求導法的應用：练习题

一間商店發現，當某商品的價格為 \(P\) 元時，每日的銷售量為 \(Q = 100 - 2P\) 件。若每日的成本函數為 \(C(Q) = Q^2 + 10Q + 50\)，求能使商店利潤最大化的商品價格 \(P\)。

已知一質點的位移函數為 \(s(t) = t^3 - 3t^2 + 5\)（米），其中 \(t \ge 0\)（秒）。求質點在 \(t = 3\) 時的瞬時速度。

設一矩形的周界固定為 \(20\) cm。利用導數證明當該矩形為正方形時，其面積最大，並求該最大面積。

一圓柱體的體積 \(V\) 正以 \(8\pi \text{ cm}^3/\text{s}\) 的速率增加。若其高 \(h\) 始終等於半徑 \(r\) 的兩倍，求當 \(r = 2\) cm 時，半徑的改變率。

考慮曲線 \(C: y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)。
(a) 求 \(\frac{dy}{dx}\) 及 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。 (2分)
(b) 找出 \(C\) 的所有駐點並判定其性質。 (3分)
(c) 求 \(C\) 的圖像之拐點坐標，並討論該點兩側的凹性。 (3分)

某藝術家設計了一個底部為圓形，側面為直立圓柱面的露天儲水缸（無蓋）。已知該缸的總表面面積（即底面積與側面面積之和）固定為 \(27\pi \text{ m}^2\)。設圓柱底半徑為 \(r \text{ m}\)，高為 \(h \text{ m}\)。

(a) 以 \(r\) 表示 \(h\)。 (2分)

(b) 證明儲水缸的體積 \(V \text{ m}^3\) 可表示為 \(V = \frac{\pi}{2}(27r - r^3)\)。 (3分)

(c) 求使儲水缸體積最大時的 \(r\) 值，並求該最大體積。 (4分)