrt{\frac{36 + 9 + 1 + 1 + 16 + 25}{6}} = \sqrt{\frac{88}{6}} = \sqrt{\frac{44}{3}} \approx 3.83\text{ cm}\)。

(a) 1M 運用平均數方程，0.88A 求得 \(x = 166\)。(b) 1M 運用標準差公式，1A 求得 \(3.83\text{ cm}\)。

(a) 根據餘弦公式，\(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos\angle ABC = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5)\cos 120^\circ = 64 + 25 - 80(-0.5) = 89 + 40 = 129\)。因此，\(AC = \sqrt{129} \approx 11.4\text{ cm}\)。(b) \(\triangle ABC\) 的面積 \(= \frac{1}{2}(AB)(BC)\sin\angle ABC = \frac{1}{2}(8)(5)\sin 120^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ cm}^2\)。

(a) 1.38M 應用餘弦公式，1A 求得 \(AC \approx 11.4\text{ cm}\)。(b) 1M 應用面積公式，0.5A 求得 \(10\sqrt{3}\text{ cm}^2\)。

(a) 設首項為 \(a\)，公差為 \(d\)。我們有 \(a + 2d = 14\) 及 \(a + 6d = 30\)。從第二個方程減去第一個方程，得 \(4d = 16\)，因此 \(d = 4\)。將 \(d = 4\) 代入第一個方程，得 \(a + 8 = 14\)，因此 \(a = 6\)。(b) 首 20 項之和為 \(S_{20} = \frac{20}{2} [2a + (20-1)d] = 10 [2(6) + 19(4)] = 10 [12 + 76] = 10(88) = 880\)。

(a) 1M 建立聯立方程，1A 求得 \(a = 6\) 及 \(d = 4\)。(b) 1M 應用等差數列求和公式，0.88A 求得 \(880\)。

(a) 設 \(z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}}\)，其中 \(k \neq 0\) 為一常數。代入 \(x = 3, y = 16, z = 18\)，得 \(18 = \frac{k(3^2)}{\sqrt{16}} \Rightarrow 18 = \frac{9k}{4} \Rightarrow k = 8\)。因此，\(z = \frac{8x^2}{\sqrt{y}}\)。(b) 設 \(x'\) 及 \(y'\) 為新值。\(x' = 2x\) 且 \(y' = (1 - 75\%)y = 0.25y\)。\(z\) 的新值為 \(z' = \frac{8(x')^2}{\sqrt{y'}} = \frac{8(2x)^2}{\sqrt{0.25y}} = \frac{32x^2}{0.5\sqrt{y}} = \frac{64x^2}{\sqrt{y}} = 8 \left(\frac{8x^2}{\sqrt{y}}\right) = 8z\)。\(z\) 的百分變化 \(= \frac{8z - z}{z} \times 100\% = 700\%\)。

(a) 1M 建立變分方程，0.88A 求得 \(z = \frac{8x^2}{\sqrt{y}}\)。(b) 1M 以舊 \(z\) 表示新 \(z\)，1A 求得 \(700\%\)。

(a) 對於 \(3x - 5 < 7x + 11\)，我們有 \(-16 < 4x \Rightarrow x > -4\)。對於 \(\frac{5 - 2x}{3} \ge x - 5\)，我們有 \(5 - 2x \ge 3(x - 5) \Rightarrow 5 - 2x \ge 3x - 15 \Rightarrow 20 \ge 5x \Rightarrow x \le 4\)。結合兩個結果，得解為：\(-4 < x \le 4\)。(b) 滿足該不等式的整數為 \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\)。因此，共有 8 個整數。

(a) 1M 解 \(3x - 5 < 7x + 11\)，1M 解 \(\frac{5 - 2x}{3} \ge x - 5\)，0.88A 求得 \(-4 < x \le 4\)。(b) 1A 求得 8。

