求導法的應用：练习题

求曲線 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的極小值點 (local minimum point) 的 \(x\) 座標。

已知曲線 \(C\) 的方程為 \(y = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\)，其中 \(x \neq 1\)。求 \(C\) 的局部極大值 (local maximum value)。

一盞路燈高 \(6\text{ m}\)，一名身高 \(1.5\text{ m}\) 的行人以 \(1.2\text{ m/s}\) 的恆定速率沿直線步離路燈的底部。求該行人頭頂的影子在地面上移動的速率。

求曲線 $$ y = x^3 - 2x + 1 $$ 在 $$ x = 2 $$ 處的切線斜率。

求直線 \(y = 2x + 1\) 與曲線 \(y = x^3 - x + 3\) 相切時的所有切點坐標。

求曲線 \(y = x^2 \ln x\)（其中 \(x > 0\)）的拐點 (point of inflexion) 的坐標。

已知直線 \(L\) 通過點 \((0, 4)\) 且與曲線 \(y = 4 - x^2\) 相切。求 \(L\) 的所有可能斜率。

設球體的半徑為 \(r\text{ cm}\)，體積為 \(V\text{ cm}^3\)。若球體的體積以恆定速率 \(48\pi\text{ cm}^3\text{/s}\) 增加，求當 \(r = 2\) 時其表面面積 \(A\text{ cm}^2\) 的增加速率。

考慮一個底半徑為 \( r \) cm 及高為 \( h \) cm 的直立圓柱形無蓋容器。已知該容器的總表面積固定為 \( 108\pi \text{ cm}^2 \)。

(a) 將 \( h \) 以 \( r \) 表示。
(2分)

(b) 求 \( r \) 的值使得該容器的體積 \( V \) 為最大，並求該最大體積。答案以 \( \pi \) 表示。
(3分)

(c) 假設該容器的形狀改變但總表面積保持不變。若底半徑 \( r \) 以恆速率 \( 0.5 \text{ cm/s} \) 增加，求當 \( r = 4 \) 時體積 \( V \) 的瞬時變率。
(2分)

某工廠計劃建造一個頂部開放的圓柱形水箱，用於儲存固定體積為 \(V\) 的液體。水箱的底部材料成本為每單位面積 \(3k\) 元，而側面材料成本為每單位面積 \(k\) 元，其中 \(k\) 是一個正常數。

設水箱的底半徑為 \(r\) (米)，高度為 \(h\) (米)。

(a) 以 \(r\)、\(k\) 和 \(V\) 表示建造此水箱的總成本 \(C\)。

(b) 求 \(C\) 對 \(r\) 的一階導數 \(\frac{dC}{dr}\) 及二階導數 \(\frac{d^2C}{dr^2}\)。

(c) 求使總成本最小化的半徑 \(r\) 與高度 \(h\) 的比值 \(r:h\)。並證明此比值確實能使總成本達到最小值。