2023 DSE 數學 模擬試題 | Past Paper 練習

設 \( p(x) = 3x^3 - hx^2 - 5x + 12 \)，其中 \( h \) 為一常數。若 \( p(x) \) 可被 \( 3x - 4 \) 整除，求 \( h \) 的值。

已知 \( y \) 一部分為常數，另一部分隨 \( x^2 \) 正變。當 \( x = 2 \) 時，\( y = 18 \)；且當 \( x = 3 \) 時，\( y = 33 \)。求當 \( x = 4 \) 時 \( y \) 的值。

一組 7 個數據的平均值及標準差分別為 12 及 4。若將數值 12 加入該組數據中，求新數據組的標準差。（答案以根式表示。）

設 \(f(x) = 2x^3 - kx^2 - 13x + 6\)，其中 \(k\) 為一常數。已知 \(2x - 1\) 是 \(f(x)\) 的因式。
(a) 求 \(k\) 的值。
(b) 因式分解 \(f(x)\)。

已知 \(z\) 為兩部分之和，一部分為常數，另一部分隨 \(y^2\) 反變。當 \(y = 2\) 時，\(z = 11\)；且當 \(y = 4\) 時，\(z = 5\)。
(a) 試以 \(y\) 表 \(z\)。
(b) 求當 \(y = \frac{1}{2}\) 時 \(z\) 的值。

在直角座標系中，點 \(A\) 與點 \(B\) 的座標分別為 \((-2, 1)\) 及 \((6, 7)\)。設 \(C\) 為以 \(AB\) 為直徑的圓。
(a) 求 \(C\) 的方程。
(b) 求 \(C\) 在 \(B\) 的切線方程。

下面的莖葉圖顯示 15 位學生的體重（以 kg 為單位）的分佈。

$$\begin{array}{r|l}
\text{莖 (十位)} & \text{葉 (個位)} \\
\hline
4 & 2 \quad 5 \quad 5 \quad 8 \\
5 & 1 \quad 1 \quad 3 \quad 4 \quad 6 \quad 7 \quad 9 \\
6 & 0 \quad 2 \quad 5 \quad 8
\end{array}$$
鍵：\(4 \mid 2\) 表示 \(42\) kg。

(a) 求該分佈的中位數、全距及四分位距。
(b) 若有一位體重為 53 kg 的學生離開該組，求中位數的改變。

設 \( f(x) = 2x^3 + kx^2 - 13x - 6 \)，其中 \( k \) 為一常數。已知 \( x - 2 \) 是 \( f(x) \) 的因式。
(a) 求 \( k \) 的值。 (2分)
(b) 解方程 \( f(x) = 0 \)。 (3分)

已知 \( y \) 為兩部分之和，一部分隨 \( x^2 \) 正變，另一部分為常數。當 \( x = 2 \) 時，\( y = 13 \)；當 \( x = 4 \) 時，\( y = 37 \)。
(a) 求以 \( x \) 表 \( y \) 的公式。 (3分)
(b) 若 \( y = 55 \)，求 \( x \) 的值。 (2分)

製作一個特製水晶獎盃的成本為 \(\$C\)。此成本由兩部分組成，一部分為常數，另一部分隨獎盃高度的平方 \(h\text{ cm}\) 而正變，且隨其厚度 \(t\text{ mm}\) 而反變。當高度為 \(10\text{ cm}\) 及厚度為 \(4\text{ mm}\) 時，製作成本為 \(\$350\)；當高度為 \(6\text{ cm}\) 及厚度為 \(3\text{ mm}\) 時，製作成本為 \(\$220\)。 (a) 求高度為 \(12\text{ cm}\) 及厚度為 \(5\text{ mm}\) 的獎盃的製作成本。 (4分) (b) 若厚度為 \(8\text{ mm}\) 的獎盃其製作成本為 \(\$600\)，求該獎盃的高度。 (2分)