(a) 由 \(\log_2(x + 5) - \log_2(x - 1) = 2\)，得 \(\log_2\left(\frac{x+5}{x-1}\right) = 2\)。這表示 \(\frac{x+5}{x-1} = 2^2 = 4\)。因此 \(x + 5 = 4(x - 1) \Rightarrow x + 5 = 4x - 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\)。經檢驗，\(x+5 > 0\) 及 \(x-1 > 0\) 均滿足。(b) 比較 \(\log_2(2^y + 5) - \log_2(2^y - 1) = 2\) 與 (a) 中的方程，我們有 \(2^y = x\)。由於 \(x = 3\)，我們有 \(2^y = 3\)，求得 \(y = \log_2 3\)。

(a) 1M 應用商對數定律，1M 化為代數方程，0.38A 求得 \(x = 3\)。(b) 1M 代入 \(2^y = x\)，0.5A 求得 \(y = \log_2 3\)。

(a) 為了讓二次方程 \(x^2 + 2kx + (3k + 4) = 0\) 有等實根，判別式必須為零。因此，\(\Delta = (2k)^2 - 4(1)(3k+4) = 0 \Rightarrow 4k^2 - 12k - 16 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k - 4 = 0\)。因式分解得 \((k-4)(k+1) = 0\)，由此得 \(k = 4\) 或 \(k = -1\)。(b) 對於 \(k\) 的正值，我們有 \(k = 4\)。方程變為 \(x^2 + 8x + 16 = 0\)，即 \((x + 4)^2 = 0\)。因此，\(x = -4\)。

(a) 1M 應用判別式 \(\Delta = 0\)，1M 解關於 \(k\) 的二次方程，0.88A 求得 \(k = 4\) 或 \(k = -1\)。(b) 1A 求得 \(x = -4\)。

(a) 由於 \(P(2) = 0\)：
\(2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 6 = 0 \implies 16 + 4a + 2b - 6 = 0 \implies 2a + b = -5\) -- (1)
由於 \(P(-1) = -12\)：
\(2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 6 = -12 \implies -2 + a - b - 6 = -12 \implies a - b = -4\) -- (2)
由 (2) 可得 \(b = a + 4\)。代入 (1)：
\(2a + (a + 4) = -5 \implies 3a = -9 \implies a = -3\)。
因此 \(b = -3 + 4 = 1\)。

(b) 若 \(k = 12\)，則 \(Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 6 + 12 = 2x^3 - 3x^2 + x + 6\)。
注意到 \(Q(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 6 = -2 - 3 - 1 + 6 = 0\)。
因此 \(x+1\) 是 \(Q(x)\) 的因式。
經整除可得，\(Q(x) = (x+1)(2x^2 - 5x + 6)\)。
對於方程 \(2x^2 - 5x + 6 = 0\)，其判別式為：
\(\Delta = (-5)^2 - 4(2)(6) = 25 - 48 = -23 < 0\)。
因此，二次方程 \(2x^2 - 5x + 6 = 0\) 沒有實根。
所以，\(Q(x) = 0\) 只有一個實根（即 \(x = -1\)）。
故不同意該聲稱。

(a) 1M 應用因式定理建立方程 (1)；1M 應用餘數定理建立方程 (2)；1A 求得 \(a = -3\)；1A 求得 \(b = 1\)。
(b) 1M 將 \(Q(x)\) 因式分解為 \((x+1)(2x^2-5x+6)\)；1M 檢驗判別式 \(\Delta = -23 < 0\)；1A 給出正確解釋及結論。

(a) 圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 20 = 0\)。
圓心 \(G = \left(-\frac{-8}{2}, -\frac{-6}{2}\right) = (4, 3)\)。
半徑 \(r = \sqrt{4^2 + 3^2 - 20} = \sqrt{16 + 9 - 20} = \sqrt{5}\)。

