2022 DSE 數學 模擬試題 | Past Paper 練習

設 \(P(x) = 3x^3 - kx^2 - 13x + 4\)，其中 \(k\) 為一常數。已知 \(P(x)\) 可被 \(3x - 1\) 整除。(a) 求 \(k\) 的值。(b) 求 \(P(x)\) 除以 \(x + 2\) 時的餘數。

點 \(A\) 的座標為 \((2, 6)\)。圓 \(C\) 的圓心為原點 \(O\) 且通過 \(A\)。(a) 求 \(C\) 的方程。(b) 求 \(C\) 在 \(A\) 的切線方程。

6 名學生的身高（以 \(\text{cm}\) 為單位）為 \(155\)、\(158\)、\(160\)、\(162\)、\(165\) 及 \(x\)。已知該群學生的平均身高為 \(161\text{ cm}\)。(a) 求 \(x\) 的值。(b) 求該 6 名學生身高的標準差，答案準確至三位有效數字。

在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 8\text{ cm}\)、\(BC = 5\text{ cm}\) 且 \(\angle ABC = 120^\circ\)。(a) 求 \(AC\) 的長度，答案準確至三位有效數字。(b) 求 \(\triangle ABC\) 的面積，以根式表示。

在一等差數列中，第 3 項為 \(14\) 且第 7 項為 \(30\)。(a) 求該數列的首項及公差。(b) 求該數列的首 \(20\) 項之和。

已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。當 \(x = 3\) 及 \(y = 16\) 時，\(z = 18\)。(a) 以 \(x\) 及 \(y\) 表示 \(z\)。(b) 若 \(x\) 增加一倍且 \(y\) 減少 \(75\%\)，求 \(z\) 的百分變化。

(a) 解複合不等式 \(3x - 5 < 7x + 11\) 及 \(\frac{5 - 2x}{3} \ge x - 5\)。(b) 寫出滿足 (a) 中複合不等式的整數的個數。

(a) 解方程 \(\log_2(x + 5) - \log_2(x - 1) = 2\)。(b) 由此，解方程 \(\log_2(2^y + 5) - \log_2(2^y - 1) = 2\)，答案以最簡形式表示。

設 \(k\) 為一常數。二次方程 \(x^2 + 2kx + (3k + 4) = 0\) 有等實根。(a) 求 \(k\) 的可能值。(b) 對於在 (a) 中求得的 \(k\) 的正值，解該二次方程。

設 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。當 \(P(x)\) 除以 \(x-2\) 時，餘數為 \(0\)。當 \(P(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(-12\)。
(a) 求 \(a\) 及 \(b\)。 (4分)
(b) 設 \(Q(x) = P(x) + k\)。有人聲稱若 \(k = 12\)，則 \(Q(x) = 0\) 的所有根均為實根。你是否同意？解釋你的答案。 (3分)

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 20 = 0\)。
(a) 求 \(C\) 的圓心坐標及半徑。 (2分)
(b) 一條斜率為 \(m > 1\) 的直線 \(L\) 通過原點 \(O(0,0)\) 且與 \(C\) 切於點 \(P\)。
(i) 求 \(m\) 的值。
(ii) 由此，求 \(P\) 的坐標。 (5分)

一組 8 個正數的平均值為 \(15\)，標準差為 \(4\)。
(a) 求這 8 個數的和，以及這 8 個數的平方和。 (3分)
(b) 將另外兩個數 \(x\) 及 \(y\) 加入該組數據中。已知 \(x + y = 30\) 且該 10 個數的新標準差為 \(\sqrt{17.8}\)。求 \(x\) 及 \(y\) 的值。 (4分)

在四邊形 \(ABCD\) 中，\(AB = 10\text{ cm}\)、\(\angle ABC = 120^\circ\)、\(BC = 6\text{ cm}\)、\(CD = 8\text{ cm}\)、\(\angle CAD = 30^\circ\)，且 \(AD > CD\)。
(a) 求 \(AC\) 的長度。 (3分)
(b) 求 \(angle ADC\) 的兩個可能值，準確至最接近的單小數位。 (4分)

一等差數列的第 3 項為 \(15\)，第 7 項為 \(39\)。
(a) 求該數列的首項及公差。 (2分)
(b) 設 \(T_n\) 為該等差數列的首 \(n\) 項和。另一等比數列 \(g_n\) 的首項為 \(b\)，公比為 \(r > 0\)。已知 \(g_1 = T_2\) 且 \(g_3 = T_4\)。
(i) 求 \(b\) 及 \(r\)。
(ii) 求最小的 \(n\) 值，使得 \(g_n\) 的首 \(n\) 項和超過 \(10^6\)。 (5分)

設 \(P(x) = 2x^3 + px^2 + qx - 10\)，其中 \(p\) 及 \(q\) 為常數。已知 \(x-2\) 是 \(P(x)\) 的因式。當 \(P(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(-9\)。(a) 求 \(p\) 及 \(q\)。（3分） (b) 解方程 \(P(x) = 0\)。證明該方程只有一個實根。（4分）

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0\)。(a) 設 \(L\) 為穿過原點 \(O(0,0)\) 且斜率為 \(m\) 的直線。若 \(L\) 與 \(C\) 相切，求 \(m\) 的兩個可能值。（4分） (b) 設 \(L_1\) 及 \(L_2\) 分別為 (a) 中斜率為正及斜率為負的兩條切線。若 \(L_1\) 及 \(L_2\) 分別與 \(C\) 切於點 \(A\) 及 \(B\)，求穿過 \(O\)、 \(A\) 及 \(B\) 的圓的方程。（3分）

一組 8 個數據的平均值為 15，標準差為 4。(a) 求這 8 個數據的和，以及它們的平方和。（3分） (b) 若從該組數據中移除兩個數據 9 及 21，求餘下 6 個數據的平均值及標準差。（標準差須精確至二位小數。）（4分）

在四面體 \(VABC\) 中，底面 \(ABC\) 是一個邊長為 \(12\text{ cm}\) 的等邊三角形。\(V\) 垂直於底面 \(ABC\) 的中心 \(O\) 之正上方，且高度 \(VO\) 為 \(8\text{ cm}\)。(a) 求斜棱 \(VA\) 的長度。（2分） (b) 設 \(M\) 為 \(BC\) 的中點。求面 \(VBC\) 與底面 \(ABC\) 之間的二面角。（2分） (c) 求直線 \(VA\) 與面 \(VBC\) 之間的夾角。（3分）（如有需要，答案須精確至一位小數。）

某公差不為零的等差數列之第一、第二及第五項依序構成一等比數列的首三項，其公比為 \(r\)。(a) 以首項 \(a\) 表示公差 \(d\)，並求 \(r\) 的值。（3分） (b) 已知該等差數列的首 \(n\) 項和為 \(S_n\)。對於另一首項為 \(a\) 且公比為 \(\frac{1}{r}\) 的等比數列，其無限項之和為 12。(i) 求 \(a\) 的值。(ii) 求 \(n\) 的最小自然數值使得 \(S_n > 2024\)。（4分）