設 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 均為常數。當 \(f(x)\) 除以 \(x - 2\) 時，餘數為 \(0\)。當 \(f(x)\) 除以 \(x + 1\) 時，餘數為 \(9\)。 (a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 (4分) (b) 有人宣稱方程 \(f(x) = 0\) 的所有實根均為有理數。你是否同意？試解釋你的答案。 (3分)

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0\)。 (a) 求 \(C\) 的圓心坐標及半徑。 (2分) (b) 設 \(L\) 為直線 \(3x - 4y + c = 0\)，其中 \(c\) 為一常數。若 \(L\) 與 \(C\) 相交於 \(A\) 及 \(B\) 兩點使得弦 \(AB\) 的長度為 \(8\)，求 \(c\) 的可能值。 (5分)

設 \(V\) 為某立體的體積。已知 \(V\) 為兩部分之和，一部分隨其高度 \(h\) 的平方正變，而另一部分則隨其高度 \(h\) 的立方正變。當 \(h = 2\) 時，\(V = 36\)；當 \(h = 3\) 時，\(V = 99\)。 (a) 求當該立體的高度為 \(4\) 時的體積。 (4分) (b) 若該立體的高度由 \(2\) 減少至 \(1.5\)，求其體積的百分減少率。 (3分)

設 \(C\) 為一圓且通過 \(P(2, 8)\) 及 \(Q(8, 2)\)。已知 \(C\) 的圓心在直線 \(L: 2x + 3y - 15 = 0\) 上。 (a) 求 \(C\) 的方程。 (4分) (b) 設 \(R\) 為一點使得 \(PR\) 為 \(C\) 於 \(P\) 的切線。若 \(R\) 的座標為 \((k, k+10)\)，求 \(k\) 的值。 (4分)

袋子中有 5 個紅球、4 個綠球和 3 個藍球。

(a) 若從該袋中同時隨機抽出 3 個球，求抽出最少兩個相同顏色球的概率。
(2分)

(b) 若從該袋中每次隨機抽出 1 個球，有放回地連續抽出 4 次，求抽出球的顏色恰好改變一次的概率。
(2分)

設 \(C\) 為一圓穿過 \(A(2, 8)\) 及 \(B(6, 0)\)。已知 \(C\) 的圓心在直線 \(L: x - y - 1 = 0\) 上。

(a) 求 \(C\) 的方程。 (3分)
(b) 求 \(C\) 的切線方程，且該些切線須與 \(L\) 平行。 (2分)

(a) 圓 \(C\) 通過點 \(A(0, 8)\) 及 \(B(6, 0)\)，且其圓心位於直線 \(L: x - y - 1 = 0\) 上。求 \(C\) 的方程。 (4 分)

(b) 直線 \(L_1\) 平行於 \(L\) 且與 \(C\) 相切。求 \(L_1\) 的 \(y\) 軸截距。 (2 分)

設 \(C\) 為一圓且通過 \(A(6, 0)\) 及 \(B(-1, -7)\)。已知 \(C\) 的圓心位於直線 \(L: 2x - y - 7 = 0\) 上。

(a) 求 \(C\) 的方程。 (4 分)

(b) 設另一直線 \(L_2: 3x - 4y + k = 0\) 為 \(C\) 的切線，其中 \(k\) 為一常數。求 \(k\) 的可能值。 (4 分)

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 12x - 16y + 64 = 0\)。

(a) 求 \(C\) 的圓心 \(G\) 及半徑。 (2分)

(b) 設 \(P\) 為點 \((14, 14)\)。
(i) 證明 \(P\) 位於 \(C\) 以外。 (1分)
(ii) 求由 \(P\) 至 \(C\) 的兩條切線的方程。 (4分)

(c) 該兩條切線分別切 \(C\) 於 \(Q_1\) 及 \(Q_2\) 兩點。
(i) 求四邊形 \(GQ_1PQ_2\) 的面積。 (2分)
(ii) 設 \(C'\) 為三角形 \(GQ_1Q_2\) 的外接圓。求 \(C'\) 的方程。 (3分)