(b)(i) 設 \(L\) 的方程為 \(y = mx \implies mx - y = 0\)。
由於 \(L\) 與 \(C\) 相切，由 \(G(4, 3)\) 到 \(L\) 的垂直距離等於 \(r\)：
\(\frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}\)
\((4m - 3)^2 = 5(m^2 + 1)\)
\(16m^2 - 24m + 9 = 5m^2 + 5\)
\(11m^2 - 24m + 4 = 0\)
\((11m - 2)(m - 2) = 0\)
因為 \(m > 1\)，故 \(m = 2\)。

(b)(ii) 將 \(y = 2x\) 代入圓的方程：
\(x^2 + (2x)^2 - 8x - 6(2x) + 20 = 0\)
\(5x^2 - 20x + 20 = 0\)
\(x^2 - 4x + 4 = 0\)
\((x-2)^2 = 0 \implies x = 2\)。
將 \(x = 2\) 代回 \(y = 2x\) 可得 \(y = 4\)。
因此，\(P\) 的坐標為 \((2, 4)\)。

(a) 1A 求得圓心 \((4,3)\)；1A 求得半徑 \(\sqrt{5}\)。
(b)(i) 1M 建立距離公式等於半徑的方程；1M 化簡為關於 \(m\) 的一元二次方程；1A 求得 \(m = 2\)（因 \(m > 1\) 捨去 \(m = 2/11\)）。
(b)(ii) 1M 將 \(y = 2x\) 代入圓方程；1A 求得坐標 \((2, 4)\)。

(a) 設 \(u_i\) (\(i = 1, \dots, 8\)) 為該 8 個數。
這 8 個數的和 \(= 8 \times 15 = 120\)。
已知標準差 \(\sigma = 4\)，所以方差 \(\sigma^2 = 16\)。
使用公式 \(\sigma^2 = \frac{\sum u_i^2}{8} - \bar{u}^2\)：
\(16 = \frac{\sum u_i^2}{8} - 15^2 \implies 16 = \frac{\sum u_i^2}{8} - 225\)
\(\frac{\sum u_i^2}{8} = 241 \implies \sum u_i^2 = 1928\)。
因此，平方和為 \(1928\)。

(b) 加入 \(x\) 和 \(y\) 後，新平均值 \(\bar{u}_{\text{new}} = \frac{120 + (x + y)}{10} = \frac{120 + 30}{10} = 15\)。
因為新標準差為 \(\sqrt{17.8}\)，所以新方差為 \(17.8\)。
利用新方差公式：
\(17.8 = \frac{\sum u_i^2 + x^2 + y^2}{10} - \bar{u}_{\text{new}}^2\)
\(17.8 = \frac{1928 + x^2 + y^2}{10} - 225\)
\(242.8 = \frac{1928 + x^2 + y^2}{10}\)
\(2428 = 1928 + x^2 + y^2 \implies x^2 + y^2 = 500\)。
由於 \(x + y = 30 \implies y = 30 - x\)：
\(x^2 + (30 - x)^2 = 500\)
\(x^2 + 900 - 60x + x^2 = 500\)
\(2x^2 - 60x + 400 = 0 \implies x^2 - 30x + 200 = 0\)
\((x-10)(x-20) = 0 \implies x = 10 \text{ 或 } x = 20\)。
若 \(x = 10\)，則 \(y = 20\)；若 \(x = 20\)，則 \(y = 10\)。
所以這兩個數為 \(10\) 及 \(20\)。

(a) 1A 求得和為 120；1M 應用方差公式；1A 求得平方和為 1928。
(b) 1M 求得新平均值為 15；1M 建立新方差方程並求出 \(x^2 + y^2 = 500\)；1M 代入 \(y = 30 - x\) 建立一元二次方程；1A 求得 \(x = 10, y = 20\)（或相反）。

(a) 在 \(\triangle ABC\) 中，由餘弦公式：
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos\angle ABC\)
\(AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2(10)(6)\cos 120^\circ\)
\(AC^2 = 100 + 36 - 120(-0.5)\)
\(AC^2 = 136 + 60 = 196\)
\(AC = 14\text{ cm}\)。

