2023 DSE 數學 答案詳解與評分準則

根據因式定理，由於 \( p(x) \) 可被 \( 3x - 4 \) 整除，可得 \( p\left(\frac{4}{3}\right) = 0 \)。將 \( x = \frac{4}{3} \) 代入 \( p(x) \)，得 \( 3\left(\frac{4}{3}\right)^3 - h\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{4}{3}\right) + 12 = 0 \)。化簡得 \( \frac{64}{9} - \frac{16h}{9} - \frac{20}{3} + 12 = 0 \)。方程兩邊同乘以 9，得 \( 64 - 16h - 60 + 108 = 0 \)，即 \( 112 - 16h = 0 \)。因此，\( h = 7 \)。

設 \( p\left(\frac{4}{3}\right) = 0 \)（或同等步驟）：1M；化簡至含 \( h \) 的線性方程，例如 \( 112 - 16h = 0 \)：1M；求得 \( h = 7 \)：1A。

設 \( y = k_1 + k_2 x^2 \)，其中 \( k_1 \) 及 \( k_2 \) 為非零常數。當 \( x = 2 \) 時，\( y = 18 \)，得 \( 18 = k_1 + 4k_2 \)（方程 1）。當 \( x = 3 \) 時，\( y = 33 \)，得 \( 33 = k_1 + 9k_2 \)（方程 2）。以方程 2 減去方程 1，可得 \( 5k_2 = 15 \)，即 \( k_2 = 3 \)。將 \( k_2 = 3 \) 代入方程 1，可得 \( 18 = k_1 + 12 \)，即 \( k_1 = 6 \)。因此，關係式為 \( y = 6 + 3x^2 \)。當 \( x = 4 \) 時，\( y = 6 + 3(4^2) = 6 + 48 = 54 \)。

寫出 \( y = k_1 + k_2 x^2 \)：1M；求得 \( k_1 = 6 \) 及 \( k_2 = 3 \)：1M；求得 \( y = 54 \)：1A。

設原先的 7 個數據為 \( x_1, x_2, \dots, x_7 \)。由於原平均值為 12 且加入的數值為 12，新平均值 \( \mu' \) 保持為 12。原數據組的方差為 \( 4^2 = 16 \)。利用方差公式，偏差平方和為 \( \sum_{i=1}^7 (x_i - 12)^2 = 16 \times 7 = 112 \)。當加入數值 12 後，新偏差平方和為 \( \sum_{i=1}^7 (x_i - 12)^2 + (12 - 12)^2 = 112 + 0 = 112 \)。新方差為新偏差平方和除以新數據總個數（8）：\( \sigma'^2 = \frac{112}{8} = 14 \)。因此，新標準差為 \( \sqrt{14} \)。

求得原偏差平方和為 112（或同等步驟）：1M；求得新方差為 14（或同等步驟）：1M；求得新標準差為 \( \sqrt{14} \)：1A。

(a) 由於 \(2x - 1\) 是 \(f(x)\) 的因式，根據因式定理，我們有：
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)
\(2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - k\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 13\left(\frac{1}{2}\right) + 6 = 0\)
\(\frac{1}{4} - \frac{k}{4} - \frac{13}{2} + 6 = 0\)
\(1 - k - 26 + 24 = 0\)
\(k = -1\)

(b) 由於 \(k = -1\)，得 \(f(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6\)。
將 \(f(x)\) 除以 \(2x - 1\)，可得：
\(f(x) = (2x - 1)(x^2 + x - 6)\)
\(f(x) = (2x - 1)(x + 3)(x - 2)\)

(a)
- 寫出 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)（或代入 \(x = \frac{1}{2}\) 以求解）[1M]
- \(k = -1\) [1A]
(b)
- 寫出 \(f(x) = (2x - 1)(x^2 + x - 6)\) 或求得二次因式 [1M]
- 答對 \((2x - 1)(x + 3)(x - 2)\) [1A]

(a) 設 \(z = a + \frac{b}{y^2}\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為非零常數。
代入 \(y = 2, z = 11\)，可得：
\(11 = a + \frac{b}{4} \Rightarrow 4a + b = 44\) --- (1)
代入 \(y = 4, z = 5\)，可得：
\(5 = a + \frac{b}{16} \Rightarrow 16a + b = 80\) --- (2)
由 (2) 減去 (1)，可得：
\(12a = 36 \Rightarrow a = 3\)
將 \(a = 3\) 代入 (1)，可得：
\(4(3) + b = 44 \Rightarrow b = 32\)
因此，\(z = 3 + \frac{32}{y^2}\)。

(b) 當 \(y = \frac{1}{2}\) 時：
\(z = 3 + \frac{32}{(1/2)^2} = 3 + \frac{32}{1/4} = 3 + 128 = 131\)。

(a)
- 設 \(z = a + \frac{b}{y^2}\) [1M]
- 建立聯立線性方程組 [1M]
- 答對 \(z = 3 + \frac{32}{y^2}\) [1A]
(b)
- 答對 \(z = 131\) [1A]

(a) 圓 \(C\) 的圓心 \(M\) 的座標為：
\(M = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = (2, 4)\)。
圓 \(C\) 的半徑 \(r\) 為：
\(r = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)。
因此，\(C\) 的方程為：
\((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5^2\)
\((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\) （或 \(x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0\)）

(b) \(MB\) 的斜率為：
\(m = \frac{7 - 4}{6 - 2} = \frac{3}{4}\)。
由於在 \(B\) 的切線垂直於 \(MB\)，該切線的斜率為：
\(m' = -\frac{1}{m} = -\frac{4}{3}\)。
在 \(B(6, 7)\) 的切線方程為：
\(y - 7 = -\frac{4}{3}(x - 6)\)
\(3(y - 7) = -4(x - 6)\)
\(3y - 21 = -4x + 24\)
\(4x + 3y - 45 = 0\)

(a)
- 求得圓心 \((2, 4)\) 或半徑 \(5\) [1M]
- 答對 \((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\)（或等價形式）[1A]
(b)
- 求得切線的斜率 \(= -\frac{4}{3}\) [1M]
- 答對 \(4x + 3y - 45 = 0\)（或等價形式）[1A]

(a) 由莖葉圖可知，按升序排列的體重為：
\(42, 45, 45, 48, 51, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 65, 68\)
中位數：由於共有 15 個數據，第 8 個數據即為中位數。
中位數 = \(54\) kg
全距 = \(68 - 42 = 26\) kg
下四分位數 \(Q_1 = 48\) kg（第 4 個數據）
上四分位數 \(Q_3 = 60\) kg（第 12 個數據）
四分位距 = \(Q_3 - Q_1 = 60 - 48 = 12\) kg

(b) 若體重為 \(53\) kg 的學生離開，剩餘的 14 個數據按升序排列為：
\(42, 45, 45, 48, 51, 51, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 65, 68\)
新中位數 = \(\frac{54 + 56}{2} = 55\) kg
中位數的改變為 \(55 - 54 = 1\) kg（或中位數增加 \(1\) kg）。

(a)
- 答對中位數 = \(54\) kg [1A]
- 答對全距 = \(26\) kg [1A]
- 答對四分位距 = \(12\) kg [1A]
(b)
- 答對改變量 = \(1\) kg（或增加 \(1\) kg）[1A]

(a) 由於 \( x - 2 \) 是 \( f(x) \) 的因式，根據因式定理，可得：
\( f(2) = 0 \)
\( 2(2)^3 + k(2)^2 - 13(2) - 6 = 0 \)
\( 16 + 4k - 26 - 6 = 0 \)
\( 4k - 16 = 0 \)
\( k = 4 \)
(b) 當 \( k = 4 \) 時，\( f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 13x - 6 \)。
利用多項式除法，可得：
\( f(x) = (x - 2)(2x^2 + 8x + 3) \)
要解 \( f(x) = 0 \)：
\( (x - 2)(2x^2 + 8x + 3) = 0 \)
\( x - 2 = 0 \) 或 \( 2x^2 + 8x + 3 = 0 \)
對於 \( 2x^2 + 8x + 3 = 0 \)，利用二次公式：
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{10}}{2} \)
因此，方程的解為 \( x = 2 \)、\( x = \frac{-4 + \sqrt{10}}{2} \) 及 \( x = \frac{-4 - \sqrt{10}}{2} \)。