設 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 為一組數據，其全距為 \(R\)、四分位距為 \(I\) 且方差為 \(V\)。若將每個數據乘以 \(-3\) 再加 \(5\)，求這組數據的新全距、新四分位距及新方差。

考慮兩組學生 A 組及 B 組，每組各有 40 名學生。它們的測驗得分之統計數據如下： A 組：最小值 = 20，第一四分位數 = 45，中位數 = 60，第三四分位數 = 75，最大值 = 95。 B 組：最小值 = 30，第一四分位數 = 50，中位數 = 65，第三四分位數 = 70，最大值 = 90。 下列何者必為正確？ I. B 組中得分不低於 70 分的學生人數比 A 組多。 II. A 組得分的全距大於 B 組。 III. A 組得分的四分位距大於 B 組。

一組含有 10 個數字的數據的平均值及標準差分別為 15 及 4。若將兩個數字 11 及 19 加入該組數據中，求這組含有 12 個數字的新數據的標準差。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\)。直線 \(L\) 通過 \(C\) 的圓心且垂直於直線 \(3x - 4y + 5 = 0\)。求 \(L\) 的方程。

若直線 \(3x - 4y + k = 0\) 與圓 \(x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0\) 相切，求 \(k\) 的可能值。

設 \(A(1, 2)\) 及 \(B(5, -6)\) 為兩點。若 \(AB\) 為圓 \(C\) 的一條直徑，下列何者必為正確？ I. \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0\)。 II. 原點位於 \(C\) 的內部。 III. 直線 \(y = 2x - 8\) 通過 \(C\) 的圓心。

設 \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。當 \(P(x)\) 除以 \(x - 1\) 時，餘數為 \(-8\)。已知 \(x + 1\) 是 \(P(x)\) 的因式。求 \(P(x)\) 除以 \(x - 3\) 時的餘數。

求 \(12x^2 y^3 z\)、\(18x^3 y (z - 1)^2\) 及 \(8x y^2 (z - 1)\) 的最小公倍數（LCM）。

已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。若 \(x\) 增加 20% 且 \(y\) 減少 36%，求 \(z\) 的百分變化。

已知 \(u\) 為兩部分之和，其中一部分隨 \(v\) 正變，而另一部分則隨 \(v^2\) 正變。當 \(v = 2\) 時，\(u = 10\)；當 \(v = 3\) 時，\(u = 21\)。求當 \(v = 5\) 時 \(u\) 的值。

當多項式 \(f(x)\) 除以 \(x-2\) 時，餘數為 \(5\)。當 \(f(x)\) 除以 \(2x+1\) 時，餘數為 \(-5\)。求當 \(f(x)\) 除以 \(2x^2-3x-2\) 時的餘數。

已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y\)}\ 反變。若 \(x\) 減少 \(10\%\) 且 \(y\) 增加 \(44\%\)，求 \(z\) 的百分變化。

圓 \(C\) 通過 \(P(0, 8)\) 及 \(Q(6, 0)\)。若 \(C\) 的圓心在直線 \(x + y - 7 = 0\) 上，求 \(C\) 的方程。

一組共 10 個數據的平均值為 50，標準差為 8。若將兩個新數據 42 及 58 加入該組數據中，求這組共 12 個數據的新標準差。

若 \(3x^3 + ax^2 + bx - 12\) 可被 \(x^2 - x - 6\) 整除，求 \(a - b\) 的值。

設 \(P(k, 1)\) 為一點，其中 \(k\) 為一常數。由 \(P\) 到圓 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\) 的切線長度為 \(4\)。求 \(k\) 的可能值。

以下的莖葉圖顯示一群學生的每週零用錢（以元為單位）的分佈。
\(\begin{array}{r|l} \text{莖 (十位)} & \text{葉 (個位)} \\ \hline 4 & 2\ \ 5\ \ 5\ \ 8 \\ 5 & 0\ \ 3\ \ 3\ \ 3\ \ 7\ \ 9 \\ 6 & 1\ \ 4\ \ 4\ \ 8 \\ 7 & 2\ \ 5 \end{array}\)
下列何者必為正確？
I. 值域為 33。
II. 四分位距為 16。
III. 該分佈的眾數為 53。