(b) 在 \(\triangle ACD\) 中，由正弦公式：
\(\frac{\sin\angle ADC}{AC} = \frac{\sin\angle CAD}{CD}\)
\(\frac{\sin\angle ADC}{14} = \frac{\sin 30^\circ}{8}\)
\(\sin\angle ADC = \frac{14 \sin 30^\circ}{8} = \frac{7}{8} = 0.875\)。
因此，銳角為 \(\angle ADC = \sin^{-1}(0.875) \approx 61.045^\circ \approx 61.0^\circ\)。
或鈍角為 \(\angle ADC = 180^\circ - 61.045^\circ \approx 118.955^\circ \approx 119.0^\circ\)。
由於這兩個值均能構成滿足 \(AD > CD\)（即 \(\angle ACD > 30^\circ\)）的有效三角形，因此兩者皆可接受。
所以 \(\angle ADC\) 的兩個可能值分別為 \(61.0^\circ\) 及 \(119.0^\circ\)。

(a) 1M 應用餘弦公式；1M 代入 \(\cos 120^\circ = -0.5\)；1A 求得 \(AC = 14\text{ cm}\)。
(b) 1M 應用正弦公式；1A 求得 \(\sin\angle ADC = 0.875\)；1A 求得 \(61.0^\circ\)；1A 求得 \(119.0^\circ\)。

(a) 設首項為 \(a\)，公差為 \(d\)。
\(a_3 = a + 2d = 15\) -- (1)
\(a_7 = a + 6d = 39\) -- (2)
(2) 減去 (1)：
\(4d = 24 \implies d = 6\)。
將 \(d = 6\) 代回 (1)：
\(a + 12 = 15 \implies a = 3\)。
所以首項為 \(3\)，公差為 \(6\)。

(b)(i) 首 \(n\) 項和為 \(T_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)。
\(T_2 = a_1 + a_2 = 3 + 9 = 12\)。
\(T_4 = T_2 + a_3 + a_4 = 12 + 15 + 21 = 48\)。
對於等比數列：
\(g_1 = b = T_2 \implies b = 12\)。
\(g_3 = b r^2 = T_4 \implies 12 r^2 = 48 \implies r^2 = 4\)。
因為 \(r > 0\)，所以 \(r = 2\)。

(b)(ii) \(g_n\) 的首 \(n\) 項和為：
\(S_n = \frac{b(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{12(2^n - 1)}{2 - 1} = 12(2^n - 1)\)。
我們要求 \(S_n > 10^6\)：
\(12(2^n - 1) > 10^6 \implies 2^n - 1 > 83333.33\)
\(2^n > 83334.33\)
\(n \log 2 > \log 83334.33\)
\(n > \frac{\log 83334.33}{\log 2} \approx 16.35\)。
因為 \(n\) 必須為整數，所以最小的 \(n\) 值為 \(17\)。

(a) 1M 建立方程 (1) 及 (2)；1A 求得 \(a=3\) 及 \(d=6\)。
(b)(i) 1M 正確計算出 \(T_2\) 和 \(T_4\)；1A 求得 \(b=12\) 及 \(r=2\)。
(b)(ii) 1M 建立不等式 \(12(2^n-1) > 10^6\)；1M 利用對數解不等式；1A 求得 \(n = 17\)。