(a) 1M 設 \( f(2) = 0 \)；1A 得出 \( k = 4 \)。
(b) 1M 將 \( f(x) \) 因式分解為 \( (x - 2)(2x^2 + 8x + 3) \)；1M 嘗試解二次方程；1A 寫出所有三個正確的根 (接受等值的精確根式形式)。

(a) 設 \( y = a x^2 + b \)，其中 \( a \) 及 \( b \) 為非零常數。
代入 \( x = 2, y = 13 \)：
\( 13 = a(2)^2 + b \implies 4a + b = 13 \) --- (1)
代入 \( x = 4, y = 37 \)：
\( 37 = a(4)^2 + b \implies 16a + b = 37 \) --- (2)
(2) 減去 (1)：
\( 12a = 24 \implies a = 2 \)
將 \( a = 2 \) 代入 (1)：
\( 4(2) + b = 13 \implies 8 + b = 13 \implies b = 5 \)
因此，公式為 \( y = 2x^2 + 5 \)。
(b) 將 \( y = 55 \) 代入公式：
\( 55 = 2x^2 + 5 \)
\( 2x^2 = 50 \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = 5 \) 或 \( x = -5 \)

(a) 1M 建立方程 \( y = a x^2 + b \)；1M 解聯立方程求 \( a \) 及 \( b \)；1A 得出正確公式 \( y = 2x^2 + 5 \)。
(b) 1M 將 \( y = 55 \) 代入公式；1A 得出 \( x \) 的兩個正確值 (即 \( x = \pm 5 \)，若漏掉 \( x = -5 \) 扣 1 分)。

(a) 設 \(C = k_1 + \frac{k_2 h^2}{t}\)，其中 \(k_1\) 及 \(k_2\) 為非零常數。代入 \(h=10\)、\(t=4\) 及 \(C=350\)：\(350 = k_1 + \frac{k_2 (10^2)}{4} \Rightarrow 350 = k_1 + 25k_2\)。代入 \(h=6\)、\(t=3\) 及 \(C=220\)：\(220 = k_1 + \frac{k_2 (6^2)}{3} \Rightarrow 220 = k_1 + 12k_2\)。兩方程相減：\(13k_2 = 130 \Rightarrow k_2 = 10\)。將 \(k_2 = 10\) 代入第一個方程：\(350 = k_1 + 25(10) \Rightarrow k_1 = 100\)。因此，\(C = 100 + \frac{10h^2}{t}\)。當 \(h = 12\) 及 \(t = 5\) 時：\(C = 100 + \frac{10(12^2)}{5} = 100 + 288 = 388\)。所以，製作成本為 \(\$388\)。 (b) 當 \(C = 600\) 及 \(t = 8\) 時：\(600 = 100 + \frac{10h^2}{8} \Rightarrow 500 = \frac{5}{4}h^2 \Rightarrow h^2 = 400\)。由於 \(h > 0\)，得 \(h = 20\)。所以，該獎盃的高度為 \(20\text{ cm}\)。

(a) 1M 寫出 \(C = k_1 + \frac{k_2 h^2}{t}\)；1M 代入兩組數值以建立聯立線性方程組；1A 求得 \(k_1 = 100\) 及 \(k_2 = 10\)；1A 求得 \(C = 388\)。(b) 1M 代入 \(C = 600\) 及 \(t = 8\) 以求解 \(h^2\)；1A 求得 \(h = 20\) （捨去 \(h = -20\)）。

對於 (a)，根據餘數定理，我們有 \(f(2) = 0\)，得 \(2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) + 6 = 0\)，即 \(2a + b = -11\)。我們亦有 \(f(-1) = 9\)，得 \(2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 6 = 9\)，即 \(a - b = 5\)。解此聯立方程，可得 \(a = -2\) 及 \(b = -7\)。對於 (b)，該方程為 \(2x^3 - 2x^2 - 7x + 6 = 0\)。因 \(x - 2\) 為因子，我們可將 \(f(x)\) 因式分解為 \((x - 2)(2x^2 + 2x - 3) = 0\)。其餘的根由 \(2x^2 + 2x - 3 = 0\) 求得，為 \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}\)。由於這些根為無理數，故方程的實根並非全部都是有理數。因此，不同意該宣稱。

對於 (a)：\(f(2) = 0\) 或 \(f(-1) = 9\) (1M)；\(2a + b = -11\) 或 \(a - b = 5\) (1M)；\(a = -2\) 及 \(b = -7\) (2A，每個各得1分)。對於 (b)：\(2x^2 + 2x - 3 = 0\) (1M)；求得根 \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}\) 或指出判別式為 28 (1M)；解釋這些根為無理數並得出不同意的結論 (1F)。

對於 (a)，圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0\)。圓心為 \(\left(-\frac{-8}{2}, -\frac{-6}{2}\right) = (4, 3)\)。半徑為 \(\sqrt{4^2 + 3^2 - 0} = 5\)。對於 (b)，設 \(G(4, 3)\) 為 \(C\) 的圓心。設 \(M\) 為 \(AB\) 的中點。則 \(GM \perp AB\) 且 \(AM = \frac{1}{2}AB = 4\)。在直角三角形 \(GMA\) 中，\(GM = \sqrt{GA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)。由 \(G(4, 3)\) 到直線 \(L: 3x - 4y + c = 0\) 的垂直距離為 \(\frac{|3(4) - 4(3) + c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|c|}{5}\)。將此距離設為 \(3\)，我們有 \(\frac{|c|}{5} = 3\)，得 \(|c| = 15\)。因此，\(c = 15\) 或 \(c = -15\)。

對於 (a)：圓心 \((4, 3)\) (1A)；半徑 \(5\) (1A)。對於 (b)：\(AM = 4\) (1M)；\(GM = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\) (1M 用於求垂直距離)；使用距離公式 \(\frac{|3(4) - 4(3) + c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\) (1M)；將距離設為 3 (1M)；\(c = 15\) 或 \(c = -15\) (1A，全對才得分)。

對於 (a)，設 \(V = ah^2 + bh^3\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為非零常數。當 \(h = 2\) 時，\(V = 36\)，可得 \(4a + 8b = 36\)，即 \(a + 2b = 9\)。當 \(h = 3\) 時，\(V = 99\)，可得 \(9a + 27b = 99\)，即 \(a + 3b = 11\)。解聯立方程，可得 \(a = 5\) 及 \(b = 2\)。因此，公式為 \(V = 5h^2 + 2h^3\)。當 \(h = 4\) 時，\(V = 5(4)^2 + 2(4)^3 = 80 + 128 = 208\)。對於 (b)，當 \(h = 2\) 時，初始體積為 \(36\)。當 \(h = 1.5\) 時，新的體積為 \(5(1.5)^2 + 2(1.5)^3 = 11.25 + 6.75 = 18\)。體積的百分減少率為 \(\frac{36 - 18}{36} \times 100\% = 50\%\)。

對於 (a)：\(V = ah^2 + bh^3\) (1M)；代入兩組數據 (1M)；\(a = 5, b = 2\) (1A)；\(V = 208\) (1A)。對於 (b)：代入 \(h = 1.5\) 以求新體積 (1M)；新體積為 \(18\) (1A)；百分減少率為 \(50\%\) (1A)。