若一組共 8 個數 \(x_1, x_2, \dots, x_8\) 的方差為 \(12\)，求該 8 個數 \(3 - 2x_1, 3 - 2x_2, \dots, 3 - 2x_8\) 的方差。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x + 10y + 5 = 0\)。若直線 \(L: 3x - 4y + k = 0\) 是圓 \(C\) 的切線，求 \(k\) 的可能值。

一群共 20 名男生和 30 名女生參加了一次測驗。男生的平均得分為 65 分，標準差為 8 分。女生的平均得分為 75 分，標準差為 8 分。求該 50 名學生合併後測驗得分的標準差。

已知一組數據 \(x_1, x_2, \dots, x_{40}\) 的標準差為 \(4\)。若對於 \(i = 1, 2, \dots, 40\)，\(y_i = 5 - 3x_i\)，求 \(y_1, y_2, \dots, y_{40}\) 的方差。

已知十一個數 \(14, 15, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 22\) 及 \(x\) 的平均值為 \(18\)。求這十一個數的極差。

在某學校中，數學科測驗的平均分及標準差分別為 \(64\) 分及 \(12\) 分。英文科測驗的平均分及標準差分別為 \(56\) 分及 \(8\) 分。瑪莉在數學科取得 \(76\) 分，在英文科取得 \(66\) 分。約翰在數學科取得 \(70\) 分，且他在英文科的標準分等於瑪莉在數學科的標準分。下列哪些敘述必須為真？ I. 相對於其他學生，瑪莉在英文科的表現比數學科好。 II. 約翰在英文科測驗的分數為 \(64\)。 III. 約翰在英文科的標準分為 \(1.25\)。

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0\)。若直線 \(3x - 4y + 2 = 0\) 與 \(C\) 相切，求 \(k\) 的值。

一圓通過原點 \(O\) 且其圓心為 \((3, 4)\)。求該圓在 \(O\) 的切線方程。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0\)。直線 \(L\) 的方程為 \(3x + 4y - 28 = 0\)。求 \(C\) 在 \(L\) 上截取的弦長。

設 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6\)。當 \(P(x)\) 除以 \(x-1\) 時，餘數為 \(-4\)；當 \(P(x)\) 除以 \(x+2\) 時，餘數為 \(-10\)。求當 \(P(x)\) 除以 \(2x-1\) 時的餘數。

求 \(12a^2b^3c\)、\(18ab^4d^2\) 及 \(8a^3c^2\) 的最小公倍數 (LCM)。

已知 \(z\) 為兩部分之和，一部分隨 \(x\) 正變，另一部分隨 \(y\) 反變。當 \(x=2\) 且 \(y=3\) 時，\(z=10\)；當 \(x=3\) 且 \(y=1\) 時，\(z=21\)。求當 \(x=4\) 且 \(y=2\) 時 \(z\) 的值。

設 \(u\) 隨 \(v^2\) 正變且隨 \(\sqrt{w}\) 反變。若 \(v\) 增加 \(20\%\) 且 \(w\) 減少 \(36\%\)，求 \(u\) 的百分變化。

設 \(k\) 為一常數。若直線 \(x - 2y + k = 0\) 與圓 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0\) 相交於兩相異點 \(A\) 及 \(B\)，使得 \(AB\) 的中點為 \((1, y_0)\)，求 \(k\) 的值。

一圓 \(C\) 通過點 \((1, 8)\) 且與 \(x\) 軸及 \(y\) 軸相切。求 \(C\) 的所有可能半徑之和。

設 \(P(x)\) 為一多項式。當 \(P(x)\) 除以 \(x - 1\) 時，餘數為 \(3\)。當 \(P(x)\) 除以 \(x + 2\) 時，餘數為 \(-3\)。求當 \((x+1)P(x)\) 除以 \(x^2 + x - 2\) 時的餘數。