(a) 由於 \(x-2\) 是 \(P(x)\) 的因式，根據因式定理，\(P(2) = 0\)，得 \(16 + 4p + 2q - 10 = 0 \implies 2p + q = -3\)。由於 \(P(x)\) 除以 \(x+1\) 的餘數為 \(-9\)，根據餘數定理，\(P(-1) = -9\)，得 \(-2 + p - q - 10 = -9 \implies p - q = 3\)。聯立求解以上方程，得 \(p = 0\) 及 \(q = -3\)。(b) 將其代入，得 \(P(x) = 2x^3 - 3x - 10 = 0\)。由於 \(x=2\) 是其中一個根，利用多項式除法可得 \(2x^3 - 3x - 10 = (x-2)(2x^2 + 4x + 5) = 0\)。對於二次方程 \(2x^2 + 4x + 5 = 0\)，其判別式為 \(\Delta = 4^2 - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0\)。由於 \(\Delta < 0\)，此二次方程沒有實根。因此，\(x = 2\) 是方程 \(P(x) = 0\) 唯一的實根。

(a) 1M 應用因式定理 P(2)=0，1M 應用餘數定理 P(-1)=-9，1A 求得 p=0 及 q=-3。 (b) 1M 進行多項式除法得出 2x^2 + 4x + 5，1A 得出 x=2 或因式分解形式，1M 計算判別式，1A 由於判別式為負值，結論指出只有一個實根。

(a) 直線 \(L\) 的方程為 \(y = mx \implies mx - y = 0\)。圓 \(C\) 可寫為 \((x-5)^2 + y^2 = 9\)，其圓心為 \(G(5, 0)\)，半徑為 \(R = 3\)。由於 \(L\) 與 \(C\) 相切，由 \(G\) 到 \(L\) 的垂直距離等於半徑 \(R\)。因此，\(\frac{|5m - 0|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3 \implies |5m| = 3\sqrt{m^2 + 1} \implies 25m^2 = 9(m^2 + 1) \implies 16m^2 = 9\)。因此，\(m = \pm \frac{3}{4}\)。(b) 由於 \(OA\) 及 \(OB\) 分別與圓 \(C\) 切於 \(A\) 及 \(B\)，我們有 \(\angle OAG = \angle OBG = 90^\circ\)。因此，\(OAGB\) 為對角互補的四邊形（共圓四邊形），且 \(OG\) 必為穿過 \(O\)、\(A\) 及 \(B\) 的圓的直徑。該新圓的圓心為 \(OG\) 的中點，即 \((2.5, 0)\)，其半徑為 \(\frac{5}{2} = 2.5\)。因此，該圓的方程為 \((x-2.5)^2 + y^2 = 2.5^2 \implies x^2 - 5x + 6.25 + y^2 = 6.25 \implies x^2 + y^2 - 5x = 0\)。

(a) 1M 設出直線方程，1M 應用圓心到直線距離等於半徑，1A 導出 16m^2 = 9，1A 求得 m = 3/4 或 -3/4。 (b) 1M 識別出 OG 為該圓之直徑，1M 求新圓之圓心及半徑，1A 求得最終方程 x^2 + y^2 - 5x = 0。

(a) 設這 8 個數據為 \(x_1, x_2, \dots, x_8\)。平均值 \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{8} = 15 \implies \sum x_i = 120\)。標準差 \(\sigma = 4\)，因此方差 \(\sigma^2 = 16\)。利用 \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{8} - \bar{x}^2\)，我們有 \(16 = \frac{\sum x_i^2}{8} - 15^2 \implies \frac{\sum x_i^2}{8} = 16 + 225 = 241 \implies \sum x_i^2 = 1928\)。(b) 當移除 9 及 21 後，新數據之和為 \(120 - 9 - 21 = 90\)。新的平均值為 \(\bar{x}' = \frac{90}{6} = 15\)。新的平方和為 \(1928 - 9^2 - 21^2 = 1928 - 81 - 441 = 1406\)。新的方差為 \((\sigma')^2 = \frac{1406}{6} - (15)^2 = \frac{703}{3} - 225 = \frac{28}{3}\)。新的標準差為 \(\sigma' = \sqrt{\frac{28}{3}} \approx 3.06\)。

(a) 1M 求得數據之和 = 120，1M 建立方差公式，1A 求得平方和 = 1928。 (b) 1A 求得新平均值 = 15，1M 求得新平方和 = 1406，1M 計算新方差，1A 求得新標準差 = 3.06（接受 3.055 至 3.060 之間的數值）。