(a) 方法 1： 由於 \(PQ\) 的垂直平分線為 \(y = x\)，設 \(C\) 的圓心為 \(G(h, h)\)。 由於 \(G\) 在 \(2x + 3y - 15 = 0\) 上，可得 \(2h + 3h - 15 = 0\)，解得 \(5h = 15 \Rightarrow h = 3\)。 因此，圓心為 \(G(3, 3)\)。 \(C\) 的半徑為 \(r = \sqrt{(3-2)^2 + (3-8)^2} = \sqrt{26}\)。 故 \(C\) 的方程為 \((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 26\)（或 \(x^2 + y^2 - 6x - 6y - 8 = 0\)）。 方法 2： 設 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)。 由於 \(P(2, 8)\) 及 \(Q(8, 2)\) 在 \(C\) 上，可得 \(2D + 8E + F = -68\) 及 \(8D + 2E + F = -68\)。 兩式相減得 \(D = E\)。 \(C\) 的圓心為 \((-\frac{D}{2}, -\frac{D}{2})\)。 由於圓心在 \(2x + 3y - 15 = 0\) 上，可得 \(2(-\frac{D}{2}) + 3(-\frac{D}{2}) - 15 = 0\)，解得 \(D = -6\)。 因此，\(E = -6\) 及 \(F = -8\)。 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x - 6y - 8 = 0\)。 (b) 圓心為 \(G(3, 3)\)。 \(GP\) 的斜率為 \(\frac{8-3}{2-3} = -5\)。 由於 \(PR\) 為 \(C\) 於 \(P\) 的切線，因此 \(GP \perp PR\)。 故 \(PR\) 的斜率為 \(\frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}\)。 由於 \(R\) 的座標為 \((k, k+10)\)，可得 \(\frac{(k+10)-8}{k-2} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{k+2}{k-2} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5k + 10 = k - 2 \Rightarrow 4k = -12 \Rightarrow k = -3\)。

第一部分 (a): 求得 PQ 的中點 (5, 5) 或建立 D, E, F 的方程 (1M); 求得垂直平分線方程 y = x 或得出 D = E (1M); 求得圓心座標 (3, 3) 或得出 D = -6 及 E = -6 (1M); 求得正確的 C 方程 (1A)。 第二部分 (b): 求得 GP 的斜率為 -5 (1M); 利用 GP perp PR 求得 PR 的斜率為 1/5 (1M); 建立關於 k 的 PR 斜率方程 (1M); 解得 k = -3 (1A)。

(a) 其餘角事件為抽出的 3 個球皆為不同顏色（即 1 紅、1 綠及 1 藍）。
抽出 3 個不同顏色球的方法數 = \(C^5_1 \times C^4_1 \times C^3_1 = 5 \times 4 \times 3 = 60\)。
從 12 個球中抽出 3 個球的總方法數 = \(C^{12}_3 = 220\)。
抽出 3 個不同顏色球的概率 = \(\frac{60}{220} = \frac{3}{11}\)。
因此，所求的概率 = \(1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}\)。

(b) 設 \(R\)、\(G\) 及 \(B\) 分別代表紅球、綠球及藍球。
有放回地抽出 4 個球的總可能結果數為 \(12^4 = 20736\)。
若抽出球的顏色恰好改變一次，則顏色的排列順序必須為 \(XXXY\)、\(XXYY\) 或 \(XYYY\) 的形式，其中 \(X\) 和 \(Y\) 為 \(\{R, G, B\}\) 中的兩個不同顏色。
對於每對顏色，成功結果的數目為：
- 對於 \(\{R, G\}\)：
\(RGGG\)：\(5 \times 4^3 = 320\)
\(RRGG\)：\(5^2 \times 4^2 = 400\)
\(RRRG\)：\(5^3 \times 4 = 500\)
\(GRRR\)：\(4 \times 5^3 = 500\)
\(GGRR\)：\(4^2 \times 5^2 = 400\)
\(GGGR\)：\(4^3 \times 5 = 320\)
該組總數 = 2440。
- 對於 \(\{R, B\}\)：
\(RBBB\)：\(5 \times 3^3 = 135\)
\(RRBB\)：\(5^2 \times 3^2 = 225\)
\(RRRB\)：\(5^3 \times 3 = 375\)
\(BRRR\)：\(3 \times 5^3 = 375\)
\(BBRR\)：\(3^2 \times 5^2 = 225\)
\(BBBR\)：\(3^3 \times 5 = 135\)
該組總數 = 1470。
- 對於 \(\{G, B\}\)：
\(GBBB\)：\(4 \times 3^3 = 108\)
\(GGBB\)：\(4^2 \times 3^2 = 144\)
\(GGGB\)：\(4^3 \times 3 = 192\)
\(BGGG\)：\(3 \times 4^3 = 192\)
\(BBGG\)：\(3^2 \times 4^2 = 144\)
\(BBBG\)：\(3^3 \times 4 = 108\)
該組總數 = 888。

總成功結果數 = \(2440 + 1470 + 888 = 4798\)。
所求的概率 = \(\frac{4798}{20736} = \frac{2399}{10368}\)。

(a) 1M 代表寫出 \(1 - \frac{C^5_1 C^4_1 C^3_1}{C^{12}_3}\) 或等價式；1A 代表求得 \(\frac{8}{11}\)（或等價小數如 0.727）。
(b) 1M 代表識別出恰好改變一次的模式（例如列出所有可能情況或寫出含 3 種情況的概率算式）；1A 代表求得 \(\frac{2399}{10368}\)（或等價小數如 0.231）。

(a) 設 \(C\) 的圓心為 \(G(h, k)\)。
由於 \(G\) 在 \(L: x - y - 1 = 0\) 上，我們有：
\(h - k - 1 = 0 \implies h = k + 1\) --- (1)

由於 \(A(2, 8)\) 及 \(B(6, 0)\) 在 \(C\) 上，由 \(G\) 至 \(A\) 與 \(B\) 的距離相等：
\(GA^2 = GB^2\)
\((h - 2)^2 + (k - 8)^2 = (h - 6)^2 + k^2\) --- (2)

將 (1) 代入 (2)：
\((k + 1 - 2)^2 + (k - 8)^2 = (k + 1 - 6)^2 + k^2\)
\((k - 1)^2 + (k - 8)^2 = (k - 5)^2 + k^2\)
\(k^2 - 2k + 1 + k^2 - 16k + 64 = k^2 - 10k + 25 + k^2\)
\(2k^2 - 18k + 65 = 2k^2 - 10k + 25\)
\(-18k + 65 = -10k + 25\)
\(8k = 40\)
\(k = 5\)

將 \(k = 5\) 代入 (1)：
\(h = 5 + 1 = 6\)
所以，\(C\) 的圓心為 \(G(6, 5)\)。

半徑 \(r\) 為：
\(r = \sqrt{(6 - 6)^2 + (5 - 0)^2} = 5\)

因此，\(C\) 的方程為：
\((x - 6)^2 + (y - 5)^2 = 25\) （或 \(x^2 + y^2 - 12x - 10y + 36 = 0\)）

(b) 由於切線與 \(L: x - y - 1 = 0\) 平行，設切線方程為 \(x - y + c = 0\)。
由圓心 \(G(6, 5)\) 到切線的垂直距離等於半徑 \(r = 5\)：

\(\frac{|6 - 5 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 5\)
\(\frac{|1 + c|}{\sqrt{2}} = 5\)
\(|1 + c| = 5\sqrt{2}\)
\(1 + c = 5\sqrt{2}\) 或 \(1 + c = -5\sqrt{2}\)
\(c = 5\sqrt{2} - 1\) 或 \(c = -5\sqrt{2} - 1\)

因此，切線的方程為：
\(x - y + 5\sqrt{2} - 1 = 0\) 及 \(x - y - 5\sqrt{2} - 1 = 0\)。

(a)
- 1M: 建立距離方程 \(GA = GB\) （或將點代入一般式並建立關於 \(D, E, F\) 的聯立方程）。
- 1M: 求得圓心 \(G(6, 5)\) （或求得 \(D = -12\)、\(E = -10\) 及 \(F = 36\)）。
- 1A: 寫出正確的 \(C\) 的方程：\((x - 6)^2 + (y - 5)^2 = 25\) （或等價形式）。

(b)
- 1M: 利用圓心至直線距離等於半徑，即 \(\frac{|1+c|}{\sqrt{2}} = 5\)，或代入 \(y = x+c\) 入圓方程並設判別式 \(\Delta = 0\)。
- 1A: 寫出正確方程：\(x - y + 5\sqrt{2} - 1 = 0\) 及 \(x - y - 5\sqrt{2} - 1 = 0\) （或等價形式，如 \(x - y - 1 \pm 5\sqrt{2} = 0\)）。

