續三角學：练习题

求函數 \(f(x) = 10 - 5 \sin x\) 的最小值。

若 \(0^\circ < x < 90^\circ\), 則下列何者必為正確?

I. \(\cos x \tan x = \sin x\)

II. \(\sin x - \cos x < 0\)

III. \(\sin^2 x + \sin^2(90^\circ - x) = 1\)

已知 \(\triangle ABC\) 的頂點分別為 \(A(12, 16)\)、\(B(0, 0)\) 及 \(C(28, 0)\)。設 \(H\)、\(G\) 及 \(O\) 分別為 \(\triangle ABC\) 的垂心 (orthocentre)、形心 (centroid) 及外心 (circumcentre)。下列哪些項是正確的？

I. \(H\)、\(G\) 與 \(O\) 共線。
II. \(G\) 的坐標為 \(\left(\frac{40}{3}, \frac{16}{3}\right)\)。
III. \(H\) 的坐標為 \((12, 12)\)。

若 \( \tan\theta + 1 = 0 \) 且 \( 0^\circ \le \theta < 360^\circ \)，求 \(\theta\) 的所有可能值。

設 \(O\) 為原點。\(A\) 和 \(B\) 的坐標分別為 \((k, 0)\) 及 \((0, 7)\)，其中 \(k > 0\)。若 \(\triangle OAB\) 的內心坐標為 \((2, 2)\)，求 \(\triangle OAB\) 的外心與垂心之間的距離。

若三角形 \(ABC\) 中，\(AB = 4\)、\(AC = 6\) 且 \(\angle A = 30^\circ\)，求三角形 \(ABC\) 的面積。

圖中，\(OPQ\) 為一以 \(O\) 為圓心且半徑為 \(12\text{ cm}\) 的扇形。已知 \(\angle POQ = 120^{\circ}\)，求陰影區域（弓形）的面積。

扇形 \(OPQ\) 的面積 \(= \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 12^2 = 48\pi \text{ cm}^2\)。
\(\triangle OPQ\) 的面積 \(= \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \sin 120^{\circ} = 36\sqrt{3} \text{ cm}^2\)。
陰影區域的面積 \(= (48\pi - 36\sqrt{3}) \text{ cm}^2 \approx 88.4 \text{ cm}^2\)。

求函數 \(y = 3 \cos(2x) - 1\) 的極大值。

已知 \( \triangle PQR \) 的三邊長度分別為 \( PQ = 10 \)， \( QR = 13 \) 及 \( PR = 7 \)。

(a) 求 \( \angle PRQ \) 的值，答案須準確至最接近的 \( 0.1^\circ \)。

(b) 求 \( \triangle PQR \) 的面積。

下圖顯示一個直立正四棱錐 \( VABCD \)，其底 \( ABCD \) 是一個邊長為 \( 12 \text{ cm} \) 的正方形。設 \( O \) 為底面的中心。若側稜 \( VA \) 與底面 \( ABCD \) 之間的夾角為 \( 60^\circ \)。

(a) 求底面對角線 \( AC \) 的長度。

(b) 求錐體的高度 \( VO \)，答案以根式表示。

(c) 求側平面 \( VBC \) 與底面 \( ABCD \) 之間的夾角，準確至最接近的 \( 0.1^\circ \)。