(a) 設 \(O\) 為等邊三角形 \(ABC\) 的形心。\(\triangle ABC\) 的高為 \(12 \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\text{ cm}\)。由於 \(O\) 為形心，\(AO = \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}\)。在直角三角形 \(VOA\) 中，\(VA = \sqrt{VO^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\text{ cm} \approx 10.6\text{ cm}\)。(b) 由於 \(M\) 是 \(BC\) 的中點且 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形，故 \(AM \perp BC\)。由對稱性可知 \(VM \perp BC\)。因此，面 \(VBC\) 與底面 \(ABC\) 之間的二面角為 \(\angle VMO\)。因為 \(O\) 是形心，\(OM = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}\)。在直角三角形 \(VOM\) 中，\(\tan \angle VMO = \frac{VO}{OM} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\)。故 \(\angle VMO = \tan^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx 66.6^\circ\)。(c) 面 \(VBC\) 的最大傾斜線為 \(VM\)，且 \(VA\) 在面 \(VBC\) 上的投影落在 \(VM\) 上。因此，直線 \(VA\) 與面 \(VBC\) 之間的夾角為 \(\angle AVM\)。在 \(\triangle VAM\) 中，已知 \(VA = 4\sqrt{7}\text{ cm}\)，\(AM = 6\sqrt{3}\text{ cm}\)，且 \(VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm}\)。對 \(\triangle VAM\) 應用餘弦定理：\(\cos \angle AVM = \frac{VA^2 + VM^2 - AM^2}{2 \cdot VA \cdot VM} = \frac{112 + 76 - 108}{2 \cdot (4\sqrt{7}) \cdot (2\sqrt{19})} = \frac{80}{16\sqrt{133}} = \frac{5}{\sqrt{133}}\)。因此，\(\angle AVM = \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{133}}\right) \approx 64.3^\circ\)。

(a) 1M 求 AO 的長度，1A 求得 VA = 4\sqrt{7} cm（或 10.6 cm）。 (b) 1M 識別出所需二面角為 \angle VMO，1A 求得 66.6 度。 (c) 1M 識別出所需夾角為 \angle AVM，1M 於 \triangle VAM 應用餘弦定理，1A 求得 64.3 度。

(a) 設該等差數列的首項為 \(a\)，公差為 \(d\)。第一、第二及第五項分別為 \(a\)、\(a+d\) 及 \(a+4d\)。由於它們構成一等比數列，可得：\((a+d)^2 = a(a+4d) \implies a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad \implies d^2 = 2ad\)。由於 \(d \neq 0\)，方程兩邊除以 \(d\) 可得 \(d = 2a\)。公比為 \(r = \frac{a+d}{a} = \frac{a+2a}{a} = 3\)。(b) (i) 對於第二個等比數列，首項為 \(a\)，公比為 \(\frac{1}{r} = \frac{1}{3}\)。因為其無限項之和為 12：\(\frac{a}{1 - 1/3} = 12 \implies \frac{a}{2/3} = 12 \implies a = 8\)。(ii) 由於 \(a = 8\)，得 \(d = 2(8) = 16\)。該等差數列的首 \(n\) 項和為：\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(8) + (n-1)16] = \frac{n}{2}[16n] = 8n^2\)。我們要求 \(S_n > 2024 \implies 8n^2 > 2024 \implies n^2 > 253 \implies n > \sqrt{253} \approx 15.9\)。由於 \(n\) 必須為整數，故 \(n\) 的最小可能值為 16。

(a) 1M 建立關係式 (a+d)^2 = a(a+4d)，1M 化簡得 d = 2a，1A 求得 r = 3。 (b) 1A 求得 a = 8，1M 建立 S_n = 8n^2，1M 建立不等式 8n^2 > 2024，1A 結論指出 n 的最小可能值為 16。