**甲部 (a)**

**方法 1：**
設 \(C\) 的圓心為 \(G(h, k)\)。
由於 \(G(h, k)\) 位於 \(L\) 上，我們有 \(h - k - 1 = 0\)，得 \(h = k + 1\)。
因為 \(C\) 通過 \(A(0, 8)\) 及 \(B(6, 0)\)，圓心 \(G\) 到 \(A\) 的距離與到 \(B\) 的距離相等 (\(GA = GB\))：
\(GA^2 = GB^2\)
\((h - 0)^2 + (k - 8)^2 = (h - 6)^2 + (k - 0)^2\)
將 \(h = k + 1\) 代入：
\((k + 1)^2 + (k - 8)^2 = (k - 5)^2 + k^2\)
\(k^2 + 2k + 1 + k^2 - 16k + 64 = k^2 - 10k + 25 + k^2\)
\(2k^2 - 14k + 65 = 2k^2 - 10k + 25\)
\(-14k + 65 = -10k + 25\)
\(4k = 40 \implies k = 10\)
由此得 \(h = 10 + 1 = 11\)。
所以 \(C\) 的圓心為 \(G(11, 10)\)。
半徑的平方為 \(R^2 = (11 - 0)^2 + (10 - 8)^2 = 121 + 4 = 125\)。
\(C\) 的方程為：
\((x - 11)^2 + (y - 10)^2 = 125\) (或 \(x^2 + y^2 - 22x - 20y + 96 = 0\))。

**方法 2：**
\(AB\) 的中點為 \(M\left(\frac{0+6}{2}, \frac{8+0}{2}\right) = (3, 4)\)。
\(AB\) 的斜率為 \(m_{AB} = \frac{0 - 8}{6 - 0} = -\frac{4}{3}\)。
\(AB\) 垂直平分線的斜率為 \(m = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{3}{4}\)。
\(AB\) 垂直平分線的方程為：
\(y - 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \implies 3x - 4y + 7 = 0\)。
\(C\) 的圓心為該垂直平分線與 \(L: x - y - 1 = 0\) 的交點：
\(\begin{cases} 3x - 4y + 7 = 0 \\ x - y - 1 = 0 \end{cases}\)
由第二個方程得 \(x = y + 1\)。代入第一個方程：
\(3(y + 1) - 4y + 7 = 0 \implies -y + 10 = 0 \implies y = 10\).
因此 \(x = 11\)。
所以 \(C\) 的圓心為 \(G(11, 10)\)。
\(C\) 的半徑為 \(R = \sqrt{(11 - 0)^2 + (10 - 8)^2} = \sqrt{125}\)。
\(C\) 的方程為 \((x - 11)^2 + (y - 10)^2 = 125\)。

---

**乙部 (b)**

**方法 1：**
由於 \(L_1\) 平行於 \(L: x - y - 1 = 0\)，可設 \(L_1\) 的方程為 \(x - y + c = 0\)，其中 \(y\) 軸截距為 \(c\)。
因為 \(L_1\) 與 \(C\) 相切，圓心 \(G(11, 10)\) 到 \(L_1\) 的垂直距離等於半徑 \(R = \sqrt{125}\)。
\(\frac{|11 - 10 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{125}\)
\(\frac{|1 + c|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{5}\)
\(|1 + c| = 5\sqrt{10}\)
\(1 + c = \pm 5\sqrt{10}\)
\(c = -1 \pm 5\sqrt{10}\)
所以 \(L_1\) 的 \(y\) 軸截距為 \(-1 + 5\sqrt{10}\) 及 \(-1 - 5\sqrt{10}\) (或寫成 \(-1 \pm 5\sqrt{10}\))。

**方法 2：**
設 \(L_1\) 的方程為 \(y = x + c\)。
將 \(y = x + c\) 代入 \(C\) 的方程：
\(x^2 + (x+c)^2 - 22x - 20(x+c) + 96 = 0\)
\(2x^2 + (2c - 42)x + (c^2 - 20c + 96) = 0\)
因為 \(L_1\) 與 \(C\) 相切，判別式 \(\Delta = 0\)：
\((2c - 42)^2 - 4(2)(c^2 - 20c + 96) = 0\)
\(4(c - 21)^2 - 8(c^2 - 20c + 96) = 0\)
\(c^2 - 42c + 441 - 2(c^2 - 20c + 96) = 0\)
\(-c^2 - 2c + 249 = 0\)
\(c^2 + 2c - 249 = 0\)
\(c = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-249)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{1000}}{2} = -1 \pm 5\sqrt{10}\)。
所以 \(y\) 軸截距為 \(-1 \pm 5\sqrt{10}\)。

**(a)**
- 設圓心為 \( (k+1, k) \) 或 求得中點 \( (3, 4) \) 及垂直平分線斜率 \( \frac{3}{4} \) [1M]
- 建立距離相等方程 或 建立垂直平分線方程並組成方程組 [1M]
- 求得圓心 \( (11, 10) \) [1A]
- 求得 \( C \) 的方程：\( (x - 11)^2 + (y - 10)^2 = 125 \) 或 \( x^2 + y^2 - 22x - 20y + 96 = 0 \) (接受等值形式) [1A]

**(b)**
- 建立相切距離公式 \( \frac{|11 - 10 + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{125} \) 或 將 \( y = x + c \) 代入圓方程並設 \( \Delta = 0 \) [1M]
- 求得正確的 \( y \) 軸截距：\( -1 \pm 5\sqrt{10} \) (接受 \( -1 + 5\sqrt{10} \) 及 \( -1 - 5\sqrt{10} \)) [1A]

(a) 設 \(C\) 的圓心為 \(G(h, 2h-7)\)。
由於 \(C\) 通過 \(A(6,0)\) 及 \(B(-1,-7)\)，可得 \(GA = GB\)。
\(GA^2 = GB^2\)
\((h-6)^2 + (2h-7-0)^2 = (h-(-1))^2 + (2h-7-(-7))^2\)
\((h-6)^2 + (2h-7)^2 = (h+1)^2 + (4h^2)\)
\(h^2 - 12h + 36 + 4h^2 - 28h + 49 = h^2 + 2h + 1 + 4h^2\)
\(5h^2 - 40h + 85 = 5h^2 + 2h + 1\)
\(-42h = -84\)
\(h = 2\)
因此，\(C\) 的圓心為 \(G(2, 2(2)-7) = (2, -3)\)。
\(C\) 的半徑為 \(R = \sqrt{(2-6)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16+9} = 5\)。
故 \(C\) 的方程為：
\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\) （或 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\)）

(b) 由於 \(L_2: 3x - 4y + k = 0\) 為 \(C\) 的切線，圓心 \(G(2, -3)\) 至 \(L_2\) 的垂直距離等於半徑 \(5\)。
\(\frac{|3(2) - 4(-3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5\)
\(\frac{|6 + 12 + k|}{5} = 5\)
\(|18 + k| = 25\)
\(18 + k = 25\) 或 \(18 + k = -25\)
\(k = 7\) 或 \(k = -43\)

(a)
- 1M: 利用 \((h, 2h-7)\) 建立距離方程 \(GA^2 = GB^2\)
- 1M: 展開並化簡該二次方程至一次方程
- 1A: 求得圓心 \((2, -3)\) 或等價坐標
- 1A: 求得正確的圓方程（標準式或一般式皆可）

(b)
- 1M: 利用圓心至直線的垂直距離公式
- 1M: 將該距離設為等於圓的半徑
- 1M: 展開絕對值建立兩個一次方程
- 1A: 求得兩個正確的 \(k\) 值：\(k = 7\) 及 \(k = -43\)

(a) 重寫 \(C\) 的方程：
\(x^2 - 12x + 36 + y^2 - 16y + 64 = -64 + 36 + 64\)
\((x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 6^2\)
因此，\(C\) 的圓心為 \(G(6, 8)\) 且半徑為 \(6\)。

