e 的簡介：练习题

考慮常數 \( e \) 的級數表示方式。根據其定義，\( e \) 等於下列哪一個無窮級數的和？

求極限 \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{-n} \) 的值。

考慮極限 \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \)，這個極限的值等於：

已知 \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)。求 \( e^{-x} \) 的冪級數展開式的前三項。

試求極限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) 的值。

已知自然對數的底數為 \( e \)。試求方程 \( \ln(x) = 1 \) 的解。

考慮常數 \( e \) 的冪級數展開式 \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)。
若藉此展開式將 \( \frac{1}{e} \) 展開，試寫出其展開式的前四項。

求以下極限的值：

考慮常數 \( e \) 的極限定義 \( e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)。

(a) 試求極限 \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+2} \) 的值，答案以 \( e \) 表示。
(b) 試求極限 \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} \) 的值，答案以 \( e \) 表示。

設 \( f(x) = e^x \)。

(a) 利用 \( e^x \) 的級數展開式 \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)，求 \( f(2x) \) 的展開式中首三項。
(b) 若 \( g(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)，利用級數展開式證明當 \( x \) 接近 0 時，\( g(x) \approx 1 + \frac{x^2}{2} \)。
(c) 利用 (b) 的結果，估算 \( g(0.2) \) 的值。