求 \(3x^2 - 12\)、\(x^2 - 4x + 4\) 及 \(2x^2 - 4x\) 的最小公倍式（LCM）。

已知 \(z\) 隨 \(x^2\) 正變且隨 \(\sqrt{y}\) 反變。若 \(x\) 減少 \(30\%\) 且 \(y\) 增加 \(96\%\)，求 \(z\) 的百分變化。

已知 \(z\) 為兩部分之和，一部分隨 \(x\) 正變，另一部分隨 \(y^2\) 正變。當 \(x = 2\) 及 \(y = 3\) 時，\(z = 22\)；當 \(x = 3\) 及 \(y = -2\) 時，\(z = 17\)。求當 \(x = -1\) 及 \(y = 4\) 時 \(z\) 的值。

設 \(\{x_1, x_2, \dots, x_{20}\}\) 為一組數據，其平均值為 \(m\)，標準差為 \(s\)。若將每個 \(x_i\) 替換為 \(y_i = 3 - 2x_i\)（其中 \(i=1, 2, \dots, 20\)）以組成一組新數據，則下列何者必為正確？
I. 新數據的平均值為 \(3 - 2m\)。
II. 新數據的標準差為 \(3 - 2s\)。
III. 新數據的方差為 \(4s^2\)。

在一次數學測驗中，平均分數為 \(64\) 分，標準差為 \(8\) 分。阿倫在該測驗的標準分為 \(1.5\)。若所有學生的測驗分數作線性調整，使得新平均分數為 \(70\) 分，且阿倫在真實分數不變下的新標準分為 \(1.2\)，求該測驗的新標準差。

現從 \(7\) 名男生及 \(6\) 名女生中選出 \(4\) 名男生及 \(4\) 名女生組成一個委員會。若兩名特定女生（瑪莉與蘇珊）不能同時被選入委員會，問共可組成多少個不同的委員會？

求方程 \(4 \cos^2 x + 5 \sin x - 5 = 0\) 在區間 \(0 \le x \le 2\pi\) 內的根的數目。

設 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)（其中 \(n > 1\)）為一組數據。設 \(\bar{x}\) 及 \(v\)（其中 \(v > 0\)）分別為該組數據的平均數及方差。若將一個新數據 \(x_{n+1} = \bar{x}\) 加入該組數據中，設 \(\bar{y}\) 及 \(u\) 分別為新數據集 \(\{x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}\}\) 的平均數及方差。下列何者必為正確？ I. \(\bar{y} = \bar{x}\) II. \(u < v\) III. 新數據集的標準差是原數據集的標準差的 \(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\) 倍。

設 \(C\) 為圓 \(x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0\)。若直線 \(L: y = kx\) 與 \(C\) 相交於 \(A\) 及 \(B\) 兩點使得弦 \(AB\) 的長度為 \(4\)，求 \(k\) 的可能值。

設 \(p(x) = 2x^3 - kx^2 + hx - 6\)，其中 \(k\) 及 \(h\) 為常數。已知 \(2x - 3\) 是 \(p(x)\) 的因式。當 \(p(x)\) 除以 \(x + 1\) 時，餘數為 \(-15\)。設 \(\alpha\)、\(\beta\) 及 \(\gamma\) 為方程 \(p(x) = 0\) 的根。求 \(\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2\) 的值。

\(\log_4 y\) 對 \(\log_2 x\) 的圖像是一條直線。該直線在縱軸上的截距為 \(3\)，且該直線的斜率為 \(-2\)。下列哪個關於 \(x\) 與 \(y\) 的關係式是正確的？

設 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 為等比數列，其公比為 \(r\)，其中 \(0 < r < 1\)。若 \(a_1 = 16\) 且 \(a_2 + a_4 = \frac{10}{3} a_3\)，求該等比數列的無限項之和。