(b)(i) 距離 \(GP = \sqrt{(14 - 6)^2 + (14 - 8)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\)。
由於距離 \(GP = 10\) 大於半徑 \(6\)，因此 \(P\) 位於 \(C\) 以外。

(b)(ii) 設通過 \(P(14, 14)\) 且斜率為 \(m\) 的切線方程為：
\(y - 14 = m(x - 14) \implies mx - y + 14 - 14m = 0\)。
由 \(G(6, 8)\) 至切線的垂直距離等於半徑 \(6\)：
\(\frac{|6m - 8 + 14 - 14m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 6\)
\(|6 - 8m| = 6\sqrt{m^2 + 1}\)
\(|3 - 4m| = 3\sqrt{m^2 + 1}\)
\((3 - 4m)^2 = 9(m^2 + 1)\)
\(9 - 24m + 16m^2 = 9m^2 + 9\)
\(7m^2 - 24m = 0 \implies m(7m - 24) = 0\)
因此，\(m = 0\) 或 \(m = \frac{24}{7}\)。
切線方程為：
當 \(m = 0\) 時：\(y = 14\)
當 \(m = \frac{24}{7}\) 時：\(y - 14 = \frac{24}{7}(x - 14) \implies 24x - 7y - 238 = 0\)。

(c)(i) 由於 \(GQ_1 \perp PQ_1\)，\(\triangle GQ_1P\) 為直角三角形。
\(GQ_1 = 6\) （半徑）且 \(GP = 10\)。
\(PQ_1 = \sqrt{GP^2 - GQ_1^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\)。
\(\triangle GQ_1P\) 的面積 \(= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\)。
由於 \(\triangle GQ_1P \cong \triangle GQ_2P\)，四邊形 \(GQ_1PQ_2\) 的面積 \(= 2 \times 24 = 48\)。

(c)(ii) 由於 \(\angle GQ_1P = \angle GQ_2P = 90^\circ\)，四邊形 \(GQ_1PQ_2\) 共圓，且 \(GP\) 為其外接圓的直徑。
因此，\(\triangle GQ_1Q_2\) 的外接圓 \(C'\) 亦是以 \(GP\) 為直徑的圓。
\(C'\) 的圓心為 \(GP\) 的中點：
\(\left(\frac{6 + 14}{2}, \frac{8 + 14}{2}\right) = (10, 11)\)。
\(C'\) 的半徑為 \(\frac{GP}{2} = 5\)。
因此，\(C'\) 的方程為：
\((x - 10)^2 + (y - 11)^2 = 25\) （或 \(x^2 + y^2 - 20x - 22y + 196 = 0\)）。

(a) 圓心 = (6, 8) [1M]
半徑 = 6 [1A]

(b)(i) 正確計算 GP = 10 並與半徑 6 作比較以得出結論 [1M/A]

(b)(ii) 設斜率為 m 且寫出切線的線性方程 [1M]
使用圓心 G 到切線的距離 = 半徑之公式 [1M]
解出 m = 0 或 m = 24/7 [1A]
得出兩條正確的切線方程：y = 14 及 24x - 7y - 238 = 0 [1A]

(c)(i) 求得切線長度 PQ1 = 8 [1M]
求得四邊形面積 = 48 [1A]

(c)(ii) 指出 GP 為 C' 的直徑 [1M]
求得圓心 = (10, 11) 及半徑 = 5 [1M]
求得 C' 的方程：(x-10)^2 + (y-11)^2 = 25 （或一般式） [1A]

設原數據為 \(x_i\)。新數據為 \(y_i = -3x_i + 5\)。由於加上常數不會改變離差度量（全距、四分位距、方差），而乘以因子 \(c\) 會使全距和四分位距乘以 \(|c|\)，方差乘以 \(c^2\)。因此：新全距 = \(|-3|R = 3R\)，新四分位距 = \(|-3|I = 3I\)，新方差 = \((-3)^2 V = 9V\)。

1 分：正確指出在線性變換下，全距、四分位距及方差的縮放因子。

對於聲明 I：在 B 組中，由於 \(Q_3 = 70\)，約 25% 的學生（即 10 名學生）得分在 70 分或以上。在 A 組中，\(Q_3 = 75\)，這意味著至少有 10 名學生得分在 75 分或以上，因此 A 組中得分在 70 分或以上的人數可能大於或等於 10（例如，若有學生得分介乎 70 至 75 分）。因此，I 不一定正確。對於聲明 II：A 組的全距 = \(95 - 20 = 75\)，B 組的全距 = \(90 - 30 = 60\)。由於 \(75 > 60\)，II 必為正確。對於聲明 III：A 組的四分位距 = \(75 - 45 = 30\)，B 組的四分位距 = \(70 - 50 = 20\)。由於 \(30 > 20\)，III 必為正確。

1 分：正確分析所有三個聲明。

設原 10 個數字為 \(x_1, \dots, x_{10}\)。由於平均值為 15，\(\sum x_i = 150\)。加入 11 及 19 後的新平均值為 \(\frac{150 + 11 + 19}{12} = 15\)，保持不變。原方差為 \(4^2 = 16\)，故 \(\frac{\sum x_i^2}{10} - 15^2 = 16 \implies \sum x_i^2 = 10 \times (225 + 16) = 2410\)。新的平方和為 \(2410 + 11^2 + 19^2 = 2410 + 121 + 361 = 2892\)。新方差為 \(\frac{2892}{12} - 15^2 = 241 - 225 = 16\)。因此，新標準差為 \(\sqrt{16} = 4\)。

1 分：求得正確的新標準差。

圓 \(C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) 的圓心為 \((2, -3)\)。直線 \(3x - 4y + 5 = 0\) 的斜率為 \(\frac{3}{4}\)。由於 \(L\) 垂直於該直線，\(L\) 的斜率為 \(-\frac{4}{3}\)。利用點斜式，\(L\) 的方程為 \(y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 2) \implies 3(y+3) = -4(x-2) \implies 4x + 3y + 1 = 0\)。

1 分：求得正確的直線方程。

圓為 \(x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0\)。其圓心為 \((1, 1)\) 且半徑為 \(r = \sqrt{1^2 + 1^2 - (-7)} = 3\)。由於直線 \(3x - 4y + k = 0\) 與圓相切，由圓心 \((1, 1)\) 到該直線的垂直距離等於半徑 \(3\)。因此，\(\frac{|3(1) - 4(1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 3 \implies \frac{|k - 1|}{5} = 3 \implies |k - 1| = 15 \implies k - 1 = 15 \text{ 或 } k - 1 = -15\)。得 \(k = 16\) 或 \(k = -14\)。

1 分：求得正確的 \(k\) 值。

由於 \(AB\) 是 \(C\) 的直徑，圓心為 \(AB\) 的中點，即 \((3, -2)\)。半徑平方為 \(r^2 = (3-1)^2 + (-2-2)^2 = 20\)。\(C\) 的方程為 \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 20 \implies x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0\)。因此，I 正確。對於 II：原點 \((0,0)\) 到圓心 \((3, -2)\) 的距離平方為 \(3^2 + (-2)^2 = 13 < r^2 = 20\)，故原點位於 \(C\) 的內部。因此，II 正確。對於 III：將圓心 \((3, -2)\) 代入 \(y = 2x - 8\)：左方 = \(-2\)，右方 = \(2(3) - 8 = -2\)。由於左方 = 右方，該直線通過圓心。因此，III 正確。

1 分：證明所有三個聲明均為正確。

由 \(P(1) = -8\)，可得 \(1 + a + b - 6 = -8 \implies a + b = -3\)。因 \(x+1\) 為因式，\(P(-1) = 0 \implies -1 + a - b - 6 = 0 \implies a - b = 7\)。解此聯立方程得 \(a = 2\) 及 \(b = -5\)。因此，\(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)。當 \(P(x)\) 除以 \(x-3\) 時的餘數為 \(P(3) = 3^3 + 2(3^2) - 5(3) - 6 = 27 + 18 - 15 - 6 = 24\)。

