歡迎來到遠期合約（Forwards）的世界！
你好！今天我們將深入探討 CFA Level I 衍生工具（Derivatives）課程中最核心的部分之一：遠期合約的定價（Pricing）與估值（Valuation）。雖然「定價」和「估值」聽起來很像，但在衍生工具的世界裡，它們是截然不同的概念。如果起初覺得這些概念有些抽象，不必擔心，我們將透過簡單的數學和現實生活中的類比，將這些知識點拆解開來。學完本節後，你將能清楚分辨兩者的區別，並像專家一樣進行計算！
1. 定價 vs. 估值：「房屋」類比
在進入公式之前，我們先釐清考生最容易混淆的問題：遠期價格（Forward Price）與合約價值（Value）的差別。
想像一下，你今天與朋友達成協議，要在一年後以 500,000 美元的價格購買一間房屋。
定價（Pricing）：這指的是在今天決定那 500,000 美元數值的過程。在簽署合約的那一刻，雙方互不相欠。因此，在合約開始時，該合約的價值是零。
估值（Valuation）：現在，想像六個月過去了。利率發生了變動，房地產市場蓬勃發展，同樣的房子現在變得更有價值。儘管你之後仍只需支付 500,000 美元，但你的「合約」現在已成為一項有價值的資產，因為你鎖定了一個較低的買入價。這種「價值」的變化就是所謂的估值。
快速回顧：
1. 在合約開始時（時間 \(t=0\)），遠期合約的價值為零。
2. 遠期價格是合約中規定的固定價格，旨在確保合約在開始時的價值為零。
2. 無套利原則（No-Arbitrage Principle）
我們如何決定遠期價格應該是多少呢？我們使用無套利原則。這一原則假設市場參與者都是理性的，且市場上不存在「免費午餐」。
如果你想在未來購買一項資產，你有兩種選擇：
1. 現在就買入並持有（這需要資金成本或佔用資本）。
2. 簽訂一份遠期合約，承諾在未來購買。
在一個公平的市場中，這兩種途徑在「現值（PV）」 términos 上應該是相等的。如果不是這樣，交易員就會利用這個價差進行套利，直到價格恢復均衡。
3. 基礎遠期合約的定價與估值
我們來看看基礎標的資產（例如不派息股票）的數學模型。
計算遠期價格
若要找出遠期價格 \(F_0\)，我們將目前的現貨價格 \(S_0\) 按照無風險利率 \(r\) 在時間 \(T\) 內進行「複利增長」：
\( F_0(T) = S_0 \times (1 + r)^T \)
例子：如果股票現價為 100 美元，年無風險利率為 5%，則 1 年期遠期價格為：
\( 100 \times (1 + 0.05)^1 = \$105 \)
合約存續期間的估值
若要找出合約到期前某一時間點 \(t\) 的價值 \(V_t\)，我們將目前的現貨價格與之前鎖定的價格之現值進行比較：
\( V_t(T) = S_t - \frac{F_0(T)}{(1 + r)^{T-t}} \)
避免常見錯誤：在合約中途進行估值時，考生常會忘記將遠期價格折現（Discount）回現值。請記住：你是在比較今天的價格 (\(S_t\)) 與未來的付款，所以你必須將那筆未來的款項折算回今天的價值！
關鍵重點：
定價是關於未來（向後複利計算），而估值是關於現在（比較現貨價格與折現後的遠期價格）。
4. 處理收益與成本（持有成本模型 The "Carry" Model）
在現實世界中，持有資產並不總是「免費」的。有些資產會為你帶來現金流（如股息或利息），而有些則會產生費用（如黃金或穀物的儲存成本）。
收益（股息或利息）
如果資產支付股息，持有遠期合約的吸引力會比直接持有股票低，因為遠期合約持有者無法獲得股息。因此，收益會降低遠期價格。
含有收益 \(I\) 的遠期價格計算：
\( F_0(T) = (S_0 - PV(I)) \times (1 + r)^T \)
成本（儲存與保險）
如果資產的儲存成本昂貴，遠期合約會變得更具吸引力，因為賣方在為你保管資產時需承擔這些成本。因此，成本會增加遠期價格。
含有成本 \(C\) 的遠期價格計算：
\( F_0(T) = (S_0 + PV(C)) \times (1 + r)^T \)
記憶口訣：「成本攀升，收益彎腰」（Costs climb, Benefits bend）。
成本讓遠期價格攀升；收益讓遠期價格彎腰（降低）。
5. 遠期利率協議（FRAs）
FRA 是一種針對利率的遠期合約。由於其「m x n」的標記方式，這些協議可能會有些複雜。
你知道嗎？ FRA 的名稱取決於它何時開始以及何時結束。例如「3 x 9」的 FRA，代表合約在3 個月後開始，利率期限為 6 個月（在第 9 個月結束）。
FRA 定價的邏輯
FRA 的價格基於孳息曲線（Yield Curve）。如果你知道 3 個月利率和 9 個月利率，你就可以透過數學方法推算出這中間 6 個月期間的「遠期利率」。這稱為隱含遠期利率（Implied Forward Rate）。
FRA 的重點：
- 長倉（Long Position）：若利率上升則獲利（因為你鎖定了較低的利率）。
- 短倉（Short Position）：若利率下跌則獲利（因為你鎖定了較高的借貸利率）。
- 現金結算：與實物資產不同，FRA 通常在合約開始時，根據合約利率與當時市場利率（通常是 LIBOR 或其替代品如 SOFR）之間的差額進行現金結算。
6. 期限結構與不同的到期日
遠期價格並非對每個到期日都相同。如果你觀察 1 個月、6 個月和 1 年期的遠期合約，價格會根據利率期限結構（Term Structure of Interest Rates）而有所不同。
關鍵概念：
1. 正向市場（Contango）：指遠期價格高於現貨價格。當利率或儲存成本較高時，這種情況很常見。
2. 逆向市場（Backwardation）：指遠期價格低於現貨價格。當持有資產的「收益」（如高股息或「便利收益」Convenience Yield）超過持有成本時，就會發生這種情況。
步驟：確定期限結構的影響
1. 找出該特定到期日的無風險利率。
2. 找出與該特定時間段相關的任何收益或成本。
3. 應用公式：\( F = S \times e^{(r + cost - benefit)T} \)（使用連續複利，本章節常以此計算）。
快速回顧表：
- 若收益 > 成本 + 利息：遠期價格將低於現貨（逆向市場 Backwardation）。
- 若成本 + 利息 > 收益：遠期價格將高於現貨（正向市場 Contango）。
總結與最後貼士
我們今天涵蓋了許多內容！以下是考試中最需要記住的重點：
1. 開始時的價值永遠為零。如果題目問你合約起始時的價值，連算都不用算，答案就是零！
2. 遠期價格關乎「無套利」。它僅是經過持有成本調整後的現貨價格。
3. 折現是關鍵。在合約開始後進行估值時，務必將遠期價格折現回評估日。
4. FRA 是「開始 x 結束」。實際的利率期間是兩個數字之間的差值。
如果覺得 FRA 的數學計算很吃力，請別擔心！專注於邏輯關係：如果利率上升，「支付固定利率」的一方就會獲利。多練習幾道「持有成本模型」的題目，你很快就能掌握這一章節！