1 分：求得正確的餘數。

求最小公倍數（LCM）：對於常數系數 12、18 及 8，最小公倍數為 72。對於變數，我們取在任何一個式子中出現的每個底數之最高次數：\(x\) 的最高次數為 \(x^3\)，\(y\) 的最高次數為 \(y^3\)，\(z\) 的最高次數為 \(z\)，\((z-1)\) 的最高次數為 \((z-1)^2\)。因此，最小公倍數為 \(72x^3 y^3 z (z - 1)^2\)。

1 分：求得正確的最小公倍數。

設 \(z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}}\)。當 \(x\) 增加 20% 且 \(y\) 減少 36% 時，新值為 \(x' = 1.2x\) 且 \(y' = 0.64y\)。新 \(z\) 值為 \(z' = \frac{k (1.2x)^2}{\sqrt{0.64y}} = \frac{1.44 k x^2}{0.8 \sqrt{y}} = 1.8 z\)。因此，\(z\) 增加了 \((1.8 - 1) \times 100\% = 80\%\)。

1 分：求得正確的百分變化。

設 \(u = k_1 v + k_2 v^2\)。當 \(v = 2\) 時，\(10 = 2k_1 + 4k_2 \implies k_1 + 2k_2 = 5\)。當 \(v = 3\) 時，\(21 = 3k_1 + 9k_2 \implies k_1 + 3k_2 = 7\)。解此方程組，得 \(k_2 = 2\) 及 \(k_1 = 1\)。因此 \(u = v + 2v^2\)。當 \(v = 5\) 時，\(u = 5 + 2(5^2) = 55\)。

1 分：求得正確的 \(u\) 值。

設餘數為 \(ax + b\)。由於 \(2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2)\)，我們可以寫成 \(f(x) = Q(x)(2x+1)(x-2) + ax + b\)。根據餘數定理：\(f(2) = 2a + b = 5\) 及 \(f(-1/2) = -a/2 + b = -5\)。解聯立線性方程，得 \(a = 4\) 及 \(b = -3\)。因此，餘數為 \(4x-3\)。

方法分：設餘數為 \(ax+b\) 並應用餘數定理建立方程得 1 分。準確分：求得正確的係數及最終餘數得 1 分。

設 \(z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}}\)，其中 \(k\) 為非零常數。設 \(x' = 0.9x\) 及 \(y' = 1.44y\)。新值 \(z' = \frac{k (0.9x)^2}{\sqrt{1.44y}} = \frac{0.81 k x^2}{1.2 \sqrt{y}} = 0.675 z\)。\(z\) 的百分變化為 \((0.675 - 1) \times 100\% = -32.5\%\)，即減少了 \(32.5\%\)。

方法分：利用原始變量表示 \(z'\) 並求得因子 \(0.675\) 得 1 分。準確分：確定其為減少 \(32.5\%\) 得 1 分。

\(PQ\) 的中點為 \((3, 4)\)。\(PQ\) 的斜率為 \(\frac{0-8}{6-0} = -\frac{4}{3}\)。\(PQ\) 的垂直平分線方程為 \(y - 4 = \frac{3}{4}(x-3)\)，化簡得 \(3x - 4y + 7 = 0\)。圓心為 \(3x - 4y + 7 = 0\) 與 \(x + y - 7 = 0\) 的交點。解方程得圓心 \(H(3, 4)\)。半徑 \(R = \sqrt{(3-0)^2 + (4-8)^2} = 5\)。因此，\(C\) 的方程為 \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 25\)，即 \(x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0\)。

方法分：求得 \(PQ\) 的垂直平分線及圓心得 1 分。準確分：求得正確的最終圓方程得 1 分。

對於原來的 10 個數據：\(\sum x_i = 10 \times 50 = 500\)。由於 \(\sigma^2 = 64\)，可得 \(\sum x_i^2 = 10(64 + 50^2) = 25640\)。加入 42 和 58 後：新總和為 \(500 + 42 + 58 = 600\)，因此新平均值為 \(600/12 = 50\)。新平方和為 \(25640 + 42^2 + 58^2 = 30768\)。新方差為 \(\sigma'^2 = \frac{30768}{12} - 50^2 = 2564 - 2500 = 64\)。因此，新標準差為 \(\sqrt{64} = 8\)。

方法分：求得新平方和及新平均值得 1 分。準確分：求得正確的新標準差得 1 分。

設 \(f(x) = 3x^3 + ax^2 + bx - 12\)。由於 \(f(x)\) 可被 \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\) 整除，故有 \(f(3) = 0\) 及 \(f(-2) = 0\)。由 \(f(3) = 0\)，得 \(3(27) + 9a + 3b - 12 = 0 \implies 3a + b = -23\)。由 \(f(-2) = 0\)，得 \(3(-8) + 4a - 2b - 12 = 0 \implies 2a - b = 18\)。解聯立方程得 \(a = -1\) 及 \(b = -20\)。因此，\(a - b = -1 - (-20) = 19\)。

方法分：應用因子定理並建立方程組得 1 分。準確分：求得 \(a-b = 19\) 得 1 分。

由 \(P(k, 1)\) 到圓 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 的切線長度平方為 \(k^2 + 1^2 + Dk + E(1) + F\)。因此，\(k^2 + 1^2 - 4k + 6(1) - 12 = 4^2\)。化簡得 \(k^2 - 4k - 5 = 16\)，即 \(k^2 - 4k - 21 = 0\)。因式分解得 \((k-7)(k+3) = 0\)，因此 \(k = 7\) 或 \(k = -3\)。

方法分：利用切線長度公式建立關於 \(k\) 的二次方程得 1 分。準確分：解得 \(k = -3\) 或 \(7\) 得 1 分。

對於 I：值域 = \(75 - 42 = 33\)。故 I 正確。
對於 II：學生總數 \(N = 16\)。第一四分位數 \(Q_1 = \frac{48 + 50}{2} = 49\)。第三四分位數 \(Q_3 = \frac{64 + 64}{2} = 64\)。四分位距為 \(64 - 49 = 15\)。故 II 錯誤。
對於 III：53 出現了 3 次，頻數最高。故眾數為 53，III 正確。因此，只有 I 及 III 正確。

方法分：從莖葉圖分析值域、四分位數及眾數得 1 分。準確分：選擇只有 I 及 III 得 1 分。

利用方差的性質，對於任意常數 \(a\) 和 \(b\)，\(\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)\)。此處轉換為 \(y_i = -2x_i + 3\)，即 \(a = -2\)。新方差為 \((-2)^2 \times 12 = 4 \times 12 = 48\)。

方法分：應用性質 \(\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)\) 得 1 分。準確分：求得 48 得 1 分。

圓的圓心為 \(H(4, -5)\) 且半徑為 \(R = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 - 5} = \sqrt{36} = 6\)。由於該直線為圓的切線，由 \(H\) 到 \(L\) 的垂直距離等於半徑：\(\frac{|3(4) - 4(-5) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 6\)，化簡得 \(\frac{|32 + k|}{5} = 6\)。因此，\(|32 + k| = 30\)，即 \(32 + k = 30 \implies k = -2\) 或 \(32 + k = -30 \implies k = -62\)。

方法分：利用點到直線距離公式並令其等於半徑得 1 分。準確分：求得 \(k\) 的兩個可能值得 1 分。

合併平均值為 \(\bar{x} = \frac{20(65) + 30(75)}{50} = 71\)。設 \(\sigma_1 = 8\) 及 \(\sigma_2 = 8\)。合併方差為 \(\sigma^2 = \frac{N_1 (\sigma_1^2 + (\bar{x}_1 - \bar{x})^2) + N_2 (\sigma_2^2 + (\bar{x}_2 - \bar{x})^2)}{N_1 + N_2} = \frac{20(8^2 + (65 - 71)^2) + 30(8^2 + (75 - 71)^2)}{50} = \frac{20(64 + 36) + 30(64 + 16)}{50} = \frac{2000 + 2400}{50} = 88\)。因此合併標準差為 \(\sqrt{88}\)。

方法分：計算合併平均值並建立合併方差表達式得 1 分。準確分：求得 \(\sqrt{88}\) 得 1 分。

關係式為 \(y_i = 5 - 3x_i\)。\(y\) 的標準差為 \(|-3| \times \text{SD}(x) = 3 \times 4 = 12\)。因此，\(y\) 的方差為 \(12^2 = 144\)。

選對答案 C 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

已知 10 個數之和為 174。11 個數的平均值為 18，因此總和為 \(18 \times 11 = 198\)。由此可得，\(x = 198 - 174 = 24\)。由於 \(24\) 是最大值而 \(14\) 是最小值，極差為 \(24 - 14 = 10\)。

選對答案 B 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

瑪莉的數學標準分為 \((76-64)/12 = 1.0\)。瑪莉的英文標準分為 \((66-56)/8 = 1.25\)。由於 \(1.25 > 1.0\)，敘述 I 為真。約翰在英文科的標準分等於瑪莉在數學科的標準分（即 \(1.0\)），因此約翰的英文分數為 \(56 + 1.0 \times 8 = 64\)，故敘述 II 為真。約翰在英文的標準分為 \(1.0\) 而非 \(1.25\)，故敘述 III 為假。因此，只有 I 及 II 為真。

選對答案 C 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

圓 \(C\) 的圓心為 \((2, -3)\)，半徑為 \(\sqrt{2^2 + (-3)^2 - k} = \sqrt{13 - k}\)。由於直線 \(3x - 4y + 2 = 0\) 與 \(C\) 相切，圓心到該直線的距離等於半徑：\(R = \frac{|3(2) - 4(-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4\)。因此，\(\sqrt{13-k} = 4 \implies 13-k = 16 \implies k = -3\)。

選對答案 A 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

連接圓心 \((3, 4)\) 與原點 \(O(0,0)\) 的半徑斜率為 \(m_1 = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}\)。由於切線與半徑垂直，其斜率為 \(m_2 = -\frac{3}{4}\)。因此，通過 \((0,0)\) 的切線方程為 \(y = -\frac{3}{4}x\)，化簡得 \(3x + 4y = 0\)。

選對答案 A 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

圓 \(C\) 的圓心為 \((3, 1)\)，其半徑為 \(R = \sqrt{3^2 + 1^2 - (-15)} = 5\)。圓心到直線 \(L\) 的距離為 \(d = \frac{|3(3) + 4(1) - 28|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3\)。設弦長為 \(2h\)。根據勾股定理，\(h = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)。因此，弦長為 \(2h = 8\)。

選對答案 C 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

根據餘數定理，\(P(1) = 2 + a + b - 6 = -4 \implies a + b = 0\)。另外，\(P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 6 = -10 \implies -16 + 4a - 2b - 6 = -10 \implies 2a - b = 6\)。聯立方程可得 \(a = 2\) 及 \(b = -2\)。因此，\(P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x - 6\)。當 \(P(x)\) 除以 \(2x-1\) 時的餘數為 \(P(1/2) = 2(1/8) + 2(1/4) - 2(1/2) - 6 = -25/4\)。

選對答案 B 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

常數項 \(12, 18, 8\) 的最小公倍數為 \(72\)。對於變數部分，取各底數的最高次數：\(a^3\)、\(b^4\)、\(c^2\)、\(d^2\)。因此，最小公倍數為 \(72a^3b^4c^2d^2\)。

選對答案 B 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

設 \(z = k_1 x + \frac{k_2}{y}\)。由於當 \(x=2, y=3\) 時 \(z=10\)，得 \(10 = 2k_1 + \frac{k_2}{3} \implies 6k_1 + k_2 = 30\)。由於當 \(x=3, y=1\) 時 \(z=21\)，得 \(21 = 3k_1 + k_2\)。解聯立方程得 \(k_1=3\) 且 \(k_2=12\)。故 \(z = 3x + \frac{12}{y}\)。當 \(x=4, y=2\) 時，\(z = 3(4) + \frac{12}{2} = 12 + 6 = 18\)。

選對答案 C 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

設 \(u = \frac{kv^2}{\sqrt{w}}\)。\(v\) 及 \(w\) 的新值分別為 \(v' = 1.2v\) 及 \(w' = 0.64w\)。\(u\) 的新值為 \(u' = \frac{k(1.2v)^2}{\sqrt{0.64w}} = \frac{1.44kv^2}{0.8\sqrt{w}} = 1.8u\)。因此，\(u\) 增加的百分比為 \((1.8 - 1) \times 100\% = 80\%\)。

選對答案 A 得 1 分。選錯其他選項得 0 分。

圓心為 \(G(2, 3)\)。直線 \(L: x - 2y + k = 0\) 的斜率為 \(\frac{1}{2}\)。通過圓心 \(G(2,3)\) 且垂直於 \(L\) 的直線的斜率為 \(-2\)。其方程為 \(y - 3 = -2(x - 2)\)，化簡得 \(2x + y - 7 = 0\)。弦 \(AB\) 的中點必在此垂直線上。由於中點的 \(x\) 坐標已知為 \(1\)，我們將 \(x = 1\) 代入該垂直線方程：\(2(1) + y - 7 = 0 \implies y = 5\)。因此，中點為 \((1, 5)\)。由於中點亦在 \(L\) 上，我們將 \((1, 5)\) 代入 \(L\) 的方程：\(1 - 2(5) + k = 0 \implies k = 9\)。驗證圓心 \(G\) 到直線的距離為 \(\sqrt{5}\)，小於半徑 \(5\)，因此確實相交於兩點。

答對 B 得 1 分。選擇題不設部分分數。

由於圓通過第一象限的點 \((1, 8)\)，圓心必在第一象限，可表示為 \((r, r)\)，其中 \(r\) 為半徑。圓方程為 \((x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2\)。代入點 \((1, 8)\) 得：\((1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2 \implies 1 - 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2 \implies r^2 - 18r + 65 = 0\)。因式分解得 \((r - 5)(r - 13) = 0\)，得 \(r = 5\) 或 \(r = 13\)。所有可能半徑之和為 \(5 + 13 = 18\)。

答對 C 得 1 分。選擇題不設部分分數。

根據餘數定理，\(P(1) = 3\) 及 \(P(-2) = -3\)。設當 \(Q(x) = (x+1)P(x)\) 除以 \(x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)\) 時的餘數為 \(ax + b\)。因此 \(Q(x) = (x^2 + x - 2)q(x) + ax + b\)。代入 \(x = 1\) 得 \(Q(1) = (1+1)P(1) = 2(3) = 6\)，即 \(a + b = 6\)。代入 \(x = -2\) 得 \(Q(-2) = (-2+1)P(-2) = (-1)(-3) = 3\)，即 \(-2a + b = 3\)。解方程組：第一式減第二式得 \(3a = 3 \implies a = 1\)，從而得 \(b = 5\)。餘數為 \(x + 5\)。

答對 A 得 1 分。選擇題不設部分分數。

將各代數式完全因式分解：1) \(3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)\)；2) \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)；3) \(2x^2 - 4x = 2x(x-2)\)。常數項係數 \(3\)、\(1\) 及 \(2\) 的最小公倍數為 \(6\)。代數因子為 \(x\)、\(x-2\) 及 \(x+2\)。取各因子的最高次冪，得最小公倍式為 \(6x(x-2)^2(x+2)\)。

答對 B 得 1 分。選擇題不設部分分數。

設 \(z = \frac{k x^2}{\sqrt{y}}\)，其中 \(k\) 為非零常數。設新值為 \(x' = 0.7x\) 及 \(y' = 1.96y\)。\(z\) 的新值為 \(z' = \frac{k (x')^2}{\sqrt{y'}} = \frac{k (0.7x)^2}{\sqrt{1.96y}} = \frac{0.49 k x^2}{1.4 \sqrt{y}} = 0.35 \frac{k x^2}{\sqrt{y}} = 0.35 z\)。\(z\) 的百分變化為 \(\frac{z' - z}{z} \times 100\% = \frac{0.35z - z}{z} \times 100\% = -65\%\)。因此，\(z\) 減少了 \(65\%\)。

答對 A 得 1 分。選擇題不設部分分數。

設 \(z = ax + by^2\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為非零常數。根據已知條件：1) \(2a + 9b = 22\)；2) \(3a + 4b = 14\)。將第 (1) 式乘以 3，第 (2) 式乘以 2，得：\(6a + 27b = 66\) 及 \(6a + 8b = 28\)。兩式相減：\(19b = 38 \implies b = 2\)。將 \(b = 2\) 代回 (1) 式：\(2a + 18 = 22 \implies a = 2\)。因此，\(z = 2x + 2y^2\)。當 \(x = -1\) 及 \(y = 4\) 時，\(z = 2(-1) + 2(4)^2 = -2 + 32 = 30\)。

答對 A 得 1 分。選擇題不設部分分數。

對於任何線性變換 \(y_i = ax_i + b\)：
1. 新平均值為 \(a \times \text{原平均值} + b = -2m + 3 = 3 - 2m\)。因此，I 正確。
2. 新標準差為 \(|a| \times \text{原標準差} = |-2|s = 2s\)。因此，II 錯誤。
3. 新方差為新標準差的平方，即 \((2s)^2 = 4s^2\)。因此，III 正確。
故只有 I 及 III 必為正確。

答對 C 得 1 分。選擇題不設部分分數。

首先，計算阿倫的真實分數：\(X = \text{平均值} + z \times \text{標準差} = 64 + 1.5 \times 8 = 76\)。調整後，阿倫的真實分數仍為 \(76\)，新平均值為 \(70\)，新標準分變為 \(1.2\)。利用標準分公式：\(z' = \frac{X - \text{新平均值}}{\text{新標準差}} \implies 1.2 = \frac{76 - 70}{\text{新標準差}} \implies 1.2 = \frac{6}{\text{新標準差}} \implies \text{新標準差} = \frac{6}{1.2} = 5\)。因此，新標準差為 \(5\) 分。

答對 A 得 1 分。選擇題不設部分分數。

我們可以先計算在無限制下組成委員會的總選法，然後減去瑪莉與蘇珊同時被選中的選法。
1. 無限制下的總選法：從 7 名男生中選 4 名，及從 6 名女生中選 4 名：\(C_{4}^{7} \times C_{4}^{6} = 35 \times 15 = 525\)。
2. 瑪莉與蘇珊同時被選中的選法：瑪莉與蘇珊已被固定選中（1 種選法）。從其餘 4 名女生中選 2 名：\(C_{2}^{4} = 6\) 種。從 7 名男生中選 4 名：\(C_{4}^{7} = 35\) 種。因此共有 \(35 \times 6 = 210\) 種。
3. 他們不同時被選中的委員會數目為 \(525 - 210 = 315\)。

答對 C 得 1 分。選擇題不設部分分數。

利用恆等式 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 重寫方程：
\(4(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 5 = 0 \implies 4 - 4 \sin^2 x + 5 \sin x - 5 = 0 \implies 4 \sin^2 x - 5 \sin x + 1 = 0\)。
設 \(u = \sin x\)。方程變為 \(4u^2 - 5u + 1 = 0\)。
因式分解得 \((4u - 1)(u - 1) = 0\)，得 \(u = \frac{1}{4}\) 或 \(u = 1\)。
現在求在區間 \(0 \le x \le 2\pi\) 內的 \(x\)：
1. 當 \(\sin x = \frac{1}{4}\)：由於 \(0 < \frac{1}{4} < 1\)，在第一及第二象限恰有 \(2\) 個解。
2. 當 \(\sin x = 1\)：恰有 \(1\) 個解，即 \(x = \frac{\pi}{2}\)。
因此，根的總數為 \(2 + 1 = 3\)。

答對 C 得 1 分。選擇題不設部分分數。

設 \(\bar{x}\) 及 \(v\) 分別為 \(\{x_1, \dots, x_n\}\) 的平均數及方差。由於 \(x_{n+1} = \bar{x}\)，新平均數 \(\bar{y}\) 為：\(\bar{y} = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1} \right) = \frac{n \bar{x} + \bar{x}}{n+1} = \bar{x}\)。因此 I 正確。新方差 \(u\) 為：\(u = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{y})^2 + (x_{n+1} - \bar{y})^2 \right) = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 + 0 \right) = \frac{n}{n+1} v\)。由於 \(v > 0\) 且 \(n > 1\)，有 \(\frac{n}{n+1} < 1\)，故 \(u < v\)。因此 II 正確。新標準差為 \(\sqrt{u} = \sqrt{\frac{n}{n+1} v} = \sqrt{\frac{n}{n+1}} \sqrt{v}\)，即為原標準差的 \(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\) 倍。因此 III 正確。所以正確答案為 D。

答對得 1 分。答錯或有多個答案不給分。

將圓重寫為 \(C: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 5\)。\(C\) 的圓心為 \(G(3, 1)\)，半徑為 \(R = \sqrt{5}\)。設 \(d\) 為 \(G\) 到直線 \(L\) 的垂直距離。由於弦長 \(AB = 4\)，我們有 \(d^2 + (AB/2)^2 = R^2 \implies d^2 + 2^2 = 5 \implies d^2 = 1 \implies d = 1\)。\(G(3, 1)\) 到直線 \(kx - y = 0\) 的垂直距離為：\(d = \frac{|k(3) - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1\)。兩邊平方：\((3k - 1)^2 = k^2 + 1 \implies 9k^2 - 6k + 1 = k^2 + 1 \implies 8k^2 - 6k = 0 \implies 2k(4k - 3) = 0\)。因此，\(k = 0\) 或 \(k = \frac{3}{4}\)。

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由於 \(2x - 3\) 是 \(p(x)\) 的因式，根據因式定理，\(p(3/2) = 0 \implies 2(3/2)^3 - k(3/2)^2 + h(3/2) - 6 = 0 \implies 3k - 2h = 1\) (方程 1)。根據餘數定理，\(p(-1) = -15 \implies 2(-1)^3 - k(-1)^2 + h(-1) - 6 = -15 \implies k + h = 7\) (方程 2)。解 (方程 1) 及 (方程 2)，可得 \(k = 3\) 及 \(h = 4\)。對於三次方程 \(2x^3 - kx^2 + hx - 6 = 0\)，根的和為 \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{k}{2} = \frac{3}{2}\)，而根的積為 \(\alpha\beta\gamma = -\frac{-6}{2} = 3\)。所求的式子為 \(\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2 = \alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma) = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)。

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設 \(Y = \log_4 y\) 且 \(X = \log_2 x\)。由於該直線在縱軸上的截距為 \(3\)，且斜率為 \(-2\)，故直線方程為：\(Y = -2X + 3 \implies \log_4 y = -2\log_2 x + 3\)。利用換底公式，\(\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2 y\)。因此，\(\frac{1}{2}\log_2 y = -2\log_2 x + 3 \implies \log_2 y = -4\log_2 x + 6 \implies \log_2 y = \log_2(x^{-4}) + \log_2(64) \implies y = 64x^{-4} = \frac{64}{x^4}\)。

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設 \(a_n = 16 r^{n-1}\)（其中 \(n = 1, 2, 3, \dots\)）。已知 \(a_2 + a_4 = \frac{10}{3} a_3\)，我們有：\(16r + 16r^3 = \frac{10}{3} (16r^2)\)。由於 \(0 < r < 1\)，兩邊同除以 \(16r\) 得：\(1 + r^2 = \frac{10}{3} r \implies 3r^2 - 10r + 3 = 0\)。解此二次方程：\((3r - 1)(r - 3) = 0 \implies r = \frac{1}{3}\) 或 \(r = 3\)（因 \(0 < r < 1\) 而捨去）。該等比數列的無限項之和 \(S_{\infty}\) 為：\(S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{16}{1 - 1/3} = 